红外光学材料第一章.doc

第一章 红外光学材料基础1.1 引言在研制和使用红外光学材料时，必然要涉及到材料的光学和力学性质，如透过率、吸收系数、发射率、折射指数、色散等光学性质，还有断裂强度、断裂韧性等力学性质，以及使用环境对材料性能的影响如抗热冲击、沙蚀、雨蚀等。这就需要对这些参数的含义以及物理过程能有一个基本的了解。因此，本章所叙述的基础知识都是直接和材料性能密切相关的，以便读者能比较容易的地了解以后的内容。1.2 大气窗口高于绝对零度的任何物体都会产生热辐射。这种热辐射本质上是电磁波，也称为电磁辐射。其特性可以用频率和波长表示。这种电磁辐射波的传播速度，c=，c为光速（c2.99792458108m/s）。自然界存在各种不同频率（或波长）的电磁波，如射线、射线、紫外线、可见光、红外线、微波等。在表1-1中给出了各种电磁波所对应的波长和频率。根据普朗克理论，室温（300K）下物体辐射电磁波的波长处于红外波段。先进的红外探测器（如InSb、HgCdTe、PbSnTe等）能在红外波段远距离“看见”辐射红外电磁波的物体形貌。红外辐射经过在空气中的传播才可到达探测器。理论和实验都证明大气层中辐射电磁波的传播将会随距离而衰减。这是由于大气本身对辐射电磁波的吸收和散射作用，从而导致辐射电磁波强度随传播距离而降低。表1-1各种电磁波所对应的波长和频率电磁波名称波长/m频率/Hz宇宙射线31020射线10-1210-113102031019射线10-1110-83101931016紫外线10-83.810-7310167.891014可见光3.810-77.810-73.8910143.841014紫色光3.810-74.310-77.891014蓝色光4.310-74.810-7绿色光4.810-75.310-7黄色光5.310-75.810-7橘黄色光5.810-76.210-7红色光6.210-76.810-7紫红色光6.810-77.810-7红外线7.810-710-33.84101431011中红外310-6510-6长波红外810-61.410-5微波10-310-1310113109无线电10-13109地球表面上的大气随着离开地面的距离按其特性（如温度、大气组成等）可分为五层：对流层（0 km 12km），平流层（12 km 50km），中间层（50 km 80km），电离层（80 km 500km），逸散层（500 km 750km）。影响人们生活以及红外光学应用主要是对流层，对流层的特点是气体密度大，且随高度的增加温度下降。大气是由两部分气体组成。不变气体（N2、O2、Ar、H、He等）和可变气体（H2O、CO2、CO、O3、CH4等）。前者成分比例及含量基本上不随时间地点而变化，后者则随时间地点在变化，这两部分构成了大气的主要成分。除了这些气体成分外，大气中还包含有气溶胶，它是由半径为10-7cm10-5cm的固体和液体颗粒分散在气体介质中所构成。如果不考虑水蒸气，则上述构成大气主要成分在对流层中所占的比例如表1-2所示。表1-2成分分子量体积比/%N228.01378.084O231.998820.9476Ar39.9480.934CO244.0100.0322Ne20.1780.0018He4.0030.00052CH416.0430.00018通常大气中总含有水蒸气，但在地球表面不同位置，不同的季节和不同的温度，水蒸气含量是变化的，而且含量相差很大。但高度在14km以上水蒸气含量的变化很小，大气中水蒸气含量随高度的变化可以由下式描述，即 (1-1)式中：P0为水平面上水蒸气压力；h为高度；a为经验系数；a5103m。气溶胶是固体或液体颗粒并受地球引力作用，它的浓度随高度按指数形式衰减，即 (1-2)式中：N0为水平面浓度；h为高度；b为经验系数。水蒸气和气溶胶虽然在大气中含量不是很多，但它们对辐射电磁波在大气中的传输有较大的影响，因而必须要考虑。 辐射电磁波在大气中传输随传播的距离电磁波的强度衰减。引起辐射强度衰减的原因是大气（包括固定含量气体，不固定含量气体和气溶胶）对辐射电磁波有折射、吸收和散射。大气的密度很小（约为1.310-3g/cm3）其折射率和真空情况很接近，近似为1，因而一般情况下不考虑折射造成的辐射电磁波强度的损失。 严格的计算大气对辐射电磁波的吸收是很复杂的，目前已经发展了一些半经验的计算大气吸收的方法。辐射电磁波在通过大气介质时辐射电磁波与构成大气分子相互作用，大气分子中电子和核在相互作用力维持下，在其平衡位置附近作固有频率的振动。由于辐射的作用使分子发生极化，则分子在辐射电磁波作用下做强迫振动，振动频率和磁波波频率相同，振动的偶极子会产生次波辐射在大气中传播。如果大气密度、成分是均匀的，则只有在原来辐射传播方向上传播而在其他方向上由于次级波的相互干涉而抵消，因而在原电磁波方向上的传播是无衰减的。如果大气介质密度、组分不均匀，那么在其他方向上的次级波就不会由于发生干涉作用而相互抵消，即在其他方向也有电磁波的传播。根据能量守恒原理，在原电磁波传播方向上的能量将降低因而出现了衰减。以上这种情况可以看做是大气分子对入射的辐射电磁波的散射而引起的衰减。入射电磁波的频率接近或等于大气分子振动的固有频率时，则这种振动的振幅因吸收电磁波能量将加强，因而电磁波的能量被吸收转化为分子的热能。对辐射电磁波的吸收引起了沿传播方向强度的衰减。显然这种对电磁波能量的吸收是和原电磁波的频率有关。设q(,x)为大气中某一位置x处的辐射通量，那么在位置附近经过d距离由于衰减引起的辐射通量的变化为 （1-3）式中：为波数；为x处大气密度；k(,x)为单位质量消光系数，它是波数和位置的函数，严格的说对于不同组分（N2、O2、H2O等）和不同的物理过程(如吸收和散射)k(,x)是不同的，但是总的消光系数是上述各种单个消光系数的线性叠加。如果大气介质是均匀的，即k(,x)与x无关，则式（1-3）求解可写为 （1-4）式(1-2-4)为大气介质中辐射电磁波衰减所遵守的规律，称为波盖尔定律。实验表明，大气对辐射电磁波吸收起主要作用的是H2O、CO2和O3。大气中CO2含量比较稳定，H2O得含量则随季节、天气和地点而变化。O3在高层空间含量较为集中。图1-1表示大气典型的透射图谱。从图可以看出，在0.67m 1.1m，1.2m 1.3m，1.6m 1.75m，2.1m 2.4m，3.4m 4.2m，4.4m 5.4m，8m 14m波段有高的透射率，这就像大气对辐射电磁波的透射窗口称为大气窗口。常用的大气窗口为0.76m 1.1m，3m 5m 和8m 12m这三个大气窗口均在红外波段，它们是近红外、中红外和远红外。图1- 1 大气透射图谱在非均匀大气中，大气的散射向各个方向发射的次级波不能因相互干涉而抵消，因而出现了沿原电磁波方向能量的衰减，这种情况是大气分子对辐射的散射。在大气中含有大量的气溶胶粒子，它会对入射辐射产生散射，散射光的强度是散射粒子尺寸、散射粒子的相对折射率和入射辐射的波长的函数，可以用式（1-4）表示，由于散射作用辐射电磁波强度的衰减为 T=T0e-x （1-5）式中：x为经过的距离；为散射系数；T为透过率。研究粒子散射和（1-5）确定散射系数主要有以下几种方法：（1） 瑞利散射：当散射粒子半径r远远小于入射辐射波长时引起的散射称为瑞利散射，由瑞利散射求得的总散射系数为 （1-6）式中：n为散射粒子相对折射率；N为散射粒子浓度；为入射辐射的波长。由式（1-6）看出，因此对短波的散射要比对波长的散射更强一些，由于波长是微米（m）量级，因而瑞利散射主要是大气分子本身引起的散射，对于近红外到远红外，瑞利散射可以忽略不计。（2） 米氏（Mie）散射：对于当散射粒子尺寸和入射辐射的波长相近的一般气溶胶粒子情况时，要用米氏散射理论。对不同的散射粒子尺寸分布，由于米氏散射确定的散射系数和吸收系数为 (1-7) (1-8)式中：Qs和Qa为散射频率因子；n(r)为尺寸为r的散射粒子的折射率（3） 无选择散射：当散射粒子半径远远大于入射辐射波长时，这时则发生反射和折射，在宏观上仍是散射。这种对各种波长造成的散射是相同的，因之称此为无选择散射。1.3 黑体辐射普朗克辐射定律1自然界中处于一定温度下的任何物体都会向外辐射能量，则称为热辐射。物体辐射能量引起物体自身能量的不断损耗，结果降低物体的温度，但在热平衡情况下温度维持不变。因此物体在辐射能量的同时也在吸收能量，这种辐射和吸收与波长有关。辐射能量用发射本领（或辐射出射度）e表示，吸收能量用吸收本领a表示，它是吸收的能量与入射总能量之比。早在18世纪，基尔霍夫指出，对于各种物体它的发射本领e与吸收本领a之比是相同的，与物体的性质无关，等于在相同温度下绝对黑体的发射本领。即 (1-9)式（1-9）称为基尔霍夫定律，e0是绝对黑体的发射本领，它是波长和温度的函数。式（1-9）表明，发射本领大的物体它的吸收本领也大，如果物体对某一波长辐射不吸收，那么它就不能在某一波长辐射能量。绝对黑体是指物体能够全部吸收投射到它上面的能量，同时，物体的吸收本领a=1。对实际的物体吸收本领a1，引入辐射发射率=e/e0。它是实际物体的发射本领与相同温度下绝对黑体发射本领之比，根据的不同把辐射体分为三类：黑体=1；灰体1,而且与波长无关；选择体1，它随波长而变。式（1-9）中的普适函数f(,T)是黑体辐射波长和温度的函数。在历史上从经典物理基本理论出发推导出f的表达式，就是著名的维恩公式 ,c1和c2 是常数，和瑞利金斯公式，但他们的理论与实验上测得的黑体辐射光谱分布不一致。当时称为“物理学的灾难”。图1-2表示了这两个理论计算的光谱分布与测量的黑体光谱分布的比较。图1-2 理论计算的光谱分布与测量的黑体光谱分布的比较在1900年，普朗克提出了量子理论概念，普朗克假定黑体是由许许多多各自有固定振动频率的谐振子构成。每个谐振子发射的能量是不连续的，它是某一个最小能量单位h的整倍数，它吸收能量也是以h的整数倍进行。这样一个能量单元h称为量子，普朗克在提出黑体辐射的量子假设后，利用谐振子能量分布应该满足麦克斯韦尔波尔兹曼统计，谐振子能量为nhv的谐振子数为 ，求得普适函数f表示如下： （1-10）上式就是著名的普朗克公式，如果用波长可表示如下： （1-11）普朗克公式计算的结果与实验结果完全相符。图1-3是根据普朗克公式（1-11）计算的不同温度黑体的发射光谱曲线。对于式(1-11)波长从0进行积分可以求得： （1-12）式（1-12）称为斯芯藩波耳兹曼定律，这里=5.669610-8（W/m2K4）。它表明黑体在单位时间从单位面积上辐射的总能量与温度的四次方成正比。在式（1-11）中由可以求出波长极大值max与温度的关系： （1-13）式（1-13）称为维恩位移定律。这里C=2898mK。从图1-3的曲线以及斯蒂芬波尔兹曼定律可以得出如下结论：在每一个温度下发射光谱分布只有一个极大值；温度越高其峰值波长max向短波方向移动；任何两个不同温度的发射光谱曲线不能相交；峰值波长max两边曲线下的面积（辐射的能量）之比约为1：3。 对应于室温T=300K，则由（式1-3-5）计算max=9.66m。对于自然界中的物体其辐射集中在红外波段。图1-3 不同温度黑体的发射光谱曲线1.4 波动方程和光学常数2，3光波在介质中的传播规律完全可以用求解麦克斯威尔（Maxwell）方程组得到。根据电磁场理论，随时间变化的电场在它周围产生了随时间变化的磁场，而随时间变化的磁场又在它周围产生了随时间变化的电场，如此周期循环，形成了电磁波在空间的传播过程。从实用的角度，通常的观测点距辐射体距离较远，因此所遇到的大多为平行光，与之对应的电磁波是平面波。这一点从下面对麦克斯威尔方程组的讨论中可以更加清楚的看到。麦克斯威尔方程组微分形式可写为 （1-14） 要求解以上方程还需要以下几个条件 （1-15）式（1-14）和式（1-15）的量有如下的意义：为磁场强度，为磁感应强度， 为电场强度，为电位移矢量，为电流密度，为空间自由电荷密度，为介质电导率，0r是介电常数，0为真空介电常数，r为相对介电常数。0r是导磁率，0为真空导磁率，r为相对导磁率。在理想介质中，因而。在理想介质中不存在自由电荷，所以，同时介电常数和导磁率处处相等，而且是常数。我们所遇到的实际介质都是非磁性的，因而相对导磁率，所以，那么式（1-14）可写为 （1-16）在矢量分析中有如下关系： （1-17）考虑到式（1-16）中的第四个方程，式（1-17）可写为 （1-18）现在对（1-16）式中的第二个方程两边取旋度，得 （1-19）把（式1-16）的第一个方程和式（1-18）代入到式（1-19）中得 （1-20）该式是理想介质中无源波动方程。如果选取z轴为波的传播方向，那么，电磁波的电场矢量和磁场矢量位于和z轴相垂直的平面内，且相互垂直。波动方程式(1-20)的解可写为 （1-21）式中：，很容易证明a就是电磁波在介质中的传播速度。式（1-21）是理想介质中平面电磁波方程。习惯上式（1-21）常写成复数形式： （1-22）定义为相位常数，是单位长度相位的变化；是在z处的位相。在讨论电磁波传播问题中常把相位常数称为波矢量（又称波数）。这里是波传播方向的单位矢量。式（1-22）又可写为 （1-23）波长为相位改变2 所走过的距离， 即，f是频率。式由（1-23）看出，在理想介质中，平面波是以正弦波形式向前传播。传播速度为，没有耗损。但实际的介质是一个有限值，这时。如果是平面波，把式（1-22）对时间求导数，得 （1-24）将式（1-24）代入式（1-14）第一方程，得 （1-25）令，称为复介电常数。式（1-25）可写为 （1-26）用相同的方法可以得到类似式（1-14）的解 （1-27）式中：，引入相对复介电常数。，。那么。我们知道真空中光的传播速度，设，则，n*称为复折射率。那么n*可写为，这里n和p是复折射率的实部和虚部。n表示了真实的折射率。于是有 （1-28）对上式进行复数运算，令等式两端实部和虚部分别相等得 （1-29）把代入式（1-27），得到 （1-30）在式(1-30)中，右端表示随着距离电场强度的衰减。如果只看电磁波强度随距离的变化，令，则 （1-31）式中：称为吸收系数；p为消光系数。式（1-30）中右端第二指数项中表示了电磁波在晶体介质中的传播速度，这和理想介质中是相同的。定义，为电磁波在真空中与在晶体介质中的传播速度之比，称为该晶体介质的折射率。由此得到复折射率的实部是折射指数，虚部是消光系数。由式（1-29）所确定的折射指数n和消光系数p一般称为光学常数。但严格意义上说，n和p都不能说是常数。从式（1-29）看出，n和p都与电磁波的频率有关。这里应该注意，式（1-29）中的电导率不是通常的直流或低频电导率而是高频电导率。由式（1-29）看出，在理想介质中，p0。电磁波的传播没有能量的损失。在非理想介质中，折射指数n与频率有关，频率越高，折射指数越小，折射指数随频率的这种变化关系称为色散。以后还要详细讨论有关的色散的问题。电磁波在真空（大气）中的传播速度。0是真空中的波长。在晶体中的传播速度。是频率为的电磁波波长。于是。由此得出，即晶体介质中电磁波波长是真空中波长的。1.5反射和折射4平面电磁波的电场分量和磁场分量与电磁波的传播方向垂直，而且电场分量和磁场分量也相互垂直。传播方向、电场方向和磁场方向这三个方向之间应该满足右手螺旋法则。电场强度与传播方向z相互垂直，即它位于xOy平面上。但是有可能在不同的时刻它的x和y分量不同，也就是在一个固定的xOy平面上一个时间周期内合成电场的末端轨迹可以画出不同的形状，把这称之为电磁波的极化。如图1-4所示，设两种介质的界面是水平面，z方向是其法线方向，电磁波沿着s方向入射向界面，那么s和z所构成的平面称为极化平面（有时也称入射平面）如果入射电磁波的电场矢量与极化平面相垂直，这种波称为水平极化波。如果电场矢量位于极化平面内，则这种波称为垂直极化波。因为电场矢量和磁场矢量是相互垂直的，对电场矢量是水平极化波，那么对于磁场矢量就是垂直极化波。对于电场矢量相对极化面是任意方向的，均可以把它分解为水平极化波和垂直极化波。xOy（与纸面相垂直的平面）平面是两种介质的分界面，两边分别有介电常数1、2和导磁率1、2，两种介质中的传播速度和， 相位常数为和。若认为是理想介质，即，电磁波在传播过程中没有能量的损耗。图1-4两种介质分界面赫水平面如图1-5所示，水平极化波入射到界面则会发生电磁波的反射和折射，以为入射角，是反射角，是折射角。根据平面波的性质，入射波，反射波和折射波的电磁场都必须垂直于传播方向。图1-5 水平极化波在两种介质界面上的反射和折射这里所讨论的电磁波是平面波，因而入射波、反射波和折射波均是平面电磁波。以表示入射平面波的电场强度；表示反射平面波的电场强度；表示折射平面波的电场强度。那么，对这三种平面波可以写出如下关系式 (1-32)对于磁场矢量有：这里反射波的传播方向与入射波相反，因而指数函数中取“+”号。在图1-5中，由三角形关系可得到对和可得到相似关系，因此有 (1-33)把式（1-33）代入式（1-32）中，去掉时间因子，同时考虑是在入射的O点发生反射和折射，因此，于是得 (1-34)和 (1-35)由电磁场在界面上的边界条件，知道电场矢量和磁场矢量切向分量是连续的，即E1t=E2t，H1t=H2t。由于水平极化波的电场矢量就位于xOy平面上，因此有 (1-36)水平极化波的磁场矢量在水平极化面上有切向分量和法向分量，其切向分量为 (1-37)式中：，称为波阻抗。它的意义就是在给定的介质中，电磁波中的电场和磁场之间有一确定的关系，他们相互正交分量的比值就是波阻抗，即根据边界条件，有 (1-38)把式（1-32）、式（1-33）、式（1-34）和式（1-35）代入到式（1-36）和式（1-38）中，得 (1-39) （1-40）式（1-39）和式(1-40)在xOy平面上任意点入射都是成立的。也就是对x可取任意值。只有等式两边的指数相等才可以满足这一条件，由此可得 （1-41）由式（1-41）的前一个等式得 （1-42）这就是人所共知的反射定律，即反射角等于入射角。由式（1-41）的后一等式得或 （1-43）这就是大家熟知的折射定律（也称Snell公式）。反射定律和折射定律只确定了反射波、折射波和入射波之间传播方向关系。它不能确定反射波和折射波振幅的变化关系。因此需要求出平面电磁波的反射系数和透射系数。把式（1-42）和式（1-43）代入式（1-39）和式（1-40）中，则 （1-44）由式（1-44）可求出水平极化波的反射系数和透射系数t分别为 （1-45）对于一般的介质，可以认为=1。因此，。于是式（1-45）可以写成用折射率表示的水平极化波的反射系数和透射系数，为 （1-46）对于垂直极化波，可以用完全相同的计算步骤求得反射系数和折射系数为 （1-47）式（1-46）和式（1-47）就是著名的菲涅尔公式，它表示了各个波振幅之间的关系。通常的反射率R和透射率T是指的能量比，因此，于是反射率和透射率表示如下 （1-48）显然在的理想介质中，这与能量守恒定律是一致的，如果是垂直入射，则。因此，有 （1-49）在垂直入射时水平极化波和垂直极化波的反射率和透射率是相等的，因而不必去区分水平极化还是垂直极化。1.6 薄膜光学5为了适应各种需要，在红外光学基底材料的表面上要蒸镀增透膜和保护膜。前者是为了最大可能增大透过率提高红外成像质量，后者是在恶劣的环境（如高速的雨滴或沙粒的冲击腐蚀）使光学元件（如窗口和整流罩）透射性能没有很大衰减。平行光（平面波）垂直入射到有多层膜的基底表面上发生怎么样的反射和透射。在增透膜的情况下，如何能把反射减至最小，这就是本节要讨论的问题。从式（1-47）和式（1-48）知道在两种介质界面上的反射和透射都是与两种介质的折射指数有关，因此，把基底材料和膜层称为膜系。对于每种基底材料有一个膜系，在基底材料3表面上有一厚度为d的膜层Z2，有一平面波以任意角入射到膜层表面，入射面为xOz面（见图1-6）。图1-6 单层膜的反射在膜层表面发生反射和折射，反射角为，折射角为，介质1，2，3的波阻抗分别为。现在定义法向波阻抗是相对于介质界面法线方向传播电磁波正交的电场和磁场的比值，用符表示法向波阻抗和波阻抗之间的关系。对于水平极化波，对于垂直极化波，i是介质i中波传播方向和法线方向的夹角。对于无机介质可以认为；对于光学透明的介质吸收比较小，因此，。入射电磁波为水平极化波（电场在y方向），入射面为xOz，其电场强度与入射面垂直。在 y方向，入射角为，电磁波进入薄层d以后发生折射，为折射角。由式（1-32）的第三个方程可得折射波的电场为，这里去掉了时间因子，以代替，这一折射波到达膜层的下底面还会发生反射。按照式（1-32）第二方程，反射波电场为，这样的反射波到达薄层的上界面又会发生反射。但必须注意上、下界面上所发生的多次反射波的传播方向是相互平行的，可以用一个合成电场来表示薄层中总的电场强度，即 （1-50）式中：A和B为待定的电场振幅。相互正交的电场强度和磁场强度分量之比是波阻抗。于是，相应的磁场切向分量H2x可写为 （1-51）上式中括号那的“”是因为从上界面反射波磁场切向分量为负。在z=0的分界面上（x0和z0），根据电场和磁场切向分量相等，有，所以 由此得 （1-52）在z=d的界面上 （1-53）令 ，称为输入波阻抗，考虑式（1-52）做一定的数学运算，式（1-53）可写为 （1-54） 这里，在介质1中入射波和反射波的合成场强度可写为 （1-55）式中：，当z=d时，根据在上界面上电场和磁场强度的切向分量是连续的条件，由式（1-55）得 (1-56)式中：C为入射波振幅强度；D为反射波振幅强度。由此可求出反射系数为 （1-57）把式（1-54）的Zin代入式（1-57），经整理得 （1-58）这里 反射率 （1-59）从式（1-58）可看出，对于单层膜，如果是垂直入射0，如果薄层厚度d是/4的奇数倍，即，（是膜层中的波长），。如，或者说（n2d为膜层的光学厚度），这时，则，式（1-59）变成 （1-60）如果用折射指数表示， ，那么，反射率 （1-61）从式（1-61）可以看出，假定大气的折射率n1=1。当，即时，R=0，即满足光学厚度为1/4波长的奇数倍，同时膜层的折射率是基底材料折射率的开平方时，得到的反射率R=0。要注意，它是在给定的波长。如果膜层和基底材料存在有吸收则得到的透过率T不会是100%。单层膜如果满足上述条件，在对应的波长上可以大大减少反射损失，提高透过率。在对应波长的有限的一个波段内透过率也得到了提高，但是，实际上对于给定的基底材料（折射率为n3）常常不易找到的膜材。另外，需要增透的不是某一个波长，而是一个波段（如3m5m，8m12m）。这样就需要用多层膜以达到所要求的结果，实现宽带增透。用和上面单层膜相似的方法来分析多层膜的反射系数。假定在基底材料1上有n-1层不同厚度的膜层（见图1-6），电磁波以任意角度n+1入射到第n层介质的表面，入射角n+1，现在要确定在介质n+1中入射波的反射系数。现在仍以水平极化波（其电场矢量位于界面上）来进行分析。图1-6多层膜的反射在第i层中的电磁场都是入射和反射的合成电磁场，可写为 （1-62）这里略去了关于x的因子。假定介质2不是一个薄层，向上无限延伸，则按照式（1-62）基底1表面上的反射系数可写为如果把Z1（介质1中的波阻抗）看作是界面1处的输入波阻抗，那么界面1的反射系数可写为对于界面2处的反射，同样认为介质3延伸无穷远，则相似有此式与式（1-57）完全相同，即相当于单层膜的反射系数。依次把每一个界面的波阻抗Zi用输入波阻抗代替，则对于第i层的反射系数为 （1-63）这里由此，得到在界面上第n层的反射系数为 （1-64）介质n+1通常是大气， Zn+1=1，因此，多层膜的反射系数为 （1-65）反射率 （1-66）1.7折射指数和色散6在前面的讨论中（如式（1-4-16），固体的光学常数n和k（或和）是与电磁波的频率有关，说明电磁波（光）在介质中的传播速度与频率有关。把这种关系称之为色散，严格的说，折射指数与消光系数都与频率有关，但通常关心的是折射率与频率（或波长）的关系。因为在成像系统的工程设计中折射指数的变化对象的质量有较大的影响。通常把称为正常色散，称为反常色散。红外光学晶体都是正常色散，即随着频率升高（波长缩短）折射指数增大。经典电磁理论认为，介质中的原子和束缚电子形成电偶极子。在入射电磁波的作用下，电偶极子做强迫振动。从电磁场理论可以知道电偶极子的振动会辐射电磁波，与入射电磁波相比称为次级波。因而在介质中就存在两种电磁波，入射波和次级波。而在介质中传播的则是两种波的合成波，显然，合成波的相位和入射波的相位不同，即电磁波通过介质时相位发生了变化。电磁波的传播速度和在真空中不同，而且与频率有关。因而，这就是形成介电常数的原因。色散的经典理论是洛仑兹（Lorentz）偶极子理论，该理论认为介质是由正负电子构成的谐振子组成。这里假设带正电的原子核是不动的，只有电子在运动。每个谐振子有相同的固有频率，电磁波入射到介质中后，谐振子在以下几种力的作用下做强迫振动：回复力，它正比于电子离开平衡位置的距离，这种力可以写为。阻尼力，它正比于电子的运动速度，可写为。入射电磁场的作用力，所以按照牛顿运动方程可写出或 （1-67）式中：x，e，me分别为谐振子振动的位移、电子电荷和电子质量；r为阻尼系数；0为谐振子固有振动频率。式（1-67）的解可表示为 （1-68）上式说明谐振子在入射电磁场的作用下是做强迫振动。其振动频率与入射电磁波频率相同，但其振幅是复数。如果单位体积中有N个偶极子，极化强度就是单位体积的偶极子电场强度，等于Nex。另外，极化强度又与电场成正比，比例系数称为极化率。所以，极化率，相对介电常数，介电常数也是复数，因此可引入复折射率，因此有 （1-69）由实部和虚部分别相等，得到 （1-70） （1-71）由式（1-70）和式（1-71）可以分别求出n和k的表达式。上述两个方程就是经典理论的色散关系。图1-7表示了色散经典理论所得到的光学常数n、k与频率的关系。从图1-7看出，折射指数和消光系数随变化的关系比较复杂，可以分为四个区域，在0附近n和k都有一个极大值。对于每一种介质都有一个特征频率0。当时，由式（1-71）看出，或吸收趋向于0。从式（1-70）可知 （1-72）由低频的值即可求出0。例如，对Si，对Ge，当0时，随着频率的减小（或波长的增加）折射指数降低，这和一般的红外光学材料折射率随波长变化规律相一致。另外，在 区，k值很小，是光学透明区。因此，色散的经典电磁理论与实验结果定性的相一致。图1-7光学常数n、k和频率的关系在量子理论中，不是把光看作平面电磁波，而看成是由光子组成，则光子和电子的相互作用会引起电子的能级跃迁，同样把光子场和原子的相互作用可用一组线性谐振子表示，每一个线性谐振子有一个共振频率j。从而，吸收光子经过含时间微扰理论的计算可得到与经典理论相似的表达式为 （1-73） （1-74）式中：fj是第j个线性谐振子强度。由式（1-73）和式（1-74）可以分别求出n和k，似乎n和k是两个相互独立的光学常数。n和k是复折射率的实部和虚部，但是克拉莫（Kramers）和克朗尼格（Kronig）的研究表明，一组光学常数量，如n和k之间并非完全独立，而是相互有关系的，这种关系称为克拉莫克朗尼格关系（或称KK关系）。只要知道了在整个频率范围内n值，则可以算出消光系数k值。相反，只要知道了在整个频率范围内的消光系数，则可求出任意频率下的折射指数。对于折射指数n和消光系数k的克拉莫克朗尼格关系为 （1-75） (1-76)吸收系数，于是式（1-75）变成对于长波的折射指数（） ，得 (1-77)由式（1-76）根据在一个很宽范围吸收系数的测量，计算的值与实际测量的长波n值符合得比较好。式（1-70）和式(1-71)表示的折射指数与波长的关系定性地与实验结果相符合。但是折射指数在光学工程设计中是一个很重要的量。它包括色散关系、温度关系都需要准确的知道。Sellmeire公式能很好的描述许多光学材料的色散关系7，即 （1-78）式中：n为折射指数（在波长），Aj、Bj、k是三个常数。研究表明，取k3已可满足对折射指数精度的需求8 。 Aj和Bj可用逐次逼近法去拟合求得。1.8在各向异性介质中光的传播双折射晶体是原子（或分子）在空间有规则排列而成，它也可看成是由一个原子或几个原子所组成的基本单元堆积而成。这基本单元称为原胞。晶体是由原胞重复排列而构成。因此，原胞中某一位置的原子在晶体中是周期性的出现。通常所说的晶体结构实际指的是组成晶体的最小单元-原胞的结构。在红外光学晶体材料中最常见的晶体结构有以下几种：（1） 金刚石结构。它是由一种原子构成的晶格但却是复式格子，如图1-8所示，在一个面心立方原胞内还有四个原子。分别位于四个空间对角线的1/4处，也可以看成是由两个面心立方原胞沿其空间对角线位移1/4长度套构而成。在顶角及在面心上的原子周围情况不同。64图1-8 金刚石结构因此，金刚石结构每个原胞中包含有2个碳原子。锗、硅等元素半导体都是金刚石结构。（2） 闪锌矿结构。闪锌矿结构原胞中原子排列情况与金刚石结构原胞中排列情况相似，只是由于原胞内的原子和位于顶角及面心上的原子分别属于不同的元素，或者说，两种原子各自在构成面心立方的格点上，这两个面心立方体相重合，然后沿空间对角线位移1/4长度所构成的原胞就是闪锌矿结构。如图1-9所示GaAs、GaP、ZnS和ZnSe等的晶体结构都是闪锌矿结构。图1-9 闪锌矿结构（3） 六角结构。六角晶体结构是如图1-10所示，上下两个面均为六边菱形，在一层上每一个原子与六个原子相连接。在这一层上在堆放第二层相似排列的原子层。其排列的方式是第二层中的一个原子与下面第一层中的三个原子连接，第二层之上堆放第三层，则第三层上的每一个原子对应于第一层的每一个原子，这样就构成了六角密集结构，每个原胞中包含两个原子。蓝宝石单晶就属于六角结构。（4） 尖晶石结构。尖晶石（MgAl2O4）结构如图1-11所示，可形象看作氧离子的立方面心结构，在氧离子间隙分布Al+3和Mg+2离子。即Mg+2离子占据四面体的间隙位置，每个Al+3离子周围有六个O-2离子。铝酸镁、氮氧化铝等都是属于尖晶石结构。图1-10图1-11 尖晶石晶体结构晶体是原子（这里称为格点）有规则周期性排列，所有原子周围的情况都是相同的。通过任意两个格点引一直线，则在这直线上含有无限多个格点，这样的直线称为晶列。通过相邻格点可以做出与之相同的平行晶列，构成一族晶列。晶列取向称为晶向。同样，通过任一个格点可以做一个平面。这一平面上包括无数个格点，通过平面近邻的格点可以做一平行平面。于是构成一族平行平面，它包含了晶体中的所用格点。晶体的最小重复单元是原胞。格点只在原胞的顶角上，取一个顶角的格点作为坐标的原点，从原点向另外三个顶点引直线作为坐标轴。如图1.12所示为坐标轴x、y、z上三个基矢，则晶体中任意一个格点M的位矢为 (1-79)式中：是位矢Rl在三个坐标轴上的截距。整数且为互质，它表示了晶列OA的方向。在结晶学中表示一个晶面的取向是用密勒指数（hkl）来表示的。在一个晶面族中取最靠近原点的平面，它与三个坐标轴的截距分别为m、n和p，使1/m、1/n和1/p公约为一组整数，这就是密勒指数（hkl），如图1-12中的ACE面，它在三个轴上的截距为，则密勒指数为（111），则用（111）表示全部平行于ACE面的面族。通常垂直于平面的方向，如垂直于（111）面的方向表示该平面的方向，写为111。对于立方结构的晶体表示晶面取向用（hkl）表示。图1-12 晶面表示图1-13 六角结构晶面表示 对于六角结构，密勒指数是四个，如图1-13所示，坐标原点O在六边菱形的中心格点上。xOy平面与z轴垂直，x轴和y轴夹角120。但x轴和y轴与z轴的夹角为90，为了方便的表示一个晶面，采用四轴坐标系。从O点再引一个u轴，则；因此，一个晶面可以用（hkil）来表示，例如ABCD面与y轴和z轴平行截距为+，与x轴和u轴截距为+1和-1，因此，ABCD面的晶向可表示为。在一个原子规则排列的晶体中，从晶体中某一位置向某一方向看去，与向另一方向看去的情况相同的这种晶体称为是各向同性的。表征该晶体的物理量就不会因不同的方向有所差别，大多数红外光学晶体是各向同性的。如果从晶体中某一位置向不同方向看去，原子的排列情况是不相同的，这类晶体称为各向异性。表征各向异性晶体的物理量（如折射指数、热导率、热膨胀系数等）在不同方向将会有不同的值，六方结构的蓝宝石其性质是各向异性。这里只讨论光学性质的各向异性。光是电磁波，当光通过晶体介质传播时，介质中的正负电子对（这是广义的，即负电中心和正电中心所构成的正负电子对）。在电磁波电场的作用下相对位置发生变化，产生电偶极矩之和称为电极化强度。如果电极化强度与外加电场成正比，即，这里，是极化率，是真空介电常数，是电极化系数，这类晶体介质称为线性晶体。如果电极化强度和外加电场的关系不是线性的，其关系可写为。则这类晶体介质称为非线性晶体。红外光学晶体（无论是各向同性还是各向异性）都属于线性晶体。就是电极化强度与外加电场成正比。在真空中，电场强度和产生电场的自由电荷密度之间关系是众所周知的高斯定律。在晶体介质中由于有极化而产生偶极矩，即产生了束缚电荷密度。上述高斯定律不再成立。如果引入一个电位移矢量，且 （1-80）式中：为相对介质常数；为晶体介质的介电常数。这时 （1-81）式中：为产生电场的自由电荷密度。要求解晶体介质中的电场强度E，先解式（1-8