曲面的渐近方向与共轭方向曲面论(七).pdf

微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 28 3 4 曲面的渐近方向与共轭方向曲面的渐近方向与共轭方向 一一 曲面的渐近方向曲面的渐近方向 定义定义 渐近方向 曲面在 P 点使 n k 0 的方向 d du dv 叫做 曲面在 P 点的一个渐近方向 说明 1 设曲面在 P 点的第二基本量为 L0 M0 N0 由解析几何 中二次曲线的一般理论知 d du dv 是渐近方向的充要条件是 L0du 2 2M 0dudv N0dv 2 0 2 当 LN M 2 0 时 Ldu2 2Mdudv Ndv2 0 无解 所以在椭圆点 处 曲面没有渐近方向 二二 曲面的渐近曲线曲面的渐近曲线 定义定义 渐近曲线 曲面上的曲线 如果它每一点的切方向都是渐 近方向 则称其为渐近曲线 渐近曲线的微分方程是 Ldu2 2Mdudv Ndv2 0 例 求曲面 z xy2上的渐近曲线 解 可以求出此曲面的 E 1 y4 F 2xy3 G 1 4x2y2 L 0 M 2y D N 2x D 其中 2 222 1 14 DEGF x yy 因此渐近曲线的微分方程 是 2 42 0 yx dxdydy DD 由此得 dy 0 和 2ydx xdy 0 积分后得渐近曲 线为 y C1 x2y C2 C1 C2为积分常数 三 曲面上渐近曲线的判定曲面上渐近曲线的判定 命题命题 1 曲面上的直线一定是渐近线 证明 因为直线的曲率 k 0 所以沿直线的方向 kn kcos 0 所以 直线一定是曲面上的渐近线 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 29 命题命题 2 曲面上非直线的曲线是渐近线 曲面的主法向量垂直于 曲面在同一点的法向量 曲面的副法向量平行于曲面在同一点的法 向量 曲面在曲线每一点的切平面是曲线在这点的密切平面 证明 因为沿渐近曲线有法曲率 kn kcos 0 对非直线 k 0 所以 cos 0 因此 2 而 是曲线在一点的主法向量与曲面 在同一点的法向量的夹角 所以结论成立 例如例如 正螺面上的直母线和螺旋线都是曲面上的渐近线 每条曲 线在它的主法线曲面上是渐近线 见练习 P146 7 9 题 推论推论 设两个曲面沿一条曲线相切 则这曲线如果是其中一个曲 面上的渐近线 那么它也是另一个曲面上的渐近线 四 渐近网四 渐近网 定义定义 渐近网 如果曲面上的点都是双曲点 则曲面上存在两族 渐近线 这两族渐近线构成的曲线网叫做曲面上的渐近网 可知 渐近网的方程是 Ldu2 2Mdudv Ndv2 0 如 正螺面 单叶双曲面 双叶抛物面上都有渐近网 命题命题 3 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是 L N 0 证明 渐近网的方程是 Ldu2 2Mdudv Ndv2 0 曲纹坐标网的 方程是 dudv 0 即 du 0 和 dv 0 若 L N 0 将其代入渐近网的方程得 dudv 0 注 在双 曲点 M 0 故渐近网即是曲纹坐标网 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 30 若 du 0 和 dv 0 是渐近网 将其分别代入渐近网的微分 方程得 L N 0 例 由该命题可证 正螺面r ucosv usinv bv 的曲纹坐标网是渐 近网 双曲抛物面r a u v b u v 2uv 的曲纹坐标网 实际是直母 线网 也是渐近网 五五 共轭方向共轭方向 定义定义 共轭方向 设曲面上 P 点处的两个方向 d du dv 和 u v 如果沿这两个方向的直线是曲面在 P 点的杜邦指 标线的一对共轭直径 则方向 d 与 称为曲面在 P 点的一对 共轭方向 结论结论 设曲面在 P 点的第二基本量为 L0 M0 N0 则 d du dv 和 u v 共轭的充要条件是 L0du u M0 du v dv u N0dv v 0 或 dn r 0 或 r dn 0 证明 由解析几何二次曲线的一般理论可知 注 当 d 时 由共轭方向的条件可知 共轭方向 d 变为渐近方向 所以渐近方向是自共轭方向 六六 共轭网共轭网 定义定义 共轭网 给定曲面上的两族曲线 如果过曲面上每一点 此两族曲线中的两条曲线的切向都是共轭方向 则两族曲线称为曲面 上共轭网 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 31 定理定理 如果一族曲线的方程为 Adu Bdv 0 则与其共轭的曲线族 的微分方程是 0 LMMN uv ABAB 证明 设 d du dv 和 u v 共轭 由共轭方向的条件知 Ldu u M du v dv u Ndv v 0 又 du dv 满足 Adu Bdv 0 由这两式消去 du dv 得 即0 LMMN uv ABAB 特别地 对 u 线 dv 0 则它的共轭曲线族的微分方程是 L u M v 0 要使这族曲线为 v 线 u 0 充要条件为 M 0 于 是得 命题命题 4 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是 M 0 例如 球面 椭圆抛物面 z a x2 y2 的坐标网都是共轭网 习题 P114 7 9 10 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 32 3 5 曲面的主方向和曲率线曲面的主方向和曲率线 一一 曲面的主方向曲面的主方向 定义定义 主方向 曲面上一点 P 的两个方向 如果它们既正交又 共轭 则称为曲面在 P 点的主方向 结论结论 1 曲面上一点 P 的一个方向 du dv 是主方向的充要条件是 22 0 dvdudvdu EFG LMN 证明 设 d du dv 是主方向 则存在另一个方向 u v 使 d 与 既正交又共轭 d 与 正交 dr r 0 E du u F du v dv u Gdv v 0 d 与 共轭 dn r 0 L du u M du v dv u Ndv v 0 d du dv是 主 方 向 关 于 u v有 非 零 解 0 EduFdvFduGdv LduMdvMduNdv 即 22 0 dvdudvdu EFG LMN 结论结论 2 曲面上每一点处至少有两个主方向 证明 曲面上主方向满足的条件即 EM FL du2 EN GL dudv FN GM dv2 0 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 33 其判别式 EN GL 2 F E EM FL 2 2 2 4 EGF E EM FL 2 0 0 时 方程 总有两个不相等的实根 故曲面总有两个主方 向 这两个主方向实际是曲面在这一点的杜邦指标线的主轴方向 0 EN GL EM FL 0 EFG LMN 这时 是恒等式 故任何方向满足 故任何方向是主方向 定义定义 脐点 圆点 平点 曲面上使 EFG LMN 的点叫做曲面的 脐点 L M N 不全为零的脐点叫做圆点 L M N 0 的点叫做平点 容易证明 球面上的点都是圆点 平面上的点都是平点 二二 主方向的判定定理主方向的判定定理 罗德里格 罗德里格 Rodrigues 定理 定理 d 是主方向 dndr 其 中 n k n k是曲面沿 d 的法曲率 证明 设 是垂直于 d 另一个主方向 由n dn 0 可知 dn 也在切平面上 所以dn 与 和 d 共面 可设dn dr r 将该式两边点乘r 得 dn r dr r r r 因 与 d 共轭 所以dn r 0 因 与 d 正交 所以dr r 0 所以 r r 0 所以 0 所以dn dr 设方向 d 满足dn dr 下面要证dr 是主方向 设 是垂直于 d 的一个方向 把dn dr 两边点乘r 得dn r 0 这表明 与 d 是共轭的 即 与 d 不仅正交 而且共 轭 所以它们都是主方向 把dn dr 两 边 点 乘dr 得dn dr dr 2 所 以 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 34 2 n dn dr k dr 证毕 三 曲率线 定义 三 曲率线 定义 曲率线 曲面上的曲线 如果它每一点的切方向都是主 方向 则称其为曲率线 曲率线的微分方程曲率线的微分方程 由主方向满足的充要条件知曲率线的微分方 程是 22 0 dvdudvdu EFG LMN 四四 曲率网曲率网 曲率线的微分方程确定了曲面上的两族曲率线 它们构成的曲线 网叫做曲面上的曲率网 结论结论 在不含脐点的曲面片上 经过参数的选择 可使曲率线网 成为曲面的曲纹坐标网 证明 因为曲面不含脐点 所以曲率线的微分方程的判别式 0 所以由曲率线的微分方程分解因式可得两族曲率线的方程 11 0AduB dv 和 22 0A duB dv 设 1 du 11 AduB dv 2 dv 22 A duB dv 其中 12 为积 分因子 因在曲面上每一点 两个主方向垂直 所以曲率线彼此不相切 所以行列式 11 22 0 AB AB 即 12 u v u v 11 22 0 AB AB 引进 u v为新的参 数 则曲率线网 11 0AduBdv 22 0A duB dv 成为新的曲纹坐标网 说明 实际上 从证明可看出 任何一个正规曲线网都可选为坐标 微分几何教案 十五 曲面的第二基本形式 3 4 3 5 35 网 命题 5命题 5 曲面上的曲纹坐标网是曲率线网 F M 0 证明 因为曲纹坐标网是正交网 F 0 曲纹坐标网是共轭网 M 0 例3 在旋转曲面 cos sin rttt 上子午线和平