第1讲 二元运算.ppt

1 代数结构 AlgebraicStructure 代数系统的概念 二元 运算代数系统典型的代数系统半群 独异点群环和域格和布尔代数 同态和同构 2 二元运算 BinaryOperation 集合二元运算Z Q R C Mn R P B 3 二元运算的定义 定义9 1 设A为集合 函数f A A A称为集合A上的一个二元运算 A中的任意元素x y都可以进行运算 且运算结果唯一 A中的任意元素x y的运算结果都属于A 即A对运算封闭 4 n元运算 n aryOperation 定义 设A为集合 函数f An A称为集合A上的一个n元运算 定义9 2 设A为集合 函数f A A称为集合A上的一个一元运算 简称为一元运算 UnaryOperation 5 n元运算举例 集合二元运算0元运算Z Q R C 1 0Mn R InP B B 三元运算 Boolean expression1 expression2 6 6 一元运算举例 集合一元运算Z Q R相反数Q R 倒数C共轭复数P S 绝对补 Mn R 转置矩阵 7 运算的表示 表达式 是实数集R上的二元运算x y x y 2xy运算表 设S 在S上定义二元运算 如下表所示 8 代数系统 数学结构 在集合上定义若干个运算而组成的系统 常称为代数系统 AlgebraicSystem 或数学结构 MathematicalStructure 定义9 12 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算o1 o2 ok所组成的系统就称为一个代数系统 记作 9 代数系统举例 eg1 正整数集合Z 以及在该集合上的普通乘法运算 eg2 代数系统在此系统中有以下三个运算规律 对 x y z Z 1 x y Z 封闭性 2 x y y x 交换律 3 x y z x y z 结合律 eg3 与有相同运算规律的一些代数系统 10 运算及其性质 封闭性可交换性可结合性幂等性 11 运算性质 定义9 3 5 设 是定义在集合A上的二元运算 如果对于任意的x y A 都有x y y x 则称该二元运算是可交换的 commutative 如果对于任意的x y z A 都有 x y z x y z 则称该二元运算是可结合的 associative 如果对于任意的x A 都有x x x 则称该二元运算是幂等的 idempotent 12 运算实例 13 非常规运算 设Q是有理数集合 是Q上的二元运算 对任意的a b Q a b a b a b 则运算 是可交换的 设A是一非空集合 是A上的二元运算 对于任意a b A 有a b b 则 是可结合的 14 代数系统举例 代数系统 15 可分配性 定义9 6 设 是定义在集合A上的两个二元运算 如果对于 x y z A 都有x y z x y x z y z x y x z x 则称运算 对于运算 是可分配的 distributive eg4 设集合A 在A上定义两个二元运算 和 如右表 对于运算 是可分配的 对于 是不可分配的 而 16 吸收性 定义9 7 设 是定义在集合A上的两个可交换二元运算 如果对于 x y A 都有x x y x x x y x 则称运算 和运算 满足吸收律 absorptive eg5 N为自然数集合 在n上定义两个二元运算 和 x y N x y max x y x y min x y 则x x y max x min x y xx x y min x max x y x满足吸收律 17 运算实例 18 特异元素 0元运算 代数常数 单位元 幺元 e零元 可逆元和逆元幂等元 19 单位元 幺元 e 定义9 8 设 是定义在集合A上的一个二元运算 如果有一个元素el A 对于 x A都有el x x 则称el为A中关于运算 的左单位元 如果有一个元素er A 对于任意的元x A都有x er x 则称er为A中关于运算 的右单位元 如果A中的一个元素e 既是左单位元 又是右单位元 则称e为A中关于运算 的单位元 20 举例 eg7 设S 在S上定义二元运算 如下表所示 两个左单位元 无右单位元 为右单位元 无左单位元 21 单位元的唯一性 定理9 1 设 是定义在集合A上的一个二元运算 且在A中有 的左单位元el和右单位元er 则el er e 且在A中是唯一的 证 el el er er e 设有另一单位元e 则e e e e el er el er 22 零元 定义9 9 设 是定义在集合A上的一个二元运算 如果有一个元素 l A 对于任意的元素x A都有 l x l 则称 l为A中 的左零元 如果有一元素 r A 对于任意x A都有x r r 则称 r为A中关于运算 的右零元 如果A中的一元素 既是左零元又是右零元 则称 为A中关于运算 的零元 23 举例 显然 x A 有 x x eg8 中0是单位元 无零元中1是单位元 0是零元 24 零元的唯一性 定理9 2 设 是定义在集合A上的一个二元运算 且在A中有关于运算 的左零元 l和右零元 r 那么 l r 且A中的零元是唯一的 证 l l r r 设有另一零元 则 l r l r 25 零元和单位元不等 定理9 3 设是一个代数系统 且集合A中元素个数大于1 如果该代数系统中存在单位元e和零元 则 e 证 用反证法设 e 则 x A 必有x e x x 于是A中只有一个元素 26 逆元 定义9 10 设代数系统 e为A中关于 的单位元 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b 使得b a e 那么称b为a的左逆元 如果a b e成立 那么称b为a的右逆元 如果一个元素b既是a的左逆元又是a的右逆元 那么称b是a的一个逆元 若b是a的逆元 则a也是b的逆元 简称a与b互为逆元 元素x的逆元记为x 1 27 逆元的性质 一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元 可以有左逆元而无右逆元 左 右逆元不一定唯一 的左逆元是 和 的左逆元是 和 的左逆元是 是单位元 的右逆元是 的右逆元是 和 的右逆元是 的右逆元是 28 逆元的唯一性 定理9 4 代数系统 A中存在单位元e 且每一个元素都有左逆元 如果 是可结合的运算 那么这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元 且每个元素的逆元是唯一的 29 定理9 4的证明 证 a A 设b为a的左逆元 c为b的左逆元 e a b c b a b c b a b c e b c b e 2 设元素a有两个逆元b c 则b b e b a c b a c e c c 因此逆元唯一 因此b也是a的右逆元 30 举例 eg10 每一个元都有逆元 0为单位元 只有1有逆元 1为单位元 Zn 0 1 n 1 n模n加法 0为单位元 在有限集合上定义二元运算 有些性质可以从运算表上看出 31 实例 32 消去律 定义