2019版高考数学第1章集合与常用逻辑用语2第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件教案理.docx

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果pq，但q/p，则p是q的充分不必要条件；如果pq，且qp，则p是q的充要条件；如果qp，且pq，则p是q的必要不充分条件；如果q，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件提醒不能将“若p，则q”与“pq”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“pq”，即“pq”“若p，则q”为真命题(2)充分条件与必要条件的两个特征对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x22x3b，则acbc”的否命题是()A若ab，则acbcB若acbc，则abC若acbc，则abD若ab，则acbc解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若ab，则acbc”，故选A. (教材习题改编)“x1”是“x22x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由x22x0，得x0或x1”是“x22x0”的充分不必要条件，故选A. 设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_解析：把命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”答案：若方程x2xm0没有实根，则m0 (教材习题改编)命题p：x23x4，命题q：x，则p是q的_条件解析：当x23x4时，x1或4，当x1时，x不成立，即p/q.当x时，x0，3x40，则x23x4，即qp，所以p是q的必要不充分条件答案：必要不充分四种命题的相互关系及其真假判断 典例引领 (1)命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是()A若a2b20，则a0且b0B若a2b20，则a0或b0C若a0且b0，则a2b20D若a0或b0，则a2b20(2)给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A3B2C1D0【解析】(1)“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2b20”，故选D.(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个【答案】(1)D(2)C (2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题 通关练习1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数2下列命题中为真命题的是()A命题“若x1，则x21”的否命题B命题“若xy，则x|y|”的逆命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若1，则x1”的逆否命题解析：选B.对于A，命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故为假命题；对于B，命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x1，则x2x20”的否命题为“若x1，则x2x20”，易知当x2时，x2x20，故为假命题；对于D，命题“若1，则x1”的逆否命题为“若x1，则1”，易知为假命题，故选B.充分条件、必要条件的判断 典例引领 (1)(2017高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017高考天津卷)设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】(1)因为m，n是非零向量，所以mn|m|n|cosm，n0的充要条件是cosm，n0.因为0，则由mn可知m，n的方向相反，m，n180，所以cosm，n0，所以“存在负数，使得mn”可推得“mn0”；而由“mn0”，可推得“cosm，n0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数，使得mn”综上所述，“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件，故选A.(2)由2x0，得x2；由|x1|1，得1x11，即0x2，因为0，2(，2，所以“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件，故选B.【答案】(1)A(2)B(1)充分条件、必要条件的判断方法利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(2)判断充要条件需注意三点要分清条件与结论分别是什么要从充分性、必要性两个方面进行判断直接判断比较困难时，可举出反例说明 通关练习1已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为由“a3”可以推出“AB”，反过来，由AB可以得到“a3或a2”，不一定推出“a3”，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2(2018湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x3)8”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由log2(2x3)102x32x82x3x，所以“log2(2x3)8”的充分不必要条件，故选A.3如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则A的补集C(x，y)|xy，B的补集D(x，y)|cos xcos y，显然CD，所以BA，于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件法二：(等价转化法)xycos xcos y，而cos xcos y/ xy.充分条件、必要条件的应用 典例引领 已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若“xP”是“xS”的必要条件，求m的取值范围【解】由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由“xP”是“xS”的必要条件，知SP.又因为集合S非空，则所以0m3.所以当0m3时，“xP”是“xS”的必要条件，即所求m的取值范围是0，3 1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使“xP”是“xS”的充要条件解：若xP是xS的充要条件，则PS，所以所以即不存在实数m，使“xP”是“xS”的充要条件 2.本例条件不变，若“xP ”是“xS”的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：由本例知Px|2x10，因为“xP”是“xS”的必要不充分条件，所以PS且S/P.所以2，101m，1m所以或所以m9，即m的取值范围是9，)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象 通关练习1若“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为_解析：由x2x60，解得x3.因为“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即a3，故a的最小值为3.答案：32已知集合Ax|2x8，xR，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：因为Ax|2x8，xRx|1x3，即m2.答案：(2，) 四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，但它的逆否命题一定为真，即互为逆否命题的两个命题是等价命题，具有相同的真假性，但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系因此一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假 常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于()大于()小于(sin B”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.设ABC外接圆的半径为R，若sin Asin B，则2Rsin A2Rsin B，即ab；若ab，则，即sin Asin B，所以在ABC中，“sin Asin B”是“ab”的充要条件，故选C.5已知命题：“若a2，则a24”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是()A0B1C2D3解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a24，则a2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题6设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得AC，BUC” 是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.依题意，若AC，则UCUA，当BUC，可得AB；若AB，不妨令CA，显然满足AC，BUC，故满足条件的集合C是存在的7下列命题中正确的个数是()命题“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆命题为“若方程x22xm0有实根，则m1”；“x1”是“x23x20”的充分不必要条件；一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.A0B3C2D1解析：选C.对于，命题“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆命题为“若方程x22xm0有实根，则m1”，故正确；对于，由x23x20，解得x1或x2，所以“x1”不是“x23x20”的充分不必要条件，故错误；对于，因为f(x)kxb(k0)是奇函数，所以f(x)f(x)，即k(x)b(kxb)，所以b0，反之，如果b0，那么f(x)kx，所以f(x)kxf(x)，所以f(x)为奇函数，故正确正确命题的个数为2，故选C.8使a0，b0成立的一个必要不充分条件是()Aab0Bab0Cab1 D.1解析：选A.因为a0，b0ab0，反之不成立，而由a0，b0不能推出ab0，ab1，1.9(2018陕西省高三教学质量检测试题(一)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由(ab)a20可知a20，则一定有ab0，即ab；但是ab即ab0时，有可能a0，所以(ab)a20不一定成立，故“(ab)a20”是“ab0，则ln aln bB向量a(1，m)，b(m，2m1)(mR)垂直的充要条件是m1C命题“角的终边在第一象限，则是锐角”的逆否命题为真命题D已知函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)f(b)0)是增函数，所以若ab0，则ln aln b，故A错误；若ab，则mm(2m1)0，解得m0，故B错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角的终边在第一象限，角不一定是锐角，如315，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；命题“若f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)f(b)0，故D正确故选D.13已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是_解析：“abc3”的否定是“abc3”，“a2b2c23”的否定是“a2b2c23”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若abc3，则a2b2c23.答案：若abc3，则a2b2c20不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意知ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得解得3a0，故3a0.答案：3，016已知函数f(x)2sin(xR)设p：x，q：m3f(x)m3.若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_解析：因为p：x2x，所以f(x)1，2，又因为p是q的充分条件，所以解得1m4，即m的取值范围是(1，4)答案：(1，4)1(2018四川南山模拟)已知条件p：2x16，条件q：(x2)(xa)0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围为()A4，)B(，4)C(，4D(4，)解析：选B.由2x16，得2x4，即p：2x2，即a2，则条件q：(x2)(xa)0等价于2x4，则a4；若a2，即a2，则(x2)(xa)0无解，不符合题意；若a2，则q：(x2)(xa)0等价于ax2，不符合题意综上可得a3(xm)是q：x23x40的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_解析：p对应的集合Ax|xm3，q对应的集合Bx|4x1，由p是q的必要不充分条件可知BA，所以m1或m34，即m1或m7.答案：m1或m74有下列四个命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的