定比分点的向量公式及应用_李金章.pdf

专 业 精心策划 S 高 一 数 学 爱 好 者 数学爱好者2 0 0 7 3 名师点金 Mi n g S h i D i a n J i n 难点释疑 定比分点的向量公式 设 P 1P2是直线 l 上的两 点 点 P是 l 上异于 P 1 P2的任一点 且P1 P P P 2 O是 此 平 面 内 任 一 点 则 O P O P 1 O P 2 1 1 1 O P 1 1 O P 2 特例若P 为P 1P2的中点 则有O P O P 1 O P 2 2 一 求点的坐标 利用定比分点的向量形式求点的坐标主要是 数学中的整体思想的应用 即将点的纵横坐标处理 在包含纵横坐标的向量中 其解题过程简单快捷 例 1 已知点 A 6 1 B 6 5 点 C为直线 A B上一点 且A C 5 B C 求 C点的坐标 解析因为A C 5 B C A C 5 C B 所以 5 利用定比分点的向量公式有 O C 1 O A 1 O B 1 6 6 1 5 6 6 5 4 4 所以 C点的坐标为 4 4 点评利用定比分点的向量公式求点的坐标 关键是要正确确定 的值 确定 的值的方法有多 种 特别要抓住条件中的比例关系 平行关系及图 形的相似性等 二 用于表示向量 由于定比分点的向量公式均以向量的形式出 现 公式的右边是左边向量的表示 因此进行向量 表示时 如果题中出现分点或比例关系时 就可以 借助此公式 例 2 如图 已知O A a O B b C为A B上距 A较近的 一个三等分点 D为C B上距 C 较近的一个三等分点 用 a b 表示O D 解析一 因为 C为A B上的三等分点 则 1 2 所以O C 1 1 O A 1 O B 2 3a 1 3b 又 D为C B的三等分点 则 1 2 所以O D 1 1 O C 1 O B 2 3 2 3a 1 3b 1 3b 4 9a 5 9b 解析二 由已知条件得 D分A B所成的 5 4 则O D 1 1 O A 1 O B 4 9a 5 9b 点评用已知向量来表示其他向量也是一个 热点 常规的解法是利用三角形法则或平行四边形 法则 而本题利用定比分点的向量公式 过程相对 较为简单 特别是解析二 三 证明三点共线 利用定比分点的向量形式解决三点共线的主 要方法是在其中两个点确定的直线上确定一个点 与第三点重合 即可证明三点共线 例 3 已知点 A a b c B b c a C c a b 求证 A B C三点共线 定 比 分 点 的 河南省驻马店市第三中学李金章 O A B C D 向 量 公 式 及 应 用 数学爱好者2 0 0 7 3 名师点金 Mi n g S h i D i a n J i n 专 业 精心策划 S 高 一 数 学 爱 好 者 证明设 C c y 在A B上 C分A B的比为 则O C 1 1 O A 1 1 O B 1 1 a b c 1 b c a a b 1 a b c c 1 则 c a b 1 y a b c c 1 解得 a c c b y a b 所以点 C c y 与点 C c a b 重合 由题设知 C在 A B上 所以 A B C三点共线 点评本题证明三点共线是借助已知点 C的 横坐标另设一点 C c y 再通过利用定比分点坐 标公式求出 y 进而得出 C 与 C点重合达到证明的 目的 此题点 C 也可以设为 x a b 四 求字母系数范围 利用定比分点坐标公式求参数的取值范围主 要是根据分点 P 的位置不同 对应定比 的范围也 有所不同 即当 P为内分点时 0 当 P为外分点 时 0 1 当 P 为 A B延长线上点时 1 当 P 为 B A延长线上时 1 0 当 P 与 A重合时 0 当 P 与 B重合时 不存在 例 4 已知点 A 3 3 B 1 5 一次函数 y k x 1 的图象与线段 A B有公共点 求实数 k 的取值 范围 解析设 P x y 为一次函数图象与线段 A B 的交点 把 P看作A B的定比分点 定比为 则有 0 由定比分点公式有O P 1 1 O A 1 O B 1 1 3 3 1 1 5 3 1 3 5 1 而 P 点在函数 y k x 1 图象上 所以 3 5 1 k 3 1 1 解得 3 k 2 k 4 所以 3 k 2 k 4 0 即 k 2 3或 k 4 而当 P 点与 B重合时 k 4 也适合 综上所述 实数k 的取值范围是k 2 3或k 4 点评本题利用定比分点坐标公式解答此类 题型时必须明确分点是内分点还是外分点 特别是 分点在端点的情况 同时注意分类讨论思想的应用 五 解决平面几何问题 定比分点的向量形式实质上应用在三点共线 的基础上的 而平面几何图形中无处不存在三点共 线的情况 因此只要我们善于捕捉与所要解决问题 相关的三点共线 就可以使问题顺利解决 例 5 如 图 所 示 在平行四边形 A B C D中 P点在线段 A B上 且 A P P B m Q 在线段 A D上 且 A Q Q D n B Q与 C P相交于 R 求 P R R C的值 解析设B A a B C b P R R C 所以 P R R C 由题意有A P m P B A Q n Q D 则 B P 1 mP A 1 1 m B A 1 1 m a 因为 Q分A Q的比为 n 则 B Q 1 1 nB A n 1 nB D 1 1 na n 1 n a b a n 1 nb B R 1 1 B P 1 B C 1 1 1 m a 1 b 又 B R Q三点共线 所以存在实数 t 使B Q t B R 所以 t 1 1 m a t 1 b a n 1 n