高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程讲义新人教A版.docx

1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程1连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数2曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割；近似代替；求和；取极限3求变速直线运动的路程(位移)如果物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.“分割”的目的“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”教材中的例题中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当n越大时，所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()(2)当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值，只能用2近似代替()(3)mii2，i30.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)将区间1,3进行10等分需插入_个分点，第三个区间是_(2)做直线运动的物体的速度v2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为_(3)函数f(x)_连续函数(填是或不是)答案(1)91.4,1.6(2)9 m(3)不是探究求曲边梯形的面积例1求直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积参考公式1222n2n(n1)(2n1)解令f(x)x21.(1)分割将区间0,2n等分，分点依次为x00，x1，x2，xn1，xn2.第i个区间为(i1,2，n)，每个区间长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Snfx i22(1222n2)222.(3)取极限SliSnli ，即所求曲边梯形的面积为.拓展提升规则四边形和曲边梯形面积的求解方法(1)规则四边形：利用四边形的面积公式(2)曲边梯形：思想：以直代曲；步骤：化整为零以直代曲积零为整无限逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精确【跟踪训练1】求由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S.解(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将它分成n个小区间，则第i个区间为(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：Si(i1,2，n)(2)近似代替在区间上，当n趋向于，即x趋向于0时，我们用小矩形面积近似地代替Si，则有Si.(3)求和小曲边梯形的面积和SnSi nn.(4)取极限当n趋向于，即x趋向于0时，Sn越来越趋向于S，从而有SSn，所以由直线x1，x2，y0和曲线y围成的图形的面积约为.探究求汽车行驶的路程例2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将它等分成n个小区间记第i个小区间为(i1,2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1,2，n)，则显然有ssi.(2)近似代替取i(i1,2，n)，于是sisivt(i1,2，n)(3)求和snsi (1222n2)4484.从而得到s的近似值sn84.(4)取极限ssn 8412.所以这段时间内汽车行驶的路程为12 km.拓展提升将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各时间区间上路程和的近似值，取极限，即为变速直线运动的路程实质上与求曲边梯形面积类似【跟踪训练2】一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)，求汽车在t1到t2这段时间内运动的路程解(1)分割把区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个区间的长度t，每个时间段行驶的路程记为si(i1,2，n)，则显然有ssi.(2)近似代替i(i1,2，n)sivt62(i1,2,3，n)(3)求和sn 6n6n.(4)取极限ssn6n3.1.曲边梯形和直边图形的主要区别是前者一边是曲线段，而后者的所有边都是直线段，曲边梯形面积的求法主要用了“以直代曲”的思想，即用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积，求曲边梯形的面积可分为四步：分割近似代替求和取极限.2.把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限.1和式 (yi1)可表示为()A(y11)(y51)By1y2y3y4y51Cy1y2y3y4y55D(y11)(y21)(y51)答案C解析由和号“”的意义，知 (yi1)(y11)(y21)(y31)(y41)(y51)y1y2y3y4y55.故选C2在求直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边三角形面积时把区间0,2等分成n个小区间，则第i个小区间是()A BC D答案C解析将区间0,2等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.3已知自由落体的物体速率为vgt(g为常数)，则物体从t0到t4所走的路程为_答案8g解析物体从t0到t4所走的路程就是速率时间曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t0时，v0；t4时，v4g，所以所走路程s44g8g.4求由抛物线f(x)x2，直线x0，x1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间0,15等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为_答案0