与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法1.doc

与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法 一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是()A、-2B、0C、2D、4(93年“希望杯”竞赛题) 解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0A1=2，A2=3由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。x1+x2+x3+x4=4故选D。二、降次例2 已知、是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3的值。(96年江苏省竞赛题) 解：是方程x2-x-1=0的根，2-1=0，2=+1(二次转化为1次)4=(+1)2=2+2+1=+1+2+1=3+2(四次转化为一次)4+3=3+2+3=3(+)+2=31+2=5三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，Sn=x+1993x，则aS1993+bS1992+cS1991=。(93年希望杯竞赛试题)解：x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a1993x+b1993x+c1993x)= x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。四、配偶例4 已知、是方程x2-7x+8=0的两根且，不解方程，利用韦达定理求+32的值。(第八届“祖冲之”杯竞赛试题) 解：由韦达定理，得+=7，=82+2=(+)2-2=49-16=33，(-)2=(+)2-4=49-32=17，-=设A=+32，B=+32(A的配偶)则A+B=+3(2+2)=+333=A-B=-+32-32=-3(+)(-)=2A=A=五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。(98年香港初中数学竞赛试题) 解：设方程两整数根为、，则+=a。由此可知a必为整数将方程x2-ax+4a=0中的x视为常数，a视为未知数，方程可变为(x-4)a=x2a=x+4+a为正整数x=5, 6, 8, 12, 20。此时对应的a值为a=25, 18, 16, 18, 25。所有正实数a的值为25，18，16。六、构造新方程例6 已知两数a、b，ab1，且2a2+1234567890a+3=0(1)3b2+1234567890b+2=0(2)则=。(91年“希望杯”竞赛试题) 解：显然b=0不是方程(2)的解，方程(2)两边同除以b2，得3+1234567890+=0即2()2+1234567890+3=0考虑方程2x2+1234567890x+3=0中，=12345678902-240方程有两个不相等的实数根而ab1，即aa、是方程2x2+1234567890x+3=0的两个根。a=，即=七、反证法例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0bx2+2cx+a=0cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。(97年山东省数学竞赛试题) 证明：若三个方程都有两个相等的实数根，则三式相加，得4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)=0，a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0a=b=c这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。八、巧用+1，-+1因式分解例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。(98年江苏省竞赛试题) 解：当k=0时，原方程化为x-1=0，x=1，符合题意。当k0时，设原方程的两个整数根为、，不妨设。由韦达定理，得+=-=-1-，(1)=1-。(2)(2)-(1)，得-=2-+1=3，(-1)(-1)=3、是整数，-1、-1也是整数，又，于是+=6或+=-2分别代入(1)，得k=-或k=1当k=0，-，1时，原方程的根都是整数。九、整体变形例9 设a、b、c、d0，证明在方程x2+x2+x2+x2+中，至少有两个方程有不相等的实数根。(92年“希望杯”竞赛试题) 证明：设这四个方程的判别式分别为1、2、3、4，则1=2a+b-2 (1)2=2b+c-2 (2)3=2c+d-2 (3)4=2d+a-2(4)1+3=(a+b-2)+(c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b0 (5)2+4=(b+c-2)+(d+a-2) +b+d=()2+()2+b+d0 (6)若10，30，则1+30，与(5)矛盾。故1、3中至少有一个大于0。同理，2、4中也至少有一个大于0。所给的四个方程中，至少有两个方程有不相等的实数根十、分类讨论例10 已知三个关于x的方程：x2-x+m=0(1)(m-1)x2+2x+1=0(2)(m-2)x2+2x-1=0(3)其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是()A、m2B、m或1m2C、m1D、m1(98年山东省竞赛试题) 解：(1)有实根的条件是1-4m0，m，无实根的条件是m。(2)有实根的条件是m-1=0或，即m=1或m2且m1，无实根的条件是m2。(3)有实根的条件是m-2=0或，即m=2或m1且m2，无实根的条件是m1。若(1)(2)有实根，(3)无实根，则，解得m。若(1)(3)有实根，(2)无实根，则，不等式组无解。若(2)(3)有实根，(1)无实根，则，解得1m2。若(1)(2)(3)均有实根，则，不等式组无解。当m或1m2时，至少有两个方程有实根。故应选B。十一、数形结合一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑，由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。例11 是否存在这样的实数k，使得二次方程x2+(2k+1)x-(3k+2)=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k的取值范围；若没有，简述理由。(2000年数学奥林匹克训练题) 解：设f(x)=x2+(2k-1)x-(3k+2)，则其图象为开口向上的抛物线。根据题意若方程