《线性代数》练习题及详细解答.doc

线性代数练习题及详细解答第一章1. 1. 解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示.1);2);3).解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得2y=-1, y=-1/2, 再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2, 绘出图示如下图所示, 两直线相将于一点方程有唯一解.2) 将第二个方程除以3得, 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解, 绘出图示如下图所示3) 将第2个方程除以2, 可以得到第一个方程, 令y=t为任意实数, 则x=1+t, 方程组的解集为(1+t, t), 图示如下图所示, 方程的解集为一条直线.2. 用Gauss消元法解下列线性方程组.1)2)3)4)解: 1) 对增广矩阵进行变换:则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有无穷多解, 解集为(10-3t, 5t-7, t).2) 对增广矩阵进行变换:则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=-t, x2=2t-1, 解集为(-t, 2t-1, t).3) 对增广矩阵进行变换:方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.3. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.1) 无解:2) 有唯一解:3) 有无穷多解:解:1) 对增广矩阵作变换:因此, 要使方程组无解, 须使8-3k=0, 解得k=8/3, 即当k取值为8/3时, 方程无解.2) 对增广矩阵作变换:因此, 如要方程组有唯一解, 必须有, 即.3) 对增广矩阵作变换因此, 如要方程组有无穷多解, 必须4-4k=0, 即当k=1时, 方程组才有无穷多解.4. 证明: 如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0, 那么a=b=c=0.证: 既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立, 那么具体地分别取x=0, x=1, x=2代入上式也成立, 则有, 这是关于a,b,c的齐次线性方程组, 对其系数矩阵作变换:看出此方程只有唯一零解, 因此有a=b=c=0.5. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.1)2)3)4)解: 1) 方程组有一个自由变元x2, 因此方程组有无穷多解.2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.3) 第三个方程0=4说明此方程无解.4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.6. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组.1)2)3)解: 1) 对增广矩阵进行变换:方程组无解.2) 对增广矩阵进行变换可以看出y和w为自由变元, 则令y=s, w=t, s与t为任意常数, 则x=100-3s+96t,z=54+52t. 方程的解集表示为(100-3s+96t, s, 54+52t, t).3) 对增广矩阵进行变换可知y与z为自由变元, 令y=s, z=t, s与t均为任意实数, 则, 方程组的解集为7. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1) 2)解: 1) 对系数矩阵作初等变换.方程只有零解, x=y=z=0.2) 对系数矩阵作初等变换因此, w为自由变元, 令w=t为任意实数, 则x=-2t, y=0, z=t, 方程组的解集为(2t, 0, t, t).8. 设一线性方程组的增广矩阵为求的值使得此方程组有唯一解.解: 对增方矩阵求初等变换因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足+20, 即-2.9. 设一线性方程组的增广矩阵为1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.2) 取何值时方程组有无穷多解?解: 1) 此方程一定有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解.2) 对此增广矩阵做初等变换因此, 只有当+5=0, 即=-5时,方程才有无穷多解.10. 求的值使得下述方程组有非零解.解: 对系数矩阵作初等行变换:因此, 要使方程有非零解, 必须有(-2)2+1=0, 但(-2)2+10对取任何实数值总是成立, 因此必有(-2)2+10, 因此, 无论取什么值此方程组都不会有非零解.11. 求出下列电路网络中电流I1,I2,I3的值.解: 根据基尔霍夫定律可得如下方程组:对增广矩阵做初等行变换最后得I1=7/13, I2=22/13, I3=15/1312. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)1) 建立数学模型2) 要控制x2至多200辆/小时, 并且x3至多50辆小时是可行的吗?解: 1 将上图的四个结点命名为A, B, C, D, 如下图所示:则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方程如下:对增广矩阵进行变换:可见x3和x5为自由变量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值), 则可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t.2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表达式, 得200=50+t-200, 求出t=350, 则x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的.13. 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x1, 农具及工具的价值x2, 织物的价值x3的比值.解: 根据上表可得关于x1, x2,x3的三个齐次方程如下:对系数矩阵做行初等变换:可见方程有非零解, x3为自由变量, 令x3=t为任意正实数, 则有x1=x2=x3=t, 即三种价值的比值为1:1:1. 第二章2. 1. 写出下列方程组的矩阵形式:1) x1-2x2+5x3=-1;2) 3) 解:1) ;2) ;3) 2. 设,求: 1) 3A-2B; 2) 若X满足AT+XT=BT, 求X.解: 1)2)因X满足AT+XT=BT, 等号两边同时转置, 有A+X=B, 等号两边同时减去A, 得X=B-A, 因此有3. 计算下列矩阵的乘积:1) ;2) ;3) ;4) 解:1)2)3)4)4. 设求: 1) (A+B)(A-B); 2) A2-B2.比较1)和2)的结果, 可得出什么结论?解: 1)2)可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有a2-b2=(a+b)(a-b), 而将此公式中的a和b换成矩阵A与B, 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般ABBA, 当然也就有A2-B2(A+B)(A-B).5. 已知矩阵A,B,C, 求矩阵X,Y使其满足下列方程:解: 将此方程编上号, 用类似解线性方程组一样的办法来解,将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加, 右边和右边相加, 等号还是成立, 得:3X=C+(A+B)T两边同乘1/3, 得(3)(2)式等号两边都加上X, 得Y=(A+B)T-X(4)将(3)式代入到(4)式, 得因此6. 如矩阵AB=BA, 则称A与B可交换, 试证:1) 如果B1, B2都与A可交换, 那么B1+B2, B1B2, 也与A可交换;2) 如果B与A可交换, 那么B的k(k0)次幂Bk也与A可交换.证: 1) 因B1, B2都与A可交换, 即AB1=B1A, AB2=B2A, 则(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)即B1+B2与A可交换. 而且(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此B1B2与A可交换.2)因B与A可交换, 即AB=BA, 则用归纳法, 当k=1时, 有B1=B, 结论显然成立.假设当k=m时假设成立, 即ABm=BmA, 则当k=m+1时, 有ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A, 结论也成立.7. 如矩阵A=AT, 则称A为对称矩阵.设A,B都是n阶对称矩阵, 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证: 已知A=AT, B=BT, 充分性: 假设AB=BA, 则(AB)T=BTAT=BA=AB, 因此AB为对称矩阵.必要性: 如果AB为对称矩阵, 即(AB)T=AB, 则因(AB)T=BTAT=BA, 可得BA=AB.8. 设其中aiaj, 当ij (i, j = 1,2, , n). 试证: 与A可交换的矩阵一定是对角矩阵.证:假设矩阵B=bijn与A可交换, 即有BA=AB, 而BA相乘得到的矩阵为B的第j列所有元素都乘上aj得到的矩阵, AB相乘得到的矩阵为B的第i行元素都乘上ai得到的矩阵. 即BA=ajbijn, AB=aibijn, 但对于任给的i,j,ij, 因AB=BA, 因此有ajbij=aibij, 因aiaj, 所以必有bij=0, 即B只能是对角矩阵.9. 检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵?解: 计算AB和BA如下:因此A与B确实互为逆矩阵.10. 设A,B,C为n阶方阵, 且C非奇异, 满足C-1AC=B, 求证Bm=C-1AmC (m为正整数).证: 用归纳法, 当m=1时条件已经成立为C-1AC=B, 假设当m=k时, 命题成立, 即有Bk=C-1AkC, 则当m=k+1时, 有Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C, 命题得证.11. 若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0, 试证A+I可逆, 并求(A+I)-1.证: 将A2-2A-4I=0改写为A2-2A-3I=I, 先解一元二次方程组x2-2x-3=0, 根据公式其中a=1, b=-2, c=-3, 则, 因此可将多项式x2-2x-3因式分解为x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-2A-3I因式分解为A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我们有(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即A+I与A-3I 互为逆矩阵, (A+I)-1=A-3I.12. 证明: 如果A=AB, 但B不是单位矩阵, 则A必为奇异矩阵.证: 用反证法, 假设A为可逆, 其逆为A-1, 则对于A=AB两边同时左乘A-1, 得A-1A=A-1AB, 即I=B, 这与B不是单位矩阵相矛盾, 因此A必为奇异矩阵.13. 判别下列矩阵是否初等矩阵?1) ,2) 3) ,4) 解: 1) 是初等矩阵P(2(-2), 2) 是初等矩阵P(1,3), 3) 不是初等矩阵,4) 是初等矩阵P(3(-4), 2).14. 求3阶方阵A满足解: 从等式看出A左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换r3(-5)+r1, 因此A为一相应的初等矩阵, 即15. 设A,B,C均为n阶可逆矩阵, 且ABC=I, 证明BCA=I证: 因B,C为可逆矩阵, 则BC也是可逆矩阵, 且(BC)-1=C-1B-1, 因ABC=I, 对此等式两边右乘(BC)-1, 即ABC(BC)-1=I(BC)-1, 因为BC(BC)-1=I, 因此上式化简为A=(BC)-1, 因此当然有BCA=BC(BC)-1=I.16. 设A,B均为n阶方阵, 且, 证明: A2=A的充分必要条件是B2=I.证: 充分性: 假设B2=I, 则必要性: 如果A2=A, 则有等式两边乘4得,等式两边同时减去2B+I得B2=I证毕.17. 如果n阶矩阵A满足A2=A, 且AI, 则A为奇异矩阵.证: 用反证法, 假设A为可逆, 其逆为A-1, 则上式两边左乘(或者右乘)A-1, 得AAA-1=AA-1, 即A=I, 但这与AI相矛盾, 因此A的逆不存在, 即A为奇异矩阵.18. 求下列矩阵的逆矩阵:1) ;2) 3) 解: 用对A|I进行行初等变换为I|A-1的办法来求:1)因此, 最后得2)因此有3)因此, 最后得19. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X.1) 2) 解: 令, 则要解的方程为AX=B将方程两边左乘上A的逆A-1, 可得A-1AX=A-1B, 即X=A-1B下面求A-1:因此有因此2) 令则矩阵方程为XA=B设A的逆存在为A-1, 则方程两边右乘A-1, 得XAA-1=BA-1, 即X=BA-1下面求A-1:因此, 最后得20. 求矩阵X满足AX=A+2X, 其中解: 将方程两边减去2X, 得AX-2X=A因2X=2IX, 因此上面的方程可以从右边提取公因子X, 得(A-2I)X=A假设A-2I可逆, 则方程两边同时左乘(A-2I)-1, 得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A, 即X=(A-2I)-1A设B=A-2I, 则X=B-1A, 而下面用行初等变换求B的逆B-1:则最后得验算:21. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:1) ;2) 解:1) 将乘积分块为其中2) 将乘积分块为第三章3. 1. 计算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) ;2) ;3) .2. 计算下列三阶行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 将行列式按第一列展开2) 将行列式按第二行展开3)3. 计算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D=0.2) 将行列式按第一列展开得3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得4. 利用行列式的性质计算下列行列式1) ;2) ;3) 解: 下面都将所求行列式的值设为D.1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D=0;2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f, 再从第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) ;2) 解:1)2)6. 计算下列n阶行列式1) 2) 解: 1) 设此行列式的值为D, 将第2,3,n列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为, 将此公因式提出, 因此有再令第n行减去第n-1行, 第n-1行减去第n-2行, , 第2行减去第1行, 可得2) 此题和第3题的2)一样, 因此有7. 证明下列行列式1) 2) 证: 1)2) 用归纳法, 设Dn为所求行列式值, 当n=1时, 等式成立.假设当n=k时假设成立, 即有当n=k+1时, 证毕.8. 求矩阵的伴随矩阵A*, 并求A-1.解: 因此得A的行列式为因此有9. 设A为三阶方阵, A*是A的伴随矩阵, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值.解: 因, 以及, 还有,则10. 设A为n阶可逆阵, A2=|A|I, 证明: A的伴随矩阵A*=A.证: 因A可逆, 则在等式A2=|A|I两边乘A-1, 得A=|A|A-1, 即, 而因为, 所以有A=A*, 证毕.11. 用克莱姆法则解下列方程组.(1) (2) 解: (1) 方程的系数矩阵A为, 常数向量, 则求A的逆矩阵:因此得则方程的解X为即x1=3,x2=4,x3=5.(2) 方程的系数矩阵A为, 常数向量先求A的逆A-1:因此有则即x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.12. 如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?解: 此方程组的系数矩阵A为要使方程组有非零解, 必须有det(A)=0.而因此, 只有当k=5或者k=2或者k=8时, 此方程组才有非零解.13. 问, 取何值时, 齐次线性方程组有非零解?解: 此方程组的系数矩阵A为, 要使方程组有非零解, 必须det(A)=0, 而因此, 只有当=1或者=0时, 方程组才有非零解.4. 1. 设1=(1,1,1), 2=(-1,2,1), 3=(2,3,4), 求=31+22-3解: =31+22-3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4)=(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)2. 设3(1-)+2(2+)=5(3+), 求, 其中1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1)解: 将上述方程整理:31-3+22+2=53+5-3+2-5=-31-22+53(-3+2-5)=-31-22+53-6=-31-22+53最后得3. 设R为全体实数的集合, 并且设,.问V1,V2是否向量空间? 为什么?解: (一般的技巧: 凡是对Rn作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间, 而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点, 就不是向量子空间).V1是向量空间, 且是Rn的向量子空间, 因为, 而任给, 设则令, 则因,则,因为, 而则,因此, V1是Rn的向量子空间.而V2不是向量空间, 是因为, 零向量O不属于V2, .4. 试证: 由所生成的向量空间就是R3证: 因为, 只须证, 任给, 试求实数x1,x2,x3使x11+x22+x33=D, 即x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3)也就是解线性方程组对其增广矩阵进行行初等变换成阶梯形矩阵:可见方程有解, 因此得证.5. 判数下列向量是线性相关还是线性无关.1) 1=(1,1), 2=(2,2);2) 1=(2,3), 2=(1,4), 3=(5,6);3) 1=(1,1,1), 2=(2,1,3), 3=(0,1,2);4) 1=(a11,0,0,0), 2=(0,a22,0,0),n=(0,0,ann);解: 1) 考察齐次方程x11+x22=O,即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0),再写成如下的形式:对系数矩阵进行行初等变换:存在一自由变量x2, 方程有非零解, 因此1,2线性相关.2) 考察齐次方程x11+x22+x33=O即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0)整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0)再写成如下形式:则因方程数少于变元数, 必有非零解, 因此1,2,3线性相关.3) 考察齐次方程x11+x22+x33=O即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0)再写成如下形式:对系数矩阵进行初等行变换方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此1,2,3线性无关.4) 考察齐次方程x11+x22+xnn=O,即x1(a11,0,0,0,0)+x2(0,a22,0,0,0)+xn(0,0,0,ann)=(0,0,0)整理得(a11x1,a22x2,annxn)=(0,0,0)再写成如下形式:由于, 此齐次方程组只有零解, 因此1,2,n线性无关.6. 设1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1, 证明向量组1,2,3,4线性相关.证: 只须证明齐次方程x11+x22+x33+x44=O(1)有非零解, 即证明了向量组1,2,3,4线性相关. 将1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1代入(1)式, 得x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=O整理后得(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=O因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的1,2,3,4,的系数等于0, 则命题得证.也就是要使(2)解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得:方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此1,2,3,4线性相关.7. 设向量组1,2,s 线性无关, 证明向量组1,1+2,1+2+s也线性无关.证: 考察齐次方程组x11+x2(1+2)+xs(1+2+s)=O(1)整理后得(x1+x2+xs)1+(x2+xs)2+xss=O(2)因为1,2,s线性无关, 因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的1,2,s的各个系数为0, 即此齐次方程组的系数矩阵为上三角方阵, 对角线上元素全为1, 因此只有零解, 即齐次方程组(1)也只有零解, 因此向量组1,1+2,1+2+s线性无关.8. 设1,2,3是一组3维向量, 已知3维单位坐标向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)能由1,2,3线性表出, 证明1,2,3线性无关.证: 用反证法, 假设1,2,3线性相关, 则存在不全为零的数x1,x2,x3, 使得x11+x22+x33=O不妨假设x10, 则可得, 既然1可由2,3线性表出,即1,2,3可由2,3线性表出, 则根据题意e1,e2,e3又可被1,2,3线性表出, 则e1,e2,e3可被2,3线性表出, 则三个向量可被少于三个的向量线性表出, 其必线性相关. 但我们知道e1,e2,e3线性无关, 因此导出矛盾. 这就证明了1,2,3必线性无关.9. 设n维向量组1,2,m线性相关. 证明: 任意加上h个n维向量m+1,m+2,m+h构成的向量组1,2,m,m+1,m+2,m+h也线性相关.证: 因向量组1,2,m线性相关, 因此必有不全为零的数x1,x2,xm使得x11+x22+xmm=O, 因此, 选取m+h个数, 前面m个与x1,x2,xm相同, 后面h个数为0, 则这样的m+h个数仍然是不全为零, 且有x11+x22+xmm+0m+1+0m+2+0m+h=O所以向量组1,2,m,m+1,m+2,m+h也线性相关.10. 判断下述向量组是否线性相关?1=(1,0,0,a1), 2=(0,1,0,a2), , n=(0,0,1,an)解: 因为向量组1,2,n是由单位坐标向量组e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), , en=(0,0,1)增加一个分量构成的Rn+1中的向量组, 而因为e1,e2,en线性无关, 因此1,2,n也线性无关.11. 验证1=(1,-1,0), 2=(2,1,3),3=(3,1,2)是R3的一个基， 并把=(5,0,7)用这个基线性表示。解: 如果将1,2,3看作列向量拼成的矩阵有逆存在, 则它们必是R3的一个基, 因此试求此矩阵的逆如下:因此A有逆存在为因此1,2,3线性无关确实是R3的一个基. 则任给一列向量D=(d1,d2,d3), 将其作为列向量, 则解方程组AX=D, 可得X=A-1D, 具体用代入D, 可得即解得在这基1,2,3下的坐标为2,3,-1, 即=21+32-3, 不难验证确实有(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)12. 判断Rn的子集S=X=(x1,x2,xn), 其中xn=0是否Rn的子空间? 如果是子空间, 写出该子空间的基和维数.解: 任取S中两个元素X=(x1,x2,xn),Y=(y1,y2,yn), 即xn=yn=0, 则X+Y的第n个分量xn+yn=0, 因此X+YS, 再任取S中的一个元素X和一实数k, 则kX的第n个分量kxn=0, 即kXS, 因此S是Rn的子空间.实际上, S是齐次方程0x1+0x2+xn=0的解集, 此齐次方程共有n-1个自由变元, 将这n-1个自由变元依次取1而其它变元为0, 就可以得到S的基或者说是齐次方程xn=0的基础解系.因此, S的维数为n-1, 其中的基或者说齐次方程xn=0的基础解系为:1=(1,0,0,0), 2=(0,1,0,0),n-1=(0,0,1,0).13. 在R3中, 设S1是由1=(1,1,1),2=(2,3,4)生成的子空间, S2是由1=(3,4,5),2=(0,1,2)生成的子空间, 证明S1=S2, 并说出该子空间的维数.解: 要证明S1=S2只须证明1,2与1,2相互等价, 也就是要验证1,2能够被1,2线性表出, 同时1,2也能够被1,2线性表出.首先验证1,2能够被1,2线性表出, 先验证1能够被1,2线性表出, 就是要解线性方程组x11+x22=1, 写成标准的线性方程组的形式为对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此1能够被1,2线性表出为(1)再验证2能够被1,2线性表出, 就是要解线性方程组x11+x22=1, 写成标准线性方程组的形式为对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:方程有唯一解x1=2/3, x2=1/3. 因此1能够被1,2线性表出为(2)将(1)式和(2)式等号两边分别相加, 得而(1)式两边乘-2再加到(2)式, 可得因此1,2也能够被1,2线性表出. 所以两个向量组生成的子空间S2=S2.下面讨论1,2是否线性无关, 即解齐次方程x11+x22=O, 即解如下方程:对此方程的系数矩阵作行初等变换可见方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此1,2线性无关, 构成S1的一组基, 因此S1的维数是2.14. 设1,2,n是Rn的一个基, A为n阶可逆矩阵, 求证A1,A2,An也是Rn的一个基.解: 这种表述方法是将所有的向量看作是列向量, 即n行一列的矩阵. 任给一向量Rn, 当然有A-1Rn, 又因1,2,n是Rn的一个基, 因此向量A-1可以由1,2,n线性表出, 即存在一组数c1,c2,cn使得A-1=c11+c22+cnn则在上式两边同时左乘矩阵A, 可得=c1A1+c2A2+cnAn即可由A1,A2,An线性表出.下面证A1,A2,An线性无关. 用反证法, 如若不然, 假设A1,A2,An线性相关, 齐次方程组x1A1+x2A2+xnAn=O有非零解, 则方程两边左乘A-1可得x11+x22+xnn=O也有非零解, 导出1,2,n线性相关, 这与1,2,n是Rn的一个基相矛盾. 因此A1,A2,An线性无关, 从而也是Rn的一个基.15. 证明: 同一个向量组的任意两个极大无关组等价.证: 假设向量组1,2,n的秩为r, 它的两个极大无关组为1,2,r和1,2,r, 则因为向量组1,2,r中的每一个向量都是向量组1,2,n中的向量, 当然就能够被向量组1,2,r线性表出, 反之亦然, 因此向量组1,2,r和向量组1,2,r相互间等价.16. 证明: 等价的向量组有相同的秩.证: 假设向量组1,2,n和向量组1,2,m相互等价, 其中向量组1,2,n的秩为r, 不妨假设其头r个向量1,2,r为它的一个极大无关组, 而向量组1,2,m的秩为s, 不妨假设其头s个向量1,2,s为它的一个极大无关组. 则因为向量组1,2,n和向量组1,2,m相互等价, 必有它们的极大无关组1,2,r和1,2,s相互等价, 则两个线性无关的向量组相互等价, 必有它们的个数相同, 即r=s.17. 设向量可以由向量组1,2,r-1,r线性表出, 但向量不能由向量组1,2,r-1线性表出, 试证: 向量组1,2,r-1,r与1,2,r-1,有相同的秩.证: 因可以由向量组1,2,r-1,r线性表出, 即存在一组数c1,c2,cr-1,cr使得=c11+c22+cr-1r-1+crr(1)现证明cr0, 如若不然, cr=0, 则上式就成为=c11+c22+cr-1r-1, 但这与题意所述不能由向量组1,2,r-1线性表出相矛盾. 因此将(1)式的两边减, 然后两边减crr, 两边再乘(-1/cr), 可得即r可由向量组1,2,r-1,线性表出, 当然向量组1,2,r-1,也可由向量组1,2,r-1,r线性表出, 这两个向量组等价, 因此必有相同的秩.18. 求下列向量组的秩, 并求出它的一个极大无关组:1) 1=(2,0,1,1), 2=(-1,-1,0,1), 3=(1,-1,0,0),4=(0,-2,-1,-1)2) 1=(1,2,1,3), 2=(4,-1,-5,-6), 3=(1,-3,-4,-7)解: 1) 解齐次方程组x11+x22+x33+x44=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.则首项变元x1,x2,x3对应的向量1,2,3构成极大无关组, 因此向量组的秩为3.2) 解齐次方程组x11+x22+x33=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.首项变元数为2个，因此秩为2，首项变元x1,x2对应的向量1,2构成极大无关组.19. 求下列矩阵的秩1) ;2) 解: 求矩阵A的秩, 就是求A作为系数矩阵的齐次方程组AX=O的解中首项变元的数目. 因此将A作行初等变换变成阶梯矩阵后, 不为零的行数就是A的秩.1) 因此A的秩为22)秩为3.20. 求下列齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解:1) 2) 解: 1) 对系数矩阵作行初行变换:x4为自由变元, 令x4=t, t为任意常数, 则有写成向量形式为:, 基础解系为2) 对系数矩阵作初等行变换有两个自由变元x2和x4, 令x2=s, x4=t, s,t为任意常数, 则x1=-2x2+x4, x3=0, 写成向量形式有, 基础解系为21. 求解下列非齐次线性方程组：1) 2) 解: 1) 对其增广矩阵作行初等变换:因此, 方程无解.2) 对其增广矩阵作行初等变换:方程有两个首项变元x1和x4, 两个自由变元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t为任意常数, 则, 将解写成向量形式, 有22. 当a1,a2,b1,b2满足什么条件时, 下述方程组有解, 当方程组有解时, 求出其通解.解: 对增广矩阵进行行初等变换,因此, 为使方程有解, 必须有a1+a2-b1-b2=0, 这时有a2=b1+b2-a1. 方程有一个自由变元x4, 令x4=t, t为任意常数, 则x1=a1-b2+x4=a1-b2+t, x2=b2-t, x3=a2-t, 写成向量形式, 就是23. 设三维向量空间里的两个基底分别为1,2,3与1,2,3, 且1) 若向量=21-2+33, 求对于基底1,2,3的坐标;2) 若向量=21-2+33, 求对于基底1,2,3的坐标.解: 将两个基底拼成按列分块的矩阵, 即令A=(1,2,3), B=(1,2,3), 则A与B均为三阶方阵. 则按题意知A与B的关系为其中则1)即对于基底1,2,3的坐标为3,4,42)由B=AC知A=BC-1, 先求C-1如下:求出则有因此对基底1,2,3的坐标为11/2, -5, 13/2.第五章5. 1. 求如下矩阵的特征值和特征向量:1) ;2) ; 3) 解: (注: 对于三阶以上矩阵, 没有多少可以解出特征值的好办法, 通常是尝试0,1,2,-1,-2这几个值是否特征值, 通过这样的尝试找出一个特征值之后, 通过因式分解将多项式化为二次方程再解余下的两个根).1) 特征方程为解出两个特征值为:即两个特征值1=1, 2=-5,对1=1, 解齐次线性方程组, 容易看出方程有一个自由变元x2, 令x2=t为任意常数, 则x1=x2=t, 因此通解为, 则求得1=1对应的特征向量为t(1,1)T.对2=5, 解齐次线性方程组, 此方程也有一个自由变元x2, 令x2=t为任意常数, 则因此通解为, 则求得2=5对应的特征向量为t(-2,1)T2) 特证方程为因此特征值为1=2=7, 3=-2.对于特征值1=2=7, 解齐次方程对系数矩阵作行初等变换, 方程有两个自由变元x2,x3, 令x2=s, x4=t, s,t为任意实数， 则写成向量形式有,因此特征值1=2=7对应的特征向量为s(-1/2,1,0)T, t(-1,0,1)T.对于特征值3=-2, 解下面的齐次方程对系数矩阵作行初等变换有一个自由变元x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x3=t, x2=(1/2)x3=(1/2)t, 写成向量形式, 得因此特征值3=-2对应的特征向量为t(1,1/2,1).3) 特征方程为因此A的三个特征值为1=1, 2=2, 3=2a-1.对于特征值1=1, 解齐次方程对其系数矩阵作初等行变换,有一个自由变量x2, 令x2=t为任意常数, 则x3=0, x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t, 写成向量形式, 得即对于应特征值1=1的特征向量为t(a+2)/3,1,0)T.对于特征值2=2, 解齐次方程对系数矩阵作初等行变换,方程有一个自由变量x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x2=2x3=2t, 写成向量形式, 得即对应于特征值2=2的特征向量为t(2,2,1)T.对于特征值3=2a-1, 解齐次方程对其系数矩阵作行初等变换这是为了方便起见使矩阵变成一个倒的阶梯形, 可以看出x1为自由变元, 令x1=t为任意常数, 则x2=x1=t, x3=(a-1)x1=(a-1)t, 写成向量形式:因此, 3=2a-1对应的特征向量为t(1,1,a-1)T.2. 已知A为n阶方阵且A2=A, 求A的特征值.解: 设A的一个特征值为, 对应的特征向量为X, 则有AX=X, 又将题意中的条件A2=A代入此式, 得A2X=X, 但A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X, 因此有X=2X, 即2X-X=(2-)X=O, 因为X为特征向量则必不为零向量, 因此只能有2-=0, 即(-1)=0, 因此, A的特征值只能取0或者1值.3. A是3阶实对称矩阵, A的特征值为1, -1, 0. 其中=1和=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及(a,a+1,1)T, 求矩阵A.解: 此题原本不适宜在这一章做. 因为A是实对称矩阵, 则必有它的各个不同特征值对应的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)与(a,a+1,1)正交, 即对应分量相乘相加后等于0, 即, 因此a=-1, =1和=0对应的特征向量为1=(1,-1,1)T及2=(-1,0,1)T, 则因剩下的那个特征向量, 即=-1对应的特征向量3=(x1,x2,x3)T必与1和2正交, 由此可得下面的齐次方程组:对其系数矩阵作行初等变换, 方程有一个自由变量x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x3=t, x2=2x3=2t, 写成向量形式, 有, 因此t(1,2,1)T为特征值-1对应的特征向量, 可令3=(1,2,1).T将这三个向量规范化得则令则必有, 因此有4. 已知有三个线性无关的特征向量, 求x.解: 特征方程为因此, A有三个特征值1=2=1, 3=-1, 因此, x的选值必须使特征值为重根1的时候对应的齐次方程有两个自由变量, 才能够得到两个线性无关的特征向量.因为待定数为x, 因此齐次方程就用y1,y2,y3来作变元, 则特征值为1对应的齐次方程为:对系数矩阵作行初等变换如要方程有两个自由变元, 必须x=0.5. 判断第一题中各矩阵是否可对角化. 如可对角化, 求可逆矩阵T, 使得T-1AT为对角阵.解: 各矩阵是否可对角化的等价条件是要有与矩阵阶数一样多的线性无关的特征向量.1) 矩阵A有两个线性无关的特征向量1=(1,1)T, 2=(-2,1)T, 因此可对角化,2) 矩阵A有三个线性无关的特征向量1=(-1/2,1,0)T,2=(-1,0,1)T,3=(1,1/2,1)T,因此可对角化,3) A的三个特征值为1=1, 2=2, 3=2a-1. 当31且32时, 特征方程没有重根, 三个特征值不同, 因此对应的必有三个线性无关的特征向量, A可对角化, 三个特征向量为1=(a+2)/3,1,0)T,2=(2,2,1)T,3=(1,1,a-1)T, 因此而当3=2a-1=1时, a=1, 这时候1=3=(1,1,0)T, 则不够三个线性无关的特征向量, 矩阵A不能被对角化.当3=2a-1=2时, a=3/2, 这时候3=(1,1,1/2)T=(1/2)2, 即与2线性相关, 这样就还是不够三个线性无关的特征向量, 矩阵A也不能被对角化.6. 已知有特征值1和-1, 问A是否能对角化?解: 将已知的特征值1和-1分别代入特征方程, 可得关于a和b的两个方程, 先将特征值1