八年级数学第18章-函数及其图象小结与复习华东师大版知识精讲.doc

1 初二数学初二数学第第 18 章章 函数及其图象小结与复习函数及其图象小结与复习 一 教学内容 第 18 章 函数及其图象小结与复习 二 重点 难点 1 重点 1 变量与常量 变量与函数 直角坐标系 函数图象的概念 2 一次函数与反比例函数的自变量的取值范围 3 一次函数与反比例函数的概念 图象和性质 4 待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式 2 难点 1 能写出实际问题中一次函数关系与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围 并 能应用它们解决简单的实际问题 2 运用数形结合的方法 深刻理解和掌握函数的性质 学会用数学建模的方法与技巧 三 知识梳理 一 本章知识框架图 图象与性质 反比例函数 正比例函数 一次函数 直角坐标系 函数的图象 变量与函数 相依关系 运动变化 实际问题 二 本章知识回顾 1 平面直角坐标系 1 平面直角坐标系 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴构成了平面直角 坐标系 2 点的坐标 坐标平面内一对有序实数 x y 所对应的点叫做这个点的坐标 其 中 x 叫做横坐标 y 叫做纵坐标 点的坐标特征 各象限点 关于坐标轴对称的点等等 3 数轴上的点与实数构成一一对应关系 于是坐标平面上的点与实数对 P 构成一一对应的关系 2 函数 1 函数的概念 设在一个变化范围内有两个变量 如果对于 的每一个值 变量 都有惟一确定的值与之对应 那么我们就说 是函数 中的自变量 是自变量 的函数 其中 的变化范围称自变量的取值范围 也称定义域 函数 的变化范围称为 在自变量 的变化条件下的函数 的值 也称值域 2 函数的表示法有三种 即图像法 列表法和解析式法 3 一次函数和正比例函数 一次函数和正比例函数的定义 如果 那么叫做的一 为常数bkbkxy 0 yx 次函数 当时 则叫做的正比例函数 0 b 且为常数 0 kkxyyx 1 一次函数的作图方法 一次函数的图象是一条直线 因为两点确定一条直线 所 以我们通常在平面直角坐标系中 描出适合函数的两点 然后过这两点画一条直线 所得 的图形就是一次函数的图象 2 求一次函数的解析式 通常有方程建模法和待定系数法两种 方程建模法 就是说根据条件里所有的相等关 系 建立含有变量和的模型 方程 然后化为一般形式 yx 2 待定系数法 设为一次函数模型 找两个适合函数的点的 为常数bkbkxy 0 坐标代入得方程组 求解系数和 kb 3 一次函数的图象和性质 当 k 0 时一次项系数 k 常数项 b 的变化与函数图像的一般规律如下表 函数 y kx b k 0 的图像 k 值 b 值 位置 直线名称 性质 b 0 一 二 三象限 b 0 一 三象限 k 0 b0 二 一 四象限 b 0 二 四象限 k 0 b 0 二 三 四象限 一捺 y 随 x 的增大而减小 k 值越大直线的倾斜度 越平 4 函数与方程及不等式的联系 函数反映的是整个变化过程中两个变量之间的关系 方程是某一时刻两个变量之间的 关系 而不等式则是某一时段两个变量之间的关系 4 反比例函数 1 反比例函数的概念 形如的函数叫做反比例函数 自变量的取值 0 k x k y 范围是 0 x 2 反比例函数的图象是双曲线 3 反比例函数的性质 当 0 时 反比例函数的图象在第一 三象限 k x k y 在每一个象限内 随的增大而减小 当 0 时 反比例函数的图象在第二 yxk x k y 四象限 在每一个象限内 随的增大而增大 yx 典型例题典型例题 例 1 1 2006 年益阳市 在平面直角坐标系中 点 A B C 的坐标分别为 A 2 1 B 3 1 C 1 1 若四边形 ABCD 为平行四边形 那么点 D 的 坐标是 2 2006 年德州市 将点 A 3 1 绕原点 O 顺时针旋转 90 到点 B 则点 B 的 坐标是 分析 分析 了解平面直角坐标系的意义 会判断点的位置或求点的坐标 利用数形结合的 方法 直观求解 解 解 1 D 2 1 2 B 1 3 例 2 2006 年怀化市 放假了 小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践 两人同时工作了 一段时间后 休息时小明对小丽说 我已加工了 28 千克 你呢 小丽思考了一会儿说 我来考考你 图 1 图 2 分别表示你和我的工作量与工作时间关系 你能算出我加 工了多少千克吗 小明思考后回答 你难不倒我 你现在加工了 千克 3 1 2 分析 分析 会根据图象获取信息 进行判断 结合已知条件和图象 先求出小明休息前的 工作时间和小丽的工作效率 是解决问题的关键 解 解 小丽现在加工了 20 千克 例 3 2006 年贵阳市 小明根据邻居家的故事写了一首小诗 儿子学成今日返 老 父早早到车站 儿子到后细端详 父子高兴把家还 如果用纵轴 y 表示父亲与儿子行进 中离家的距离 用横轴 x 表示父亲离家的时间 那么下面的图象与上述诗的含义大致吻 合的是 分析 分析 了解函数的表示方法 理解函数图象的意义 本例主要考查识图能力 对于函 数图象信息题 要充分挖掘图象所含信息 通过读图 想图 析图找出解题的突破口 另 外 函数图象信息通常是以其他学科为背景的 因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有 帮助 解 解 选 C 例 4 若一次函数 y 2x m 1 的图象经过第一 二 三象限 求 m 的值 2 m 分析 分析 理解一次函数的概念和性质 这是一道一次函数概念和性质的综合题 一次函 数的一般式为 y kx b k 0 首先要考虑 m 2 1 函数图象经过第一 二 三象限 的条件是 k 0 b 0 而 k 2 只需考虑 m 1 0 由便可求出 m 的值 2 1 10 m m 解 解 根据已知条件可得 由 m 2 1 得 m 3 或 m 1 再由 m 1 0 2 1 10 m m 得 m 1 所以 m 的值为 3 例 5 2006 年济宁市 鞋子的 鞋码 和鞋长 cm 存在一种换算关系 下表是几 组 鞋码 与鞋长的对应数值 鞋长16192427 鞋码22283844 1 分析上表 鞋码 与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数 2 设鞋长为 x 鞋码 为 y 求 y 与 x 之间的函数关系式 3 如果你需要的鞋长为 26cm 那么应该买多大码的鞋 分析 分析 用待定系数法确定一次函数表达式及其应用 本题是以生活实际为背景的考 题 题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境 以考查学生对有关知识的理解和应 用所学知识解决问题的能力 同时为学生构思留下了空间 解 解 1 通过描点 观察这些点呈什么形状 从而判断 鞋码 与 鞋长 之间是一 次函数关系 2 设 y kx b 则由题意 得 2216 2 2819 10 kbk kbb 个个 y 2x 10 3 当 x 26 时 y 2 26 10 42 答 答 应该买 42 码的鞋 例 6 2006 年南京市 某块试验田里的农作物每天的需水量 y 千克 与生长时间 4 x 天 之间的关系如折线图所示 这些农作物在第 10 天 第 30 天的需水量分别为 2000 千克 3000 千克 在第 40 天后每天的需水量比前一天增加 100 千克 1 分别求出 x 40 和 x 40 时 y 与 x 之间的关系式 如果这些农作物每天的需水量大于或等于 4000 千克时 需要进行人工灌溉 那么应 从第几天开始进行人工灌溉 分析 分析 建立函数模型解决实际问题 本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境 要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息 判断函数类型 建立函数关 系 为学生解决实际问题留下了思维空间 解 解 1 当 x 40 时 设 y kx b 根据题意 得 20001050 300030 1500 kbk kbb 个个个个个个 个 当 x 40 时 y 与 x 之间的关系式是 y 50 x 1500 当 x 40 时 y 50 40 1500 3500 当 x 40 时 根据题意得 y 100 x 40 3500 即 y 100 x 500 当 x 40 时 y 与 x 之间的关系式是 y 100 x 500 2 当 y 4000 时 由 y 与 x 之间的关系式 y 100 x 500 得 不等式 100 x 500 4000 解之 得 x 45 应从第 45 天开始进行人工灌溉 例 7 若函数 y m2 1 x为反比例函数 则 m 3 3m 分析 分析 理解反比例函数的意义 在反比例函数 y 中 其解析式也可以写为 k x y k x 1 故需满足两点 一是 m2 1 0 二是 m 3 3 1 解 解 m 5 点评点评 函数 y 为反比例函数 需满足 k 0 且 x 的指数是 1 两者缺一不可 k x 例 8 2006 年常德市 已知 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 是反比例函数 y 的图象上的三点 且 x1 x2 0 x3 则 y1 y2 y3的大小关系是 2 x A y3 y2 y1 B y1 y2 y3 C y2 y1 y3 D y2 y3 y1 分析 分析 会灵活运用反比例函数图象和性质解题 本题解法一是根据反比例函数的性质 分析 一是用特殊值法 另一种方法是画草图 解 解 选 C 例 9 2006 年烟台市 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y 的图象交 m x 于 A 2 1 B 1 n 两点 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取 值范围 分析 分析 1 求反比例函数解析式需要求出 m 的值 把 5 A 2 1 代入 y 中便可求出 m 2 把 B 1 n 代入 y 中得 n 2 由 m x 2 x 待定系数法不难求出一次函数解析式 2 认真观察图象 结合图象性质 便可求出 x 的 取值范围 解 解 1 根据题意 将 2 1 代入 y 得 m 2 m x 即反比例函数的解析式为 y 2 x 再将 1 n 代入 y 得 n 2 2 x 把 A 2 1 B 1 2 代入 y kx b 得 解之得 21 2 kb kb 1 1 k b 所以一次函数的解析式为 y x 1 2 观察图象 可知使一次函数的值大于反比例函数的值的取值范围是 x 2 或 0 x 1 例 10 1 2006 年陕西省 直线 y kx b k 0 的图象如图 1 则方程 kx b 0 的解为 x 不等式 kx b 0 的解集为 x 1 2 2 2006 年重庆市 如图 2 已知函数 y ax b 和 y kx 的图象 则方程组 的解为 yaxb ykx 分析 分析 利用一次函数图象求方程 组 及不等式 组 的解 抓住直线与 x 的交点就 可迎刃而解 两直线的交点坐标即为方程组的解 解 解 1 x 2 不等式的解集为 x 2 2 方程组的解是 2 1 x y 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 一 选择题 1 一次函数 y 3x 4 的图象一定不经过的象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 正比例函数 y kx 与一次函数 y kx b kb 0 图象的位置关系是 A 相交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 3 如图所示 点 P 是反比例函数 y 图象上的一点 过点 P 分别作 x 轴 y 轴的垂 k x 线 如果构成的矩形面积是 4 那么反比例函数的解析式是 A y B y 2 x 2 x C y D y 4 x 4 x 6 x 千克 y 厘米 20 12 5 520 O x 月 y 件 53O 4 下列函数中 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大的是 A y 2 3x B y C y 2x 1 D y 2 x 1 2x 5 在电压为 220 伏的电路中 用电器经过的电流 I 安 与电阻 R 欧 之间的关系用 图象表示正确的是 6 盛满 20 升水的饮水机 可以连续均匀供水 1 小时 饮水机中剩余水量 y 升 与供水 时间 x 分钟 之间的关系是 A y 20 x B y 20 C y 20 x D y x 1 3 1 3x 1 3 1 3 7 已知一次函数 y 2x 1 当 1 y 3 时 自变量的取值范围是 A 1 x 1 B 1 x 1 C 2 x 2 D 2 x 2 8 如果 y 与 x 成正比 x 与 z 成反比 那么 y 与 z 的关系是 A 成正比 B 成反比 C 成正比或反比 D 无法确定 9 如图所示 y 厘米 表示一根弹簧秤在挂上 x 千克 重物时弹簧的长度 那么在不 挂重物时 该弹簧的长度是 A 7 厘米 B 8 厘米 C 9 厘米 D 10 厘米 10 某厂前 5 个月生产的总产量 y 件 与时间 x 月 的关系如图所示 则下列说法 正确的是 A 1 3 月的月产量逐月增加 4 5 两月的产量逐月减少 B 1 3 月的月产量逐月增加 4 5 两月的产量与 3 月持平 C 1 3 月的月产量逐月增加 4 5 两月停产 D 1 3 月的月产量持平 4 5 两月停产 二 填空题 11 把直线 y 2x 平移 使它经过点 1 3 则平移后的直线解析式为 12 一次函数 y x 4 与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 13 写出一个函数值随自变量增大而增大的反比例函数的解析式 14 如图所示 是乘客乘车携带行李时 购买行李票 y 元 与携带行李的重量 x 千克 之间的函数图象 问乘客免费携带行李重量 x 的范围是 7 x 千克 y 元 100 6 40