毕业论文——浅析递推关系在高中数学的应用.doc

摘要 I 编号 本科学生毕业设计 论文 本科学生毕业设计 论文 题题 目 目 浅析递推关系在高中数学的应用浅析递推关系在高中数学的应用 系部名称 系部名称 数数 学学 系系 专业名称 专业名称 数学与应用数学数学与应用数学 摘 要 世界上的一切事物都在我们不经意之间悄悄的发生着变化 在纷繁的变幻中 许多现象是有规律可循的 这种规律往往呈现出前因和后果的关系 我们可以用 递推的思想去研究这些变化 本文先由斐波拉契的兔子问题着手简单的介绍了解 决兔子问题的斐波拉契数列 接着着重介绍递推关系在求解数列的通项公式中的 建立过程和求解方法 最后举例说明递推关系在高中数学概率 排列组合 数学 归纳法及我们日常生活中常见问题等几方面的应用 依据题意建立递推关系式 分析所建立的递推关系式的解法 学习递推关系的灵活多样的特点 如在求解数 列的通项公式时通常采用的逐差叠加法 通项代替法 递推解法等 同时让它融 入到我们的实际生活 解决我们经常遇到的一些实际实例 随着人们对递推关系 的深入和研究 形成了相当多的类型 我们对这些类型的深入研究 让递推关系 的应用更方便 使得其应用领域更为广泛 关键字关键字 递推关系 高中数学 数列 通项公式 ABSTRACT III ABSTRACT Everything in the word we inadvertently quietly changing in numerous changes many phenomena are regular This rule often showing the antecedents and consequences of the relationship we can use the recursive thinking to study these changes The paper first Fibonacci rabbit problems introduced a simple solution to the rabbit problem Fibonacci sequence then emphatically introduces the recursive relation in solving sequence passes a formula in the building process and the solving method final illustrate recursive relation in the high school mathematics probability permutation and aspects of the application According to the passage to establish recursion analysis the recursion method learn recursion relations for the flexible characteristic As in solving the sequence passes a formula usually differential superposition method general substitution method recursive solution At the same time make it into our real life we often encounter some practical solutions As the recursion relation for the development and research has formed the quite many types The type of in depth research let the applications of recurrence relation is more convenient make its more extensive applications Keywords Recursive relations high school mathematics sequence the formula of general term 目录 IV 第一章第一章 引言引言 1 第二章第二章 递推关系的起源与发展递推关系的起源与发展 2 2 1 斐波拉契数列的萌芽 2 2 2 斐波拉契数列的简介 2 2 2 1 斐波拉契数列定义及递推公式 3 2 2 2 斐波拉契数列的通项公式 3 2 2 3 斐波拉契数列的几个特性 3 2 3 大自然中的斐波拉契数列 4 第三章第三章 递推关系求数列的通项递推关系求数列的通项 5 3 1 一阶递推数列 5 3 1 1 一阶线性递推数列 5 3 1 2 一阶非线性递推数列 6 3 2 二阶递推数列 8 3 2 1 二阶齐次线性递推数列 8 3 2 2 二阶齐次非线性递推数列 9 3 3 分式递推数列 10 第四章第四章 递推关系在其他方面的应用递推关系在其他方面的应用 11 4 1 递推关系在概率中的应用 11 4 2 利用递推关系求解排列组合问题 12 4 3 在数学归纳法中寻找递推关系 13 4 4 生活中的递推关系 14 结束语结束语 15 参考文献参考文献 16 致谢致谢 17 第一章 引言 1 第一章第一章 引言引言 递推思想作为数学里的一种重要思想 体现了世界上众多事物所蕴含的现象 变化及其遵循的一种前因后果的关系 在众多的数学分支如 数列 排列组合 概率等中起着至关重要的作用 存在着非常广泛的应用 在高中数学里递推关系往往是与自然数相关联的 在处理与之相关的问题时 可建立与之相对应的数列关系 遇到直接求解比较困难的问题时 可以先由题意 建立适当的递推关系 然后再解决题目所要求的一系列问题 例如求数列的通项 公式 我们往往需要先根据题意建立符合题意的递推关系 根据已知条件选择递 推公式 最终得到所要求的数列的通项公式 这是近几年高考的热点 在高中数 学中递推关系主要应用在求解数列的通项公式 事件发生的概率 排列组合问题 和数学归纳法等几个重要方面 数列是高考的一个重点也是一个难点 我们常见的给出数列的方式并不唯一 通过递推关系及初始值给出这是一种最简单的类型 另外一种类型则需要我们自 行建立递推关系来解决 根据递推关系在数列问题中的结构类型 递推数列可分 为线性递推关系和非线性递推关系 按照相等和不等关系 递推数列可分为等量 递推 不等量递推等 在具体运用递推关系时 可按照下标由小到大递推 也可 按照下标由大到小递推 从递推方式上看可分为正向递推与反向递推 利用递推关 系与递推思想解决问题的方法称为递推方法 而要解决递推数列则是求递推数列 的通项公式这一核心问题 随着素质教育全面贯彻实施 理论与实际生活紧密联系是社会所关注的问题 也是国家希望学校培养的学生所能达到的目标和要求 递推关系在其中占据着非 常重要的理论依据 学好高中数学我们必须要了解递推关系在其各方面的涉猎 理解并牢固掌握 递推关系在其各方面的应用 这也为我们以后能够向更高层次发展打下坚实的基 础 更是为我们今后能够在学术问题进行探讨研究的起点 本文围绕递推关系在数列求解通项公式里的重要应用及其在概率 排列组合 数学归纳法 生活中的一些实例中的分析来体现递推关系在高中数学的应用 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 2 第二章第二章 递推递推关系的起源与发展的起源与发展 2 1 斐波拉契数列的萌芽 公元 5 11 世纪 1 在欧洲天主教会成为社会的绝对势力 封建宗教统治的 天主教会大力宣扬天启真理 长期的思想统治导致了民众理性的压抑 整个欧洲 文明在这一时期始终处于凝滞状态 公元 12 世纪 这种长期的凝滞状态受到了翻译的强烈刺激 开始出现逐渐 复苏的迹象 欧洲数学复苏之后 第一位有影响的数学家诞生了 那就是学术界众所周知的 斐波拉契 L Fibonacci 1170 1250 早年的斐波拉契跟随父亲向北非的阿拉伯 人学习算学 后来他游历了地中海沿岸的众多国家 回到意大利后把这一切写成 了 算经 Liber Abaci 1202 1228 年的 算经 修订版载有著名的 兔子问题 兔子问题 的提出斐波拉契本人并未对这个数列问题做进一步的探讨 到 了 19 世纪初有人发现了这其中蕴含的一些特殊意义并加以了研究 1960 年 世 界各国的数学家开始对斐波拉契数列及其有关现象进行关注并产生了浓厚的兴趣 针对这个问题他们不仅成立了著名的 斐氏学会 而且还创办了相关刊物 其 后各种相关文章也像 斐氏 的兔子一样迅速的增加 2 2 斐波拉契数列的简介 某人在一处有围墙的地方养了一对兔子每月生一对小兔子 而小兔子出生后 两个月就能生育 问从这对兔子开始一年内能繁殖多少对兔子 2 倘若每对兔子 都能一直正常的繁殖 将兔子对数作为研究对象 最初为 1 此问题就是著名的斐波拉契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 这个数列其实有很明显的规律 开头两个数为 1 以后的每个数字都是由它前 面两个数相加而得 但在经历了欧洲的漫长黑暗时期 斐波拉契数列可以看作是 第二章 递推关系的起源与发展 3 欧洲数学走向复苏的号角 2 2 1 斐波拉契数列定义及递推公式 一个数列 前两项等于 1 从第三项起以后的每一项都是前两项之和 则称 这样的数列为斐波拉契数列 斐波拉契数列 其递推公式为 1 31 212 nFFFFF nnn 2 2 2 斐波拉契数列的通项公式 我们在知道了斐波拉契数列为 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 这样的形式 且 这是一个线性递推数列 设它的特征方程为 1 31 212 nFFFFF nnn 1 2 xx 解得 2 15 2 15 21 xx 则 又 故 nn n xcxcF 2211 1 21 FF1 2 22 2 112211 xcxcxcxc 解得 5 1 5 1 21 cc 所以 这个数列的通项公式有 n F nn n F 2 51 2 51 5 1 这样一个看似简单的斐波拉契数列其通项公式却是通过无理数来表示的一个 非常完美的式子 2 2 3斐波拉契数列的几个特性 观察这个斐波拉契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 可以发现如下规律 1 数列的第 3 项 第 6 项 第 9 项 第 12 项的数字 能够被 2 整除 数列的第 4 项 第 8 项 第 12 项的数字 能够被 3 整除 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 4 数列的第 5 项 第 10 项的数字 能够被 5 整除 其余的以此类推 2 连续的 10 个斐波拉契数之和 必定等于第 7 个数的 11 倍 3 即黄金分割点 2 15 1 lim n n n F F 2 3 大自然中的斐波拉契数列 1 贾宪三角形中处于对角线上的各数之和构成的数列是斐波拉契数列 2 大自然里很多美丽的花朵其花瓣数目符合斐波拉契数列规律 换句话说 就是在大多数情况下 一朵花的花瓣数目都是 3 5 8 13 21 34 3 假若树枝是每年都长出一根新枝 而这根长出来的新枝两年以后每年也 能够长出一根新枝 则历年的树枝数目 构成斐波拉契数列 第三章 递推关系求数列的通项 5 第三章第三章 递推关系求数列的通项递推关系求数列的通项 在研究一个数列时 如果想要比较方便的获取该数列的某一项的值到底是多 往往需要去探索该数列的通项 然而有时候一个数列的通项并不是那么容易的可 以直接的得到 要是能够比较直接的得到相邻几项的一个关系式 那我们也可以 通过这个关系式进行递推进而得到所需项的值 这种相邻项之间的关系就是我们 常常所说的数列的递推关系 因此要进行数列的研究 递推的研究又是一个重要 的方面 下面是我的一些求解数列递推关系的一些探索与认识 3 3 1 一阶递推数列 引理引理 对于任意 由递推关系确定的 Nn 21nknknkn aaafa 数列称为递推数列 为阶数 4 k 若是呈线性关系的 则称该数列为线性数列 反之为非线性数列 f 本节内容通过重点分析一阶线性递推数列和一阶非线性递推数列 得到求这 类型数列的通项公式的方法 并总结它们解法的区别与联系 3 1 1 一阶线性递推数列 求形如 数列的通项 1 nfaa nn 例例 已知数列 满足的通项公式 5 n a 231 1 11 naaa n nn 解解 由已知 故 1 1 3 n nn aa 112211 aaaaaaaa nnnnn 2 13 1333 21 n nn 该类型的数列的前有限项和可求 我们通常是采用将其前有限项进行 nf 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 6 叠加的方法求解其通项公式 求形如 数列的通项 0 1 1 ppqqpqpaa nn 例例 设数列 其中 Ncccaaaaa nnn 1 11 且 求数列的通项公式 6 ca 0 c n a 解解 因为 1 11 nn aca 当时 数列的首项为 且后一项与前一项的比为 即1 a 1 n a1 ac 公比为的等比数列 c 所以 即 1 11 n n caa 11 1 n n caa 当时 仍满足上式 1 a1 n a 故 数列的通项公式为 n a Nncaa n n 11 1 在求解这类数列的通项公式时 我们通过观察可知数列的极限存在且为 n a 则 得 由 tqptt p q t 1 tan 1 tapqptqpa nn 得数列为等比数列 在处理实际的问题时我们还需具体问题具体分析 tan 3 1 2 一阶非线性递推数列 求形如 数列的通项 nn anfa 1 例例 设是首项为 1 的正项数列 且 求 n a01 1 2 1 2 nnn naanaan 的通项公式 7 n a 解解 由题意 对其进行因式分解易得 01 1 2 1 2 nnn naanaan 01 11 nnnn naanaa 因为数列的首项为 1 且每一项均为正数 则有 n a 第三章 递推关系求数列的通项 7 0 1 nn aa01 1 nn naan 即 1 1 n n a a n n 故 nn n n n a a a a a a a a n n n n n 1 1 2 1 1 21 1 1 2 2 1 1 通过观察 我们发现数列的前项的积容易化简 我们一般利用叠乘 nfn 法求其通项公式 求形如 其中 常数 数列的通项 nfpaa nn 1 nfnf1 例例 已知 且 求的通项公式 8 1 1 anaa nn 2 1 n a 解解 由 得 naa nn 2 1 121 1 nana nn 设 则 于是数列 nab nn 12 1 nn bb 121 1 nn bb 1 n b 是首项为 公比为 2 的等比数列 那么1 1 b 123 1 n n b na n n 133 1 求解此类型数列通项公式问题时 常用的方法是将作差转化为 nn aa 1 的形式进行求解 qpaa nn 1 求形如 数列的通项 k nn paa 1 0010 1 akkp 例例 已知 求数列的通项公式 3 11 41 nn aaa n a 解解 根据已知条件数列的每一项均为正数即 对上式两边分别取其0 n a 对数则有 令 则 故 nn aalg34lglg 1nn ablg nn bb34lg 1 12 1 3 n n a 该类型的数列问题在求解其通项公式时 我们一般利用取其两边对数的方 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 8 法 3 2 二阶递推数列 若题目给出了一个数列的前两项 且已知用第项和第项来表1 n 1 n an n a 示第项的关系式 如 形如这种类型的数列我们称之为1 n 11nnn aafa 二阶递推数列 求该数列的通项公式的方法一般采用构造法 本节主要介绍两种常见的二阶递推数列 二阶齐次线性递推数列和二阶齐 次非线性递推数列的求解过程和方法 9 3 2 1 二阶齐次线性递推数列 求解形如 其中均为常数 11 nnn qapaa qp 0 q2 n 数列的通项公式 例例 数列满足 求数列的通 n a1 1 a2 2 a 11 96 nnn aaa n a 项公式 10 解解 设 则 于是 11nnnn paaqpaa 11 nnn pqaaqpa 9 6 pq qp 解得 3 3 q p 故 当 那么数列是首项 11 333 nnnn aaaa nnn aab3 1 n b 为 公比为 3 的等比数列 13 121 aab 于是 1 31 n n b 2 1 33 n nn aa 第三章 递推关系求数列的通项 9 223 2 2 1 3433333 nnn n n nn naaa 对于二阶齐次线性递推数列问题 我们通常想到的解决方法是 类比求解一 阶线性递推数列的解法来求解二阶齐次线性递推数列的通项公式 3 2 2 二阶齐次非线性递推数列 求形如 其中为常数 rqapaa nnn 21 rqp 数列的通项 00 rq 3 n 例例 已知 求数列的 333211 2110 naaaaa n nnn n a 通项 11 解解 已知方程的特征方程为特征根为 n nnn aaa332 21 32 2 xx 3 1 21 xx 333 211 n nnnn aaaa 解 333 33 33 21 1 211 nn nn n nn n nn kaakaakaa 得 4 3 k 于是 4 3 3 4 3 3 21 1 1 n nn n nn aaaa 4 7 4 9 31 4 3 3 1 01 n aa 解得 16 1 73 34 1 Nn n a nn n 二阶齐次递推数列的是高中数学中的一个难点 我们可以从累加法和解方程 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 10 组法两个角度进行考虑 3 3 分式递推数列 设数列的首项为 且 其中 n a 1 a 2 1 222 11 1 n a a a n n 为常数 且 我们称这个递推公式为分式递 2 1 i ii 0 2 a 2 1 2 1 推数列 12 对于分式递推数列我们也可以写成 2 1 0 11 naaaa nnnn 例例 求 72 45 1 n n n a a a2 1 a n a 解解 对已知的等式左右两边同时加 则有 t 72 45 1 t a a ta n n n 而 假 72 52 47 52 72 4752 72 45 1 n n n n n n n a t t a t a tat t a a ta 设解得代入方程则有 52 47 t t t 2 1 21 tt 72 52 1 n n n a ta tta 相除可得的首项为 72 2 92 72 1 31 11 n n n n n n a a a a a a 2 1 n n a a 4 1 公比为的这样一个等比数列 故 3 1 134 234 1 1 n n n a 在求解分式线性递推数列的通项公式时 我们一般根据给出的形式进行一些 特殊的处理 将分式递推数列的问题进一步简单化进而求解其通项公式 第三章 递推关系求数列的通项 11 高中数学里求数列的通项公式是我们经常遇到的运用递推关系的实例 但同 样是在数列中求解数列的前项的和是我们遇到的另一个方面 13 n n s 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 12 第四章第四章 递推递推关系在其他方面的应用在其他方面的应用 4 1 递推关系在概率中的应用 概率作为数学概率论的一个基本概念是高中数学非常重要的知识 纵观近几 年高考数学中的概率问题考查内容都是将理论与实际结合的一些实际问题 具有 非常强的实践性和可操作性 本节着重介绍用递推关系及递推思想求解概率问题 的方法 体现了数学这一重要工具在日常生活中的重要应用 例例 某个电器开关闭合后 会出现红灯或绿灯闪动 已知开关第一次闭合出 现红灯和出现绿灯的概率都是 从开关第二次闭合起 若前次出现红灯 则下 2 1 一次出现红灯的概率为 出现绿灯的概率为 若前次出现绿灯 则下次出现 3 1 3 2 红灯的概率是 出现绿灯的概率为 记开关第次闭合出现红灯的概率为 5 3 5 2 n 求证 14 n P 2 2 1 nP n 解解 由题意可得 开关第次闭合后出现红灯的概率 必须考虑第n n P 次闭合后出现红 绿灯的情况 1 n 5 3 15 4 5 3 1 3 1 111 nnnn PPPP 令 15 4 1 xPxP nn 整理上述结果不难得出 那么易知为等比数列 19 9 x 19 9 n P 第四章 递推关系在其他方面的应用 13 15 4 38 1 15 4 19 9 19 9 11 1 nn n PP 所以 15 4 38 1 19 9 1 n n P 当时 2 n 2 1 38 1 19 9 15 4 38 1 19 9 1 n n P 在本题中与的关系为 为常数 是一 n P 1 n PbaPP nn 1 ba 0 a 个一阶递推关系式 我们通过构造等比数列对其进行求解 4 2 利用递推关系求解排列组合问题 排列组合作为高考必考内容 往往与其他知识结合以凸显它的实际意义 我 们知道有些排列组合问题 从正面直接求解比较困难 我们可以考虑前后两组合 数之间的递推关系 进而转化为数列问题 本节内容是递推关系在排列组合中的 又一应用 15 例例 日常生活中我们走一楼梯一般共 10 级台阶 假若现规定一次只能走 1 级 或 2 级 则要上这段楼梯共有多少种不同的走法 解解 设共有种不同的走法 最后一步的走法可分为两种 最后 1 步跨 1 n a 级 前共有种的走法 最后 1 步跨 2 级 前2 n级共有种不同1 n 1 n a 2 n a 的行走方法 于是 则 21 nnn aaa 8910 aaa 789 aaa 3 123 aaa 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 14 故 总共的走法有 10 a 89 10 a 解答本题的关键是 根据题意建立正确的递推关系 从而将问题转化为简单 的数列问题 进而求解 我们在解决这一些实际生活中的递推关系时可以建立相应的数列关系 当直 接求解这些数列问题比较困难时 我们不妨先由已知条件建立相应的递推关系式 然后求解数列的通项公式 最后由数列通项得到我们所要求的结论 4 3 在数学归纳法中寻找递推关系 近年来高考数学中数学归纳法是必考内容 通常以证明题的形式出现 此类 型的证明题通过其他证明方法通常不是很容易 尤其是含有递推关系的递归式 子 例例 证明 凸边形的对角线数存在关系n 3 3 2 1 nnnnf 证证 1 当时图形为三角形没有对角线 则3 n 即命题对成立 0 33 3 2 1 3 f3 n 2 设命题亦成立 那么此时凸边形的对角线数存在关系 3 kknk 式 当时 凸边形由原来的个顶点变为 3 2 1 kkkf1 kn1 kk 个顶点 则对角线数增加条 即那么1 k1 k 1 1 kkfkf 2 2 1 1 3 2 1 1 2 kkkkkkf 3 1 1 2 1 kk 所以 命题对时也成立 1 kn 第四章 递推关系在其他方面的应用 15 故 凸边形的对角线数对任意均成立 n 3 2 1 kkkf Nn 3 n 数学归纳法证明这类型的题的关键是找出这个关系1 1 kkfkf 式 在找不到递推关系的情况下同样可以由结论反推而得到 4 4 生活中的递推关系 我们所学习的知识能过用于实际生活才会更加充分的体现它的实用价值 递 推关系在我们日常生活中也是屡见不鲜 如随机游动问题 配对问题 涂色问题 子集选择问题等 例例 10 对夫妇参加舞会 现要求选择舞伴 其中规定同一对夫妻不能选择对 方当舞伴 舞伴必须是男女搭配 问有多少种不同的选法 16 解解 对于一般情形 假设有对夫妇 男士记为女士记为n 21n mmm 此时可供选择的方法为 n www 21 n a 假如 表示男士 1 选择女士 2 当舞伴 21 wm 若 此时剩下的对夫妇 还有种的选法 21 mw 2 n 2 n a 若此时又把看成一对夫妇 此时有中选 2 1 2 imwi 2 mwi 1 n a 法 同样的 我们考虑 4 3 1 niwm i 综上 2 1 21 naana nnn 由可得 2 1 0 321 aaa 1854 265 44 9 7654 aaaa 1334961 133496 14833 1098 aaa 所以 10 对夫妇共有 1334961 种选择舞伴的方法 本节以我们生活中常见的配对问题进行了举例说明 给出了解决这类型的问 题的一般方法与过程 也是最优分配问题解决的常用方法 四川民族学院本科学生毕业设计 论文 16 结束语结束语 论文浅析了递推关系在高中数学中的应用 随着数列问题在高考中的升温 要在高考数学中脱颖而出首先要学好基本的数列知识 然后要弄清递推关系在这 其中的重要作用 本文在斐波拉契数列的基础上 重点介绍了如何利用递推关系 求解高中数学中数列问题的通项公式 通过具体的实例分析及近年来的高考题的 呈现 为读者留下更为深刻的印象 从多方面多角度的了解问题 能够更有深刻 的去把握它 递推关系实际上是根据题意建立关系式求解问题的一个过程 这和现在提 倡的素质教育 探究发现式教学不谋而合 通过探索递推关系式的过程 培养高 中学生的探究问题的能力 总结出解决问题的有效方法 这样就再是传统的接受 学习 老师不是知识的灌输者 而成为一位指路人 学生也不是知识的容器 而 是一个探究者 这不仅仅与国际上现代教育的教育思想相一致 而且对促进我国 的 素质教育 的开展也有非常积极的作业 由于时间有限 对高中数学中递推 关系的归纳 概括还不够全