高一数学对数与对数函数、幂函数知识精讲.doc

高一数学对数与对数函数、幂函数【本讲主要内容】对数与对数函数、幂函数 对数定义及运算性质，对数函数的定义、图象和性质，幂函数的定义、图象和性质【知识掌握】【知识点精析】 1. 对数（1）对数的定义：如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作。（2）指数式与对数式的关系：两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化。（3）对数运算性质：对数换底公式： 2. 对数函数（1）对数函数的定义函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）。（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。（3）对数函数的性质：定义域：（0，+）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a0，则幂函数图象过原点，并且在区间（0，+）上为增函数。如果0，则幂函数图象在区间（0，+）上是减函数。在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴。当x趋向于+时，图象在y轴右方无限地逼近x轴。当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数。【解题方法指导】 例1. 求值：（1）。（2）。（3）。思路分析：利用对数的运算法则。解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 误区警示：注意法则成立的条件。方法点拨：对数运算中常常会反用对数法则，以达到化简的目的。有时出现不同底的对数首先应化为同底的对数。 例2. 已知函数，则的值为（ ）A. B. C. D. 剖析： 例3. 已知，求f(x)的值域及单调区间。解：真数，即f(x)的值域是。又，得时，单调递增，从而f(x)单调递减；时，f(x)单调递增。特别提示：讨论复合函数的单调性要注意定义域。【考点突破】【考点指要】本部分的考点为对数的运算和对数函数的性质、指数函数与对数函数互为反函数，试题多为选择题，分值510分。考查的基本思想方法：分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想。【典型例题分析】 例1. （2005全国高考卷III）若，则（ ）A. abcB. cbaC. cabD. bac思路点拨：比较大小的方法有很多种，结合题目特征对数函数，因此选用作差法，然后根据对数函数性质一一判断各差值符号。也可以使用对数的换底公式用作商法比较大小。解法一：（作差法），即ab。又。即ca。ca0且a1，。使在0，1上是x的减函数。由于所给函数可分解为，其中在a0时为减函数，所以必须a1；0，1必须是定义域的子集。解：a为对数函数的底数，。又f(x)在0，1上是x的减函数，即。因此，选B。一通百通：本题综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确。本题的类型是已知函数对应法则和函数的某条性质，求未知参数的值或取值范围。也就是说题中的对应法则和性质是可以改变的。 例3. （1）（2006全国高考卷II）函数y=f(x)的图象与函数的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（ ）A. B. C. D. 答案：D（2）（2006全国高考卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则（ ）A. B. C. D. 答案：D（3）（2006全国高考卷II）函数的反函数为（ ）A. B. C. D. 答案：B（4）（2006山东高考）函数（0a0时，在第一象限幂函数都是单调递增函数，af(1)且？【综合测试】 1. 已知函数的图象如图所示，则a、b、c的大小关系为（ ）A. cbaB. abcC. bcaD. cab 2. 若，则x、y、z之间满足（ ）A. B. C. D. 3. 已知，令，则（ ）A. abcB. acbC. bacD. cab 4. 下列4个幂函数，在（，0）上不是增函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 函数，则的图象只可能是（ ） 6. 如图所示，按下列函数作出的草图，其中不正确的是（ ） 7. （2005山东）下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 8. （2005天津）已知，则（ ）A. B. C. D. 9. （2004江苏）若函数的图象过两点（1，0）和（0，1），则（ ）A. B. C. D. 10. （2003全国）已知，则f(2)= （ ）A. lg2B. lg32C. D. 11. （2002河南）已知0xya1，则有（ ）A. B. C. D. 12. （2005辽宁）已知函数在1，3上最大值与最小值之和为，则a的值为_。 13. 幂函数y=f(x)的图象过点（4，），则f(8)的值等于_。 14. 已知恒成立，则字母a的取值范围是_。 15. （2005湖北高考）在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是_。 16. 已知。（1）求使f(x)、g(x)同时有意义的实数x的取值范围。（2）求F(x)=f(x)+g(x)的值域。 17. 设函数，其中0a1。 18. 设为奇函数，a为常数。（1）求a的值；（2）证明f(x)在（1，+）内单调递增；（3）若对于3，4上的每一个x的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围。【达标测试答案】1. A解析： 2. A3. A4. B 5. A解析：由图形可直观得到：只有为“上凸”的函数。 6. A解析：，是减函数。 7. B解析：，对称轴为，由得。评述：此题还可用特殊值法解决，如利用，可得。a0， 8. C解析：。由已知。 9. （1，+）解析：的值域为的定义域。由的定义域为（1，+）的值域为（1，+） 10. 答案2，解析：由 11. 解：定义域为x3原函数为又当x=4时，。 12. 解：a0且a1，为减函数。依题意a1，又在0，2上应有t0，。故。 13. 解：f(x)、g(x)的公共定义域为（1，1）（1）当0x1时，；（2）当x=0时，；（3）当时，。综上所述，当0x0时恒成立，只要（）。又（当且仅当，即时等号成立），即。 15. 解：（1）由已知有a1，。a=2又故，从而当即时，有最小值。（2）由题意【综合测试答案】 1. A 2. B解析：由，即。 3. D解析：1m2，抛物线u（x）的对称轴。（1）当p6时，值域为（，。（2）当2p6时，即，u（x）在（2，p）上有0u（x）4（p2）值域为（，）。 17. （1）证明：任取，且即。是（a，+）上的减函数。（2）解法1：0aa或x0解不等式得，原不等式解集为。解法2：函数f(x)的定义域为0a1，当xa时，解方程f(x)=1，