空间几何体单元复习与巩固+高考题(北京四中网校).doc

日记空间几何体单元复习与巩固撰稿：赵代立责编：丁会敏一、单元知识网络二、目标认知1学习目标(1)利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图 表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.(3)通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2重难点认识空间几何体的结构特征，画出空间几何体的三视图、直观图，培养空间相象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力.由空间图形说出其结构特征，由结构特征相象出空间几何体，进行空间图形与其三视图的相互转化.三、知识要点梳理1构成空间几何体的基本元素(1)点、线、面是构成几何体的基本元素，是三个只描述而不定义的原始概念(2)平面具有无限延展性数学里所说的“平面”将空间分成了两部分，如果想从平面的一侧到另一 侧，必须穿过这个平面，平面无边沿(3)数学中的平面是点的集合，因此，在空间中，平面无大小，无厚薄，无所谓面积(4)平面的画法：平面是无限延展的，只能用一个有限图形表示平面(类似于画线段表示直线)可用平 行四边形、三角形、圆或梯形等平面图形来表示某个平面，而表示平面的这些平面图形可根据需要 扩展或缩小，因此，只要看到表示平面的图形、符号或文字，应当立即联想到“平面是无限延展 的”(5)平面的表示方法 平面通常用一个小写的希腊字母表示，如平面、平面、平面等，根据问题的实际需要有时也 用表示平行四边形ABCD的相对顶点的两个大写字母来表示，如平面AC，平面BD；或者用表示多边形 顶点的字母来表示，如平面ABC2棱柱的有关概念、性质和分类(1)概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱(2)准确理解棱柱的概念要注意它的两大特征：有两个面互相平行(底面)；其余各面每相邻两个四边形的公共边都互相平行(3)棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形(4)棱柱的分类：按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱按侧棱与底面的位置关系分：(5)特殊的四棱柱正方体长方体直平行六面体平行六面体四棱柱；长方体对角线定理：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和熟练掌握棱柱的概念，才能准确地应对概念题，也能准确地判断棱柱中的线面关系3棱锥的概念和性质(1)定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥(2)正确理解棱锥的概念要注意它的两大特征：有一个面是多边形；其余各面是有一个公共顶点的三角形(3)一般棱锥的截面性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比(4)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥(5)正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形掌握正棱锥的概念和性质，特别是其中的几个直角三角形，可求高、斜高、侧棱长等另外，还要熟悉一条侧棱垂直于底面的棱锥，高考中棱锥多半是考此两种4棱台的概念及性质(1)定义：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台(2)棱台的有关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高；正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高(3)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台(4)正棱台的性质：各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高；正四棱台的对角面是等腰梯形5圆柱、圆锥、圆台的定义与性质(1)定义：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)性质：平行于底面的截面都是圆；它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形(3)圆台的中截面面积：(4)圆心角圆锥侧面展开图的扇形圆心角：；圆台侧面展开图的扇环圆心角：(5)圆柱、圆锥、圆台表面积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键(6)柱体、锥体和台体体积计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题6球的概念与性质(1)定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转所形成的几何体叫球(2)球的性质同一个球的半径都相等，直径也相等；用任意平面截球的截面都是一个圆，过球心的截面所得到的圆直径最大(3)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图7三视图和直观图三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化(1)画三视图时，可以把垂直投影面的视像想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线 (包括被遮挡但是可以经过想象透视的轮廓线)的投影就是所要画出的视图(2)检验所画视图是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征(3)旋转体的三视图中一般有两个视图是相同的.并且这两个相同的视图中包含有这个旋转体的轴截面(4)斜二测面法的画图规则可以简要说成：“竖直或水平放置的线段画出时，长度、方向都不变，前后 方向放置的线段画出时与水平方向成45(或135)角，长度画成原长度的一半(仍表示原长度)” 在画出直观图时，首先应该画出图形中决定其形状、位置和大小的一些关键的点8柱、锥、台、球的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积计算公式：(其中、分别为直棱柱的高与底面多边形的周长)即直棱柱的侧面积等于它的底面周长与高的乘积(2)正棱锥的侧面计算公式：.(其中、分别为正棱锥的斜高与底面正多边形的周长)即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半(3)正棱台的侧面积计算公式：.(其中、分别为正棱台的斜高及上、下底面正多边形的周长)(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和(5)圆柱、圆锥、圆台的表面积由圆柱侧面展开图为一矩形，设圆柱的底面半径为，母线长为，则，因此，由圆锥侧面展开图为一扇形，设圆锥底面半径为r，母线长为，则由圆台侧面展开图为一扇环，设圆台的上、下底面半径分别为、，母线长为，则(6)柱体、锥体、台体的体积设柱体的底面积为S，高为h，则.设锥体的底面积为S，高为h，则设台体的上、下底面积分别为、，高为，则(7)球的表面积和体积计算公式球的表面积计算公式：(其中R为球的半径)即球面面积等于它的大圆面积的四倍球的体积公式：球的表面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法(8)球与其他几何体形成的组合体问题球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化成平面问题作适当的截面(如轴截面等)，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题四、规律方法指导在处理有关体积问题时应注意的几个问题(1)“高”在棱柱与棱锥的体积计算中至关重要，而求高的关键在于确定“垂足”的位置(在后面会继续学习)，进而构造平面图形，将空间问题转化为平面问题来解决，有时根据条件灵活选用有关面作为底面，可以简化推理与计算，例如，有公共顶点的两个三棱锥，若高相等，则其体积之比等于其底面积之比，若求得简单易求的锥的底面积也就得到另一锥体的体积.(2)在解决锥体与台体的体积比问题时，注意应用以下性质：对应线段的立方之比(3)当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等(4)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法由台体的定义，我们在某种情况下，可以将台体补充成锥体研究体积(5)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素 高考题萃一、选择题1(山东高考)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A. B. C. D.2(广东卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图 2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )3(四川卷)设是球的半径上的两点，且，分别过作垂直于 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )A.3，5，6B.3，6，8C.5，7，9D.5，8，94(山东卷)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.B.C.D.5(2011 重庆理 9) 高为的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半 径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）A B C1 D6(重庆卷)如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一 个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分(图中阴影部 分)的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )A. B.C.V1V2 D.V1V2二、填空题7(天津卷)若一个球的体积为，则它的表面积为_.8(天津理)一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积 为_.9(海南卷)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_.10（2010 湖北）圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm三、解答题11(广东文)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.答案与解析一、选择题1.D 2.A 3.D4.D解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积.从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为选D.5.C 解析：设