2019届北京东城区第一学期高三期末数学(文)试题(解析版).doc

。2019届北京市东城区第一学期高三期末数学（文）试题一、单选题1若集合A=x|-2x0，B=-2，-1，0，1，2，则AB=（）A B C D【答案】C【解析】直接利用交集运算得答案【详解】集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，故选C【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题2下列复数为纯虚数的是（）A B C D【答案】D【解析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解求解即可得答案.【详解】，为纯虚数的是，故选D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边在射线y=2x（x0）上，则cos的值是（）A B C D【答案】A【解析】在终边上任意取一点，再利用任意角的三角函数的定义，求得的值【详解】角以为始边，终边在射线上，在终边上任意取一点，则，故选A【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，在角的终边上任取一点是解题的关键，属于基础题4若满足 则的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故选B【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为( )A B C D【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的实质是计算排列数的值，由，即可计算得解【详解】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当，时，可得：，故选B【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查6设a，b，c，d为实数，则“ab，cd”是“a+cb+d”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，【详解】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，满足，但是不成立，是的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A2 B C D3【答案】D【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题8地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A B C D【答案】B【解析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】，的值所在的区间为，故选B【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题9已知向量=（1，-2），=（2，m），若，则m=_【答案】1【解析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出【详解】；，故答案为1【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.10在ABC中，已知a=1，则c=_【答案】【解析】先根据同角的三角函数的关系求出，再根据正弦定理即可求出【详解】在中，已知，由正弦定理可得，故答案为【点睛】本题考查了正弦定理和同角的三角函数的关系在解三角形中的应用，考查了运算和求解能力，属于基础题11若等差数列an和等比数列bn满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列an和bn的通项公式：an=_，bn=_【答案】-n 2 【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，可得， 即为， 可取，可得，则，故答案为，2【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题12过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e=_【答案】【解析】利用已知条件列出方程，转化为求解即可【详解】过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于，两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，可得，即，可得：，解得故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 常见双曲线离心率的求法有：1、直接求出，求解；2、变用公式整体求出；3、构造的齐次式解出等.13小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%其中正确的结论序号有_（注：请写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】由分段函数可得函数的单调性，可判断；由的值可判断；由的值可判断【详解】，可得随着的增加而减少，故正确；当时，9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故正确；，故错误，故答案为【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法，考查判断能力和运算能力，属于基础题14已知函数f（x）=x3-4x，g（x）=sinx（0）若x-a，a，都有f（x）g（x）0，则a的最大值为_；此时=_【答案】4 【解析】函数，均为奇函数，只需考虑，都有即可，结合图象可得当且仅当在上，在满足，才能取到最大值，进而可得.【详解】函数，均为奇函数只需考虑，都有即可函数在满足，在满足，当且仅当在上，在满足，才能取到最大值，（如图）此时，故答案为：4，【点睛】本题主要考查了函数的对称性应用，数形结合法，最终将题意转化为与0的关系是解题的关键，属于中档题三、解答题15已知等差数列an满足a1=1，a2+a4=10（）求an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和【答案】（） （）【解析】（）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解的通项公式；（）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列的前项和【详解】（I）设的公差为，因为，所以所以，解得所以 （）由（I）知，所以的前项和为=【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.16已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）求证：对于任意的，都有【答案】（） （）详见解析【解析】（）先利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期；（）利用正弦函数的定义域和值域，证得【详解】（）=，所以，的最小正周期（）证明：，所以对于任意的，都有【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：10，12），12，14），14，16），16，18），18，20，得到如图所示的频率分布直方图（）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在18，20，现从课外阅读时间在18，20的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数【答案】（）150（）7（）14.68【解析】（）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（）阅读时间在18，20的样本的频率为0.10从而课外阅读时间在18，20的样本对应的学生人数为5这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数【详解】（）0.102+0.052=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30因为5000.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.（）阅读时间在18，20的样本的频率为0.052=0.10因为500.10=5，即课外阅读时间在18，20的样本对应的学生人数为5这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在18，20的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=（）根据题意，0.08211+0.12213+0.15215+0.10217+0.05219=14.68（小时）由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时【点睛】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1B1C1，AA1=AB=2，BC=1，E为A1C1中点（）求证：A1B平面AB1C1；（）求三棱锥B-ECC1的体积；（）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长【答案】（）详见解析（）（）【解析】（）证明平面，推出，然后证明平面，得到，即可证明平面；（）说明，证明平面，通过求解即可；（）证明，说明为中点，然后求解即可【详解】（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1平面A1B1C1因为B1C1平面A1B1C1，所以BB1B1C1又因为B1C1A1B1，A1B1BB1=B1，所以B1C1平面AA1B1B因为A1B平面AA1B1B，所以A1BB1C1因为AA1=AB=2，所以四边形AA1B1B为菱形所以A1BAB1因为B1C1AB1=B1，所以A1B平面AB1C1 （）由已知，BB1平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1因为A1B1B1C1，B1C1BB1=B1，所以A1B1平面BB1C1C又A1B1=AB=2，故A1到平面BB1C1C的距离为2因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1所以 （）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB平面A1B1C1=EH因为平面ABC平面A1B1C1，AB平面ABC，所以AB平面A1B1C1又平面A1B1C1平面EAB=EH，所以EHAB又ABA1B1，所以EHA1B1因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点所以【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.19已知函数，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间【答案】（）y=0（）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-，-1）（-，+）【解析】（）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当时，令，得，分三种情况，当，当，讨论的单调区间【详解】（）f（x）的定义域为R，当a=1时，f（0）=0，f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=0 （）f（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）（1）当a0时，aex-10，所以当x-1时，f（x）0；当x-1时，f（x）0所以f（x）的单调递增区间为（-，-1），单调递减区间为（-1，+）（2）当a0时，令f（x）=0，得x1=-1，x2=-lna当-lna=-1，即a=e时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间为（-，+），无单调递减区间；当-lna-1，即ae时，当-lnax-1时，f（x）0；当x-lna或x-1时，f（x）0所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-，-lna），（-1，+）；当-lna-1，即0ae时，当-1x-lna时，f（x）0；当x-1或x-lna时，f（x）0所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-，-1），（-lna，）【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程20已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（-1，0）直线l：y=k