利用几何画板探究轨迹问题.doc

课程整合：利用几何画板探究轨迹问题福建三明九中 黄玉山 (05-1-10)几何画板是21世纪的动态几何。是探索几何学奥秘的强有力的工具。它所具有的强大的数值及函数值计算功能及图形动态演示功能，使得平面解几中的轨迹，通过画板演示，能形象、准确地观察到轨迹的变化。形成直观生动的动态轨迹，使人们原本无法实现的运动轨迹，直观展示在众目之下。当然，要想利用几何画板探究轨迹问题，首先必须把已知条件，通过设计化为几何画板上的演示图形，从而实现运动轨迹的产生呈现。下面本人就三例圆锥曲线中有关角平分线形成的轨迹问题 ，通过几何画板演示，探究形成的轨迹，并从几何方面求解验证所得的轨迹方程。轨迹之例1：已知F1、F2为椭圆的两个焦点，点P是椭圆上任一点。过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程。1、画板作图：如图：以F1、F2为焦点(|F1F2|=2c)，2a(2c)为长轴长画椭圆(|PF1|+|PF2|=2a)。P为椭圆上的动点。作F2PT的角平分线。过点F2作角平分线的垂线，垂足为M。移动点P，观察垂足M的轨迹。可以看到垂足M的轨迹形成一个以原点为圆心的圆。2、探究轨迹方程：由演示可知轨迹为一个以原点为圆心的圆，下面只要求出半径r即可。根据角平分线性质可知，|PF2|=|PQ|，又由椭圆定义可知，|F1Q|=2a。又|F2M|=|MQ|。过F1F2中点O，连OM，OM为F1F2Q的中位线，|OM|=|F1Q|=a。不论点P在椭圆上任何位置，动点M到O点距离始终等于a。所以点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，即：x2+y2=a2。轨迹之例2：已知F1、F2为双曲线的两个焦点，点P是双曲线上任一点。过某焦点F作F1PF2的角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程。1、画板作图：如图：以F1、F2为焦点(|F1F2|=2c)，2a(0)。这时圆与渐近线的交点为空，即) ()当点P在左支上时，这时|QF1|=|PF2|-|PF1|=2a，M、O分别为F1F2、QF2的中点，MO为QF1F2的中位线，MO为QF1长度的一半，即|OM|=a。M的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆的优弧。(当P无限远离原点时，角平分线趋于渐近线y= (x0)。这时圆与渐近线的交点为空，即) ()。综上所述：点M的轨迹是一个以原点为圆心，半径为a的圆扣去两点。即轨迹方程为：x2+y2=a2 ()。同理若过F1作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M。则M的轨迹方程为：x2+y2=a2 ()。轨迹之例3：已知F1、F2为双曲线的两个焦点，点P是双曲线一支上异于顶点的任一点。求F1PF2的内切圆圆心M的轨迹方程。1、画板作图：如图：以F1、F2为焦点(|F1F2|=2c)，2a(2c)为实轴长画双曲线(|PF1|-|PF2|=2a)。P为双曲线右支上异于顶点的动点。|PF1|-|PF2|=2a。作F1PF2的内切圆，圆心为M(即两个角平分线的交点)。移动点P，观察圆心M的轨迹，可以看到圆心M的轨迹是两条垂直于x轴无端点的垂线段(夹在两条渐近线之间、与x轴无交点)。2、探究轨迹方程：由演示可知，点M的轨迹是夹在两条渐近线之间、与x轴无交点的两条垂线段(无端点)，垂足为A，则A的坐标如何？由内切圆性质可知：|PE|=|PD|、|F2E|=|AF2|、|F1A|=|DF1|。又由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=2a，由|PE|=|PD|得|F1D|-|EF2|=2a，由|F2E|=|AF2|、|F1A|=|DF1|得|F1A|-|AF2|=2a又|F1A|+|AF2|=2c|F1A|=a+c。|FO|=c，|OA|=a，垂足A是双曲线的右顶点。所求点M的轨迹方程为：x=a (-byb且y0)(当点P远离原点时角平分线PM趋近于渐近线y=，纵标y b或-b)。同理：当点P在双曲线的左支时，同理可得M的轨迹方程为：x=-a (-byb且y0)(当点P远离原点时角平分线PM趋近于渐近线y=，纵标y b或-b)。综上三例可知：利用几何画板探究平面解几中的轨迹问题，是行之有效的方法。很多轨迹问题，只要通过几何画板的演示，一目了然。利用几何画板演示还可避免犯错。如轨迹例2，有的参考书