黎曼函数的性质及其证明.pdf

第22卷 第2期宝鸡文理学院学报 自然科学版 Vol 22 No 2 2002年6月Journal of Baoji College of A rts and Science Natural Science Jun 2002 黎曼函数的性质及其证明 张 丽 刘淳安 宝鸡文理学院 数学系 陕西 宝鸡721007 摘 要 从黎曼函数的简单特征入手讨论它的连续性 可积性 可导性 特别是证明了黎曼函数在区 间 0 1 上处处不可导 并结合狄利克雷函数加以引申和推广 关键词 黎曼函数 特征 可导性 中图分类号 O 174 1 文献标识码 A 文章编号 100721261 2002 0220125202 Properties of Riemann function and their proved ZHAN G L i L I U Chun2an Dept M ath Baoji Coll A rts espe2 cially the non2differentiable properties on 0 1 are proved and D irichlet s function is comparated w ith it Key words R iemann function properties differentiability M SC2000 26A 27 在数学分析上 有两个无法用解析法 列表 法或图象法表示 只能用言语来描述的特殊函数 2黎曼 R iemann 函数和狄利克雷 Dirichlet 函 数 现在 我们讨论黎曼函数的简单性质 及其与 狄利克雷函数的区别 1 黎曼函数的定义及简单特征 定义 称定义在区间 0 1 上的函数 R x 1 p 当x q p p q为正整数 q p 为既约真分数 0 当x 0 1和无理数 为黎曼函数 从黎曼函数的定义可知 黎曼函数的值域是 集合E 0 1 2 1 3 1 4 1 p 其中p是大于 等于2的正整数 因此 黎曼函数的第一个简单特 征是 黎曼函数是区间 0 1 上的有界函 数 其上确界是1 2 下确界是0 其值域只有一 个 聚点是0 它也是数列 1 p 的极限点 其中p 为自然数 其次 对任何自然数p 1 使得 q p 0 1 的有理数只有 1 p 2 p p 1 p 由定义要求 p q 互质 所以这种数最多 p 1 个 而它们所对应 的函数值却都是 1 p 即R i p 1 p i 1 2 p 1 因为 i p 与p i p 显然i与p互质时 p i 与p亦互质 关于直线x0 1 2对称 故黎曼函数 的第2个简单特征是 黎曼函数在有理点的图象 见图 1 关 于直线x0 1 2对称 又由其值域E可看出 当p 自然数 变大时 1 p R q p q p 0 1 在变小且以0为其 极限 因而R x 的最大值为1 2 所以对 0 的区间 0 1 中的有理数x只有有限个 即p只能在2 p 1 中取值 因而黎曼函数的第3个简单特 征是 收稿日期 2001212206 作者简介 张丽 19742 女 陕西宝鸡人 助教 研究方向 基础数学 0 1 2 使得 R x R q p 1 p 的区间 0 1 中的有理数只有有限多个 这3个简单特征 特别是 在讨论黎曼函 数的性质时十分有用 图1 黎曼函数在有理点的图象 2 黎曼函数的性质 命题1 对 x0 0 1 成立lim x x0 R x 0 当x 0 1时 考虑单侧极限 证 0 不妨设 的p至多有有限个 即p只能 取2 p 1 的正整数 因此由黎曼函数的简 单特征 知 使R x 的区间 0 1 中的有理 数x只有有限个 不妨设它们分别为 x1 x2 xN 因为x0 0 1 它们也属于区间 0 1 故必有 某一个 譬如说xj距x0距离最近 记 xj x0 则对 x U x0 便有 R x 0 R x R x 的区间 0 1 中的有理数x只有有限个 不妨设它们为 x1 x2 xN 且0 x1 x2 xN 1 取 2N m in xi 1 xi i 1 2 N 1 对区间 0 1 作分割 Ik xk xk k 1 2 N Jk xk 1 xk k 1 2 N 1 于是 2N 1 k 1 k k N 1 k 1 k Jk N k 1 k Ik N 1 k 1 Jk N k 1 Ik N 2 2 故黎曼函数R x 在区间 0 1 上是黎曼可积的 命题3 黎曼函数R x 在区间 0 1 中每一 点都不可导 证 首先 由推论知 黎曼函数R x 在区间 0 1 中有理点不连续 因而不可导 其次 当x0 0 1 是无理点时 欲使R x 在x0可导 即要 极限li m y x0 R y R x0 y x0 1 存在 注意到R x0 0 若yn 0 1 是区间 0 1 中的无理点列 且当yn x0 n 时 由于 R yn 0 所以 1 式的极限显然是0 这就是 说 若R x 在x0这个无理点可导 须有它的导数 R x0 0 但事实并非如此 设无理点x0可表成无限不循环小数 x0 0 a1a2 anan 1 其中ai i 1 2 是0 1 2 9这10个数字 中的某一个 其不足近似值记为 xn 0 a1a2 an n 1 2 过剩近似值记为 xn 0 a1a2 an 1 n 1 2 因为xn 0 a1a2 an 1 xn 1 10 n a1a2 an 1 10 n dn qn dn pn qn pn 其中q n pn 为既约真分数 dn 1 n 1 2 则 R xn R x0 xn x0 1 pn 0 qn pn x0 dn dn 1 pn dn dn qn pn x0 dn 10 n a1a2 an 1 10n x0 dn a1a2 an 1 a1a2 an an 1 dn 1 1 0 an 1 dn 1 n 1 2 因此 即使极限lim n R xn R x0 xn x0 存在 也绝不会为0 故由归结原理知 R x 在区 间 0 1 中的无理点不可导 下转第140页 621宝鸡文理学院学报 自然科学版 2002年 3 产品分析 对实验所得精品 测定熔点为101 103 温度计未较正 与文献值 1 相符 元素分析及 IR图谱见表3 表4 表3 富马酸二甲酯的元素分析 C6H8O4 w CHO Calcd50 005 6044 40 Expt49 835 7344 44 表4 IR光谱数据 max cm 1 图谱解析 3077 3019 CH的伸缩振动吸收峰 2963 2853 CH3的伸缩振动吸收峰 1724 酯 C O 的伸缩振动吸收峰 1672CC的伸缩振动吸收峰 1441 1312 CH的面的弯曲振动吸收峰 4 结论 1 以分子筛作载体的T iO2 L a3 SO42 固 体超强酸催化剂对富马酸酯化反应显示出很高的 催化活性 载体的使用 使活性组分得到了充分利 用 同时降低了催化剂的制备成本 该催化剂可以 重复使用 而且无腐蚀设备及 三废 处理问题 具 有一定的工业化应用价值 2 用该催化剂催化合成富马酸二甲酯的最 佳反应条件为 催化剂活化温度500 催化剂用 量15 以富马酸质量计 反应物醇酸物质量比 6 1 反应时间5 h 在此条件下 酯收率可达 92 3 参考文献 1 化学工业出版社 中国化工产品大全 下卷 Z 第 2版 北京 化学工业出版社 1998 1 119 2 卢冠忠 固体超强酸的结构及在酯化反应中的应用 J 工业催化 1993 1 3210 3 卢泽楷 朱万仁 固载超强酸催化剂制备及催化合 成乙酸正丁酯的研究 J 有机化学 2000 20 5 8192821 4 张武阳 杨胥微 彭婉茹 等 油田轻烃在SO42 MxOy型超强酸上的催化转化 J 吉林大学自然 科学学报 1997 4 95297 校对 诸平 上接第126页 同理可证 R x 在x0 0或1时 不可导 总之 黎曼函数R x 在区间 0 1 中每 一点处都不可导 3 黎曼函数与狄利克雷函数 定义在R上的狄利克雷函数 D x 1 x是有理数 0 x是无理数 也具有类似性质 它在区间 0 1 上任何一点不 连续 不可导 也在黎曼意义下不可积 就是因为 黎曼函数在区间 0 1 上的一切不连续点成一零 测度集 而狄利克雷函数在区间 0 1 上的不连 续点集的测度不为零 但却在勒贝格 Lebesgue 意义下可积 若对狄利克雷函数的定义稍加改变 记为 D 3 x 1 x 0 1 是有理数 0 x 0 1或 0 1 中无理数 利用D 3 x 与黎曼函数我们还可构造下列函数 R1 x p 1 p x q p 0 1 q p 为既约真分数 0 x 0 1或 0 1 中无理数 R2 x p 1 p x q p 0 1 q p 为既约真分数 0 x 0 1或 0 1 中无理数 事实上 R1 x D 3 x R x R2 x D 3 x R x 此外 还可验证 D 3 R x D 3 x R D 3