2013年“希望杯”全国数学邀请赛中学试题.pdf

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛 初一 第2试试题 2 0 1 3年4月1 4日 上午9 0 0至1 1 0 0 竞赛结束时 只交答题卡 试卷可带走 答案于今日1 1 0 0在以下网站和微博公布 希望杯 官方网站 h t t p w w w h o p e c u p o r g 希望杯 微博 h t t p e w e i b o c o m x i w a n g b e i 数理天地 官方网站 h t t p w w w m p w 9 1 c o m 数理天地 微博 h t t p e w e i b o c o m s h u l i t i a n d i 未经 希望杯 组委会授权 任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷 也不准以任何形 式 包括网络 转载 一 选择题 每小题4分 共4 0分 1 2 0 1 1年我国国内生产总值达4 7 3万亿元 将这个数据用科学记数法表示是 A 4 7 3 1 0 1 0 元 B 4 7 3 1 0 1 1 元 C 4 7 3 1 0 1 2 元 D 4 7 3 1 0 1 3 元 2 某天 黑河凌晨的温度比上午9点的温度低1 2 中午1 2点的温度比凌晨的温度高2 0 晚上9点 的温度比中午1 2点的温度低1 9 若当天上午9点的温度记为a 则当天晚上9点的温度应记为 A a 3 2 B a 1 1 C 3 2 a D 1 1 a 3 若 y 2 1 x 2 y 1 x 9 0是关于x的一元一次方程 则代数式 4x y 2x y y的值 是 A 5 4 B 5 6 C 1 6 9 D 1 7 1 4 已知a是整数 则下列代数式中 值不可能是整数的为 A 2a 1 9 B 3a 2 2 C a 2 6a 1 0 6 D a 2 2 3 5 如图1 取一张长方形的纸片A B C D A B 9 AD 5 向右上方翻折AD 使D恰好落在A B边上的 D 处 压平后折痕交C D于点E 再将B C E D 沿D E向左翻折压平后得B C E D B C 交A E于点F 则 此时形成的四边形B F E D 的面积是 图1 A 2 0 B 1 6 C 1 2 D 8 6 A B C的内角分别为 A B C 若 1 A B 2 B C 3 A C 则 1 2 3中 A 至少有一个锐角 B 三个都是钝角 C 至少有两个钝角 D 可以有两个直角 7 方程 x 1 2x 1 1的整数解的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 8 I f a r e p r e s e n t st h el a r g e s tp r i m en u mb e rn o tm o r et h a na t h e nt h ev a l u eo ft h ee x p r e s s i o n 8 3 4 4 1 2 i s A 1 3 5 3 B 2 0 1 3 C 2 0 7 9 D 4 6 0 8 英汉词典 l a r g e s t最大的 n o tm o r e t h a n不超过 p r i m en u mb e r质数 e x p r e s s i o n表达式 图2 9 公交车上显示线路号码的每个数字都是由七个同样的液晶条组成 若某线路号码是两位 数 并且是两个质数之积 但由于液晶条坏了一个 不能发光 显示成 5 1 路 如图2 则符合要求 的质数中最小的一个是 A 3 B 5 C 7 D 1 1 页二共 页一第 一初 1 0 如图3 边长分别为8 c m和6 c m的两个正方形A B C D与B E F G并排放在一起 连接E G并延长交 A C于K 则 AKE的面积是 A 4 8 c m 2 B 4 9 c m 2 C 5 0 c m 2 D 5 1 c m 2 图3图4图5图6 二 填空题 每小题4分 共4 0分 1 1 若a表示x与y的和的平方 b表示x与y的平方和 则当a 4 9 b 2 5时 x y 1 2 如图4 长方形A B C D的长D C 8 宽AD 5 E是A B的中点 点F在B C上 已知 D E F的面 积为1 6 则点D到直线E F的距离为 1 3 若a b c都是质数 其中a最小 且a b c 4 4 a b 3 c 则a b c 1 4 I fa 3 b 9 c 6 t h e nt h ev a l u eo f a b 2 b c 2 c a 2i s 1 5 奇奇开车从北京去少林寺旅游 在高速公路和非高速公路上的行驶速度分别是1 2 0千米 时 6 0 千米 时 若奇奇驶完全程用了6小时 其中在高速公路上行驶的路程是在非高速公路上行驶的路程的6 倍 则全程长千米 1 6 如图5 在直角 A B C的两直角边A C C B上分别作正方形A C D E和C B F G A F交B C于W 连 接GW 若A C 1 4 B C 2 8 则S A GW 1 7 用2 0 1 3组 成 一 个 自 然 数 且 每 个 数 字 至 少 用 一 次 其 中 可 被2 2 5整 除 的 最 小 的 数 是 1 8 如图6 梯形A B C D中 AD B C B A AD D C B C 2AD 若平行于底边的一条直线E F把 梯形分成周长相等的两部分 则A E E F 1 9 已知a b c 0 若m 2a a 3b b 4c c 则m2 2m 1 图7 2 0 在图7 1 中 对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或 减2 这算作一次操作 经过若干次操作后 图7 1 能变为图7 2 则图 7 2 中A格内的数是 三 解答题 每题都要写出推算过程 2 1 本题满分1 0分 两个同样的圆柱形水池A和B 深度都是1 2米 1号抽水机1 8分钟可 图8 将A池注满 2号抽水机2 4分钟可将A池的满池水注入B池 现在 若A池中储有1 6 池 水 B池没有水 同时打开1号 2号抽水机 当A池水深0 6米时 同时关闭两个抽水 机 求此时B池的水深 2 2 本题满分1 5分 如图8 E F分别是平行四边形A B C D的边A B B C的中点 D E与A F交于点P 点Q在线段D E上 且A Q P C 求梯形A P C Q的面积与平行四边形A B C D的面积的比值 2 3 本题满分1 5分 图9 如图9 边长为1的等边三角形A B C从图示的位置开始在数轴上顺时针无 滑动地向右滚动 当三角形的一个顶点落在x 2 0 1 3处时 三角形停止滚动 1 落在x 2 0 1 3处的点是三角形A B C的哪个顶点 说明理由 2 在滚动的过程中 点A走过的路程是多少 3 若在滚动的过程中A走过的路程是某个圆的周长 求这个圆的半径 页二共 页二第 一初 第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛 初二 第2试试题 2 0 1 3年4月1 4日 上午9 0 0至1 1 0 0 竞赛结束时 只交答题卡 试卷可带走 答案于今日1 1 0 0在以下网站和微博公布 希望杯 官方网站 h t t p w w w h o p e c u p o r g 希望杯 微博 h t t p e w e i b o c o m x i w a n g b e i 数理天地 官方网站 h t t p w w w m p w 9 1 c o m 数理天地 微博 h t t p e w e i b o c o m s h u l i t i a n d i 未经 希望杯 组委会授权 任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷 也不准以任何形 式 包括网络 转载 一 选择题 每小题4分 共4 0分 1 在无理数5 6 7 8中 介于 8 1 2 与 2 6 1 2 之间的数有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 2 已知x 1 x 6 0 x b c 从中任取2个 有3种不同的取法 将每一种取法取出的2个 数分别作和及作差 得到如下6个数 4 2 4 5 6 4 8 7 1 0 9 1 5 1 则a 2 b 2 c 2 的值是 A 1 2 5 3 2 B 1 2 5 3 3 C 1 2 5 3 4 D 1 2 5 3 5 4 已知有理数a b x y满足a x b y 3 a y b x 5 那么 a 2 b 2 x 2 y 2 的值是 A 2 2 5 B 7 5 C 5 4 D 3 4 5 Am o n ga l l t h e f o l l o w i n gp o i n t s w h i c ho n e i so nt h eg r a p ho f f u n c t i o ny x 2 2x 3 A 1 3 B 0 3 C 1 0 D 2 1 英汉词典 g r a p h图象 f u n c t i o n函数 6 下列命题中 正确的是 A 如果三角形三个内角的度数比是3 4 5 那么这个三角形是直角三角形 B 如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b 那么斜边的长是a 2 b 2 C 如果三角形三条边长的比是1 2 3 那么这个三角形是直角三角形 D 如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b 斜边长是c 那么斜边上的高的长是 a b c 7 甲 乙 丙 丁4名跑步运动员的速度依次是v1 v2 v3 v4 且v1 v2 v3 v4 0 他们沿直跑道 进行追逐赛的规则如下 4人在同一起跑线上 同时同向出发 经过一段时间后 甲 乙 丙同时反向 谁先遇到丁 谁就是冠军 则 A 冠军是甲 B 冠军是乙 C 冠军是丙 D 甲 乙 丙同时遇到丁 图1 8 已知直线y k x b k 0 与x轴的交点在x轴的正半轴上 则 A k 0 b 0 B k 0 b0 D k bk2x的解集是 A x 1 B x 1 C x 2 页二共 页一第 二初 1 0 设q m n p q n q m 其中m n是两个连续的自然数 m n 则p A 总是奇数 B 总是偶数 C 有时是奇数 有时是偶数 D 有时是有理数 有时是无理数 二 填空题 每小题4分 共4 0分 1 1 已知a 5 2 b 5 2 则a 2 b 2 7的平方根的值是 1 2 6 0名学生参加英语测试 若优秀的学生占4 5 则在扇形统计图中 表示优秀的扇形的圆心角是 度 若表示良好的扇形的圆心角是1 2 0 则良好的学生有人 1 3 若x1 x2都满足 2x 1 2x 3 4 且x1 x2 则x1 x2的取值范围是 1 4 若直线y 2x b与坐标轴围成的三角形的面积是4 则b 图2 1 5 已知a b都是有理数 若不等式 2a b x 3a b 1 4 则不等式 a 3b x a 2b 0的解集是 1 6 如图2 点P在正方形A B C D内 P B C是正三角形 若 B P D的面积是3 1 则正方形A B C D的边长是 1 7 直线y x 1与x轴 y轴分别交于A B两点 点C在坐标轴上 A B C是等腰 三角形 则满足条件的点C有个 1 8 已知x 2 x 1 0 则 x 3 x 1 x 4 图3 1 9 如图3 矩形纸片A B C O平放在x O y坐标系中 将纸片沿对角线C A向左翻折 点 B落在点D处 C D交x轴于点E 若C E 5 直线A C的解析式为y 1 2 x m 则点 D的坐标是 2 0 已知正整数x y满足5 9 y x 3 5 则x y 的最小值是 三 解答题 每题都要写出推算过程 2 1 本题满分1 0分 已知m2 n 2 n 2 m 2 m n 求m 3 2m n n 3 的值 2 2 本题满分1 5分 F i g 4 A s i nF i g u r e4 b o t h D E 9 0 i nt r a p e z o i dAD E B A B Ci sa ne q u i l a t e r a l t r i a n g l ew i t hCo nD E I fAD 7a n dB E 1 1 f i n dt h ea r e ao f A B C 英汉词典 t r a p e z o i d梯形 e q u i l a t e r a l t r i a n g l e等边三角形 a r e a面积 2 3 本题满分1 5分 有n n 2 个整数a1 a2 a3 an 它们满足下列条件 如果对于其中的任意一个整数am 都有 am不在这n个整数中 则称这n个整数 满足性质P 若在这n个整数中选两个不同的整数ai aj 使它们成为一个有序整数对 ai aj 并恰好ai aj 也在这n个整数中 则这样的整数对为 和整数对 若在这n个整数中选两个不同的整数ai aj 使它们成为一个有序整数对 ai aj 并恰好ai aj 也在这n个整数中 则这样的整数对为 差整数对 回答下列问题 1 3个整数 1 2 3是否满足性质P 如果满足性质P 请写出其中所有的 和整数对 和 差整数 对 2 若n n 2 个整数a1 a2 a3 an满足性质P 其中 差整数对 有k个 试证 明k n n 1 2 3 若n n 2 个整数a1 a2 a3 0的解是 A a 0 B a 1或a1或 1 a0或a 1 页二共 页一第 三初 1 0 如图3 A B C中 A B 1 A C 2 A B C 9 0 若B D E F GH都垂直于A C D E F G H I都 图3 垂直于B C 则阴影 H I C的面积与 A B C面积的比是 A 3 4 6 B 2 3 4 6 C 3 3 4 6 D 2 3 3 4 6 二 填空题 每小题4分 共4 0分 1 1 方程3 2x x 2的根是 1 2 如果正n边形的一个外角是5 那么n 1 3 已知关于x的方程x 2 4x p2 2p 2 0的一个根为p 则p 1 4 平面直角坐标系内 一只跳蚤停在点 5 0 处 它要跳到点 6 0 处 它每一跳都是飞越5个长度 单位 并且总是跳到整点 坐标都是整数的点 也不从原路返回 那么 当它跳到点 6 0 时 至少跳了 次 1 5 将一个圆分成三个相同的扇形 将其中一个卷成圆锥 锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的 余弦值是 图4 1 6 将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图4所示的图案 设菱形中较小的 内角为x度 平行四边形中较大的内角为y度 则y与x的关系式是 1 7 A B C中 A C 3 B C 5 A C B 1 2 0 点M平分A B 则t a n MC A MC 1 8 方程组 2x y z 1 8x 3 y 3 z 2 1 的正整数解 x y z 是 1 9 A B C的三条高依次是AD 6 B E 4 C F 3 则c o sC A B C的面积 是 2 0 已知f x 是一个多项式 若f x 除以 x 1 余5 若f x 除以 x 2 余2 则f x 除 以 x 1 x 2 得到的余式是 三 解答题 每题都要写出推算过程 2 1 本题满分1 0分 已知二次函数y m x2 6 3x m 4的图象在直线y 2的上方 1 求m的取值范围 2 当m 2时 求此二次函数的图象在x轴上截得的线段的长 2 2 本题满分1 5分 一家商店销售某种计算器 开始按定价 小于2 0 0元的整数元 售出 后来按定价的六折售出 当售出2 0 0 台时 共得款3 0 4 9 8元 问 打折前 按定价售出了多少台 2 3 本题满分1 5分 设f x x 4 3x 2 9 x 4 4x 2 9 x 1 将f x 化成 1 g 2 x a g 2 x b a b是不同的整数 的形式 2 求f x 的最大值及相应的x值 页二共 页二第 三初 第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛 高一 第2试试题 2 0 1 3年4月1 4日 上午9 0 0至1 1 0 0 竞赛结束时 只交答题卡 试卷可带走 答案于今日1 1 0 0在以下网站和微博公布 希望杯 官方网站 h t t p w w w h o p e c u p o r g 希望杯 微博 h t t p e w e i b o c o m x i w a n g b e i 数理天地 官方网站 h t t p w w w m p w 9 1 c o m 数理天地 微博 h t t p e w e i b o c o m s h u l i t i a n d i 未经 希望杯 组委会授权 任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷 也不准以任何形 式 包括网络 转载 一 选择题 每小题4分 共4 0分 图1 1 下列四个选项中 能表示图1中的阴影部分的是 A A C B C B A B A C C A B B C D A B C 2 一款触摸屏手机 在设计键盘锁时采用了新的方案 将0 9这1 0个数字按由小到大 的顺序等距排成一个圆 并顺时针不停地旋转 小明发现爸爸只按动了3次便打开了键盘 锁 那么 小明为了保证打开手机的键盘锁 至少要尝试 次 A 3 B 4 0 C 2 4 0 D 1 0 0 0 3 在 A B C中 若t a nA 2 t a nB 3 则内角C的值为 A 6 B 4 C 3 D 3 4 4 函数y 1 2 x2 x 2 的单调递增区间是 A 1 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 2 5 从集合M x 7 2 0 x N x N 中取出3个元素 从小到大排成一列 使其成等比数列 则所有 不同的公比之和是 A 1 5 B 2 1 C 2 3 D 2 7 6 若c o s 0 s i n 3 c o s 1 0 则t a n A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 图2 7 如图2 在棱长为2的正方体A B C D A1B1C1D1中 点E是棱A B的中点 点F 在棱C D上 且D F F C 2 1 则A1E与C1F的距离等于 A 4 3 3 B 3 C 2 D 5 8 G i v e np r o v i s i o nfn x f f f n个f x ni sap o s i t i v e i n t e g e r I ff x 2 1 x x 1 0 x 1 10 b c 0 c a 0 若设p f a f b f c 则 A p q B p3q D p 3q 页二共 页一第 一高 1 0 已知等比数列 an 满足a1 a2 a3 1 并且公比q 0 若令t a1a2a3 则t的取值范围是 A 1 B 0 1 C 1 D 1 0 二 填空题 每小题4分 共4 0分 1 1 已知函数f x 1 x 1 x 则f 1 2 f 1 4 f 1 6 f 1 2 0 1 4 1 2 已知幂函数f x xm 2 2 m 3 m Z 的图象与x轴 y轴都没有交点 但是关于y轴对称 那 么f x 1 3 若y l o g2 0 1 3 x2 a x 6 5 的值域为R 那么a的取值范围是 1 4 自点P 5 5 发出的光线l经过x轴反射 其反射光线所在直线正好与圆x2 y 2 1相切 那么 入射光线l所在直线的方程是 1 5 命题p 已知函数f x 2 a x a 1 a是不等于0的常数 若f x 在区间 0 1 上单调递减 则a的 取值范围是 0 1 2 命题q 由于偶函数满足对于定义域内的任何一个x都有f x f x 所以它不是一一对应关系 故偶函数一定不存在反函数 图3 则 p q 是 命题 填 真 或 假 1 6 G i v e nx y z R a n d3 x 4 y 6 z T h e nw r i t e3 x 4y a n d6zi no r d e r f r o ml e a s t t og r e a t e s t a s 1 7 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 等差数列 bn 的前n项和为Tn 且 Sn Tn 2n 3n 7 则 a8 b6 1 8 如图3 已知正方体A B C D A1B1C1D1中 E是棱A A1上一点 且A E 2A1E 设过点B D1 E的平面为 则 与底面A B C D所成角的正切值是 图4 1 9 若等差数列 an 的公差为d 且a9 a4 2a3 am an 2a5 则 2aman 3a1d 的最大值是 2 0 已知 xn 是等比数列 把数列 xn 中的所有项按图4所示的规律排成一个三角形 数表 则当x3 4 x6 3 2时 图中第m行第1个数是 三 解答题 每题都要写出推算过程 2 1 本题满分1 0分 过圆C x2 y 2 4 x 4y 7 0外一点P a b 作圆C的切线P T T为切点 使 P T P O 当 P T 取得最小值时 求点P的坐标及 P T 的值 2 2 本题满分1 5分 若关于x的方程 x 1 x k x 1 2 有4个不同的实数根 其和为S 求 1 实数k的取值范围 2 实数S的取值范围 2 3 本题满分1 5分 已知函数f x l o g2 1 x l o g 1 2 1 x x 0 x0时 f x1 f x2 0 3 对任何实数x f e 2x a f 3 2 e x 0恒成立 求实数a的取值范围 页二共 页二第 一高 第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛 高二 第2试试题 2 0 1 3年4月1 4日 上午9 0 0至1 1 0 0 竞赛结束时 只交答题卡 试卷可带走 答案于今日1 1 0 0在以下网站和微博公布 希望杯 官方网站 h t t p w w w h o p e c u p o r g 希望杯 微博 h t t p e w e i b o c o m x i w a n g b e i 数理天地 官方网站 h t t p w w w m p w 9 1 c o m 数理天地 微博 h t t p e w e i b o c o m s h u l i t i a n d i 未经 希望杯 组委会授权 任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷 也不准以任何形 式 包括网络 转载 一 选择题 每小题4分 共4 0分 1 已知函数y f x 是偶函数 且f 4 x f 4 x 则函数f x A 是周期为2的函数 B 是周期为4的函数 C 是周期为8的函数 D 不是周期函数 2 两个非零向量a和b满足 a b a b 则向量a和b的夹角等于 A 6 0 B 9 0 C 1 2 0 D 1 5 0 3 若函数y x2 a x a 2 5 2 a 2有4个单调区间 则实数a的取值范围是 A 4 B 4 2 3 C 2 3 D 4 2 3 4 当0 xc o s s i nx B s i n c o sx 0 b 0 与曲线x2 y2 2 x 6y 1 0相交于A B两点 若A B 6 则1 a 1 b 的最小值是 A 2 2 B 3 C 3 2 D 3 2 2 6 若关于x的不等式1 2 c o s x 3a 2a c o sx 2有解 则参