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辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 用CASIOfxCG20探求函数零点的个数【原问题】已知，那么函数零点的个数是_解法一：用零点分段法手工求解。函数零点的个数即方程解的个数。对于该绝对值方程，采用零点分段法去绝对值，可以求得共有四个解：，故函数的零点个数为4。解法二：用CASIO fx-CG20图形计算器的“解方程（组）”模块求解。 图1 图2 图3 图4将求解范围分别锁定在区间、和上，即可以具体求出该方程的四个解，见图14，即函数的零点个数为4。不过该方法需要事先锁定方程的根所在的区间，容易漏根。解法三：用CASIO fx-CG20图形计算器的“图形”模块求解。 图5 图6输入函数，绘制函数图像，见图5和图6，观察发现在区间的零点个数共4个。【原问题的推广】已知，记，探求函数在上的零点个数。分析：原问题相当于：当时，求函数在上的零点个数。现在将原问题推广到一般。于是我们先从开始，寻找结论是否可能存在一些规律。对于，手工计算工作量还不算很大，但是从开始，如果采用零点分段法，通过手工计算寻找零点就非常繁琐了。于是借助于CASIO fx-CG20图形计算器的“图形”模块，利用函数的迭代，见图7，就可以非常轻松、直观地得到当时，函数图像与轴在上的交点个数，即函数在上的零点个数。当时，见图8，可得函数在上零点的个数为4；当时，见图9，可得函数在上零点的个数为8 图7 图8 图9归纳：当时，函数在上零点的个数为；当时，函数在上零点的个数为；当时，函数在上零点的个数为；当时，函数在上零点的个数为猜测：若，记，则函数在上零点的个数为。论证：因为这是一个与自然数有关的命题，所以自然想到用数学归纳法来证明。当时，结论显然成立。假设当时，结论成立，即函数在上零点的个数为。事实是这个零点在开区间上。（说明：，即0不是函数的零点；同样可得1也不是函数的零点。故在假设中的个零点在开区间上。此处可用数学归纳法证明。）当时，研究方程根的个数。将方程写成。令，则。由假设可知，方程有个根，设它们是在区间上的，亦可写成，。对于形如的个方程中的每一个方程都有两个不等的根（用“动态图” 模块，见图1012），于是这个方程共有两两不等的个根。 图10 图11 图12故方程即共有个两两不等的根，即函数的零点个数为。即当时，结论亦成立。由得证。【进一步的变式】已知，记，探求方程在上有几个根？解析：对于，采用零点分段法，手工计算工作量还不算很大。但是从开始，如果采用零点分段法手工计算就开始繁琐了。于是借助于CASIO fx-CG20图形计算器的“图形”模块，仍然利用函数的迭代，就可以非常轻松、直观地得到当时，函数与图像的交点个数，即方程在上根的个数。 图13 图14 图15 图16当时，见图13，方程在上根的个数为；当时，见图14（将图像局
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