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I-DEAS软件在CAE中的应用(文献翻译) 34I-DEAS软件在CAE中的应用班级 （学号） 姓名1 计算机模拟1.1引言在各种工程技术如建筑、运输、交通等领域里，在先进工程系统的模拟和仿真中，有限元发（FEM）已经发展为当前主要的、不可缺少的一门技术。在建立这些先进工程系统时，工程师和设计师经过一系列复杂工序：建模、仿真、可视化、分析、设计、制造样机、测试，直到最后加工制造。为确保最后产品的易加工性及较低的造价，在产品或系统制造之前需要做大量工作，其过程如图1.1的所示。从本质上讲，这个过程通常是一个重复的过程，即根据当前阶段所获得的结果重复进行某些步骤，目的是在建立系统时，用最低的成本获得最优的性能。因此，一种高速、有效的模拟和仿真技术越来越显示其重要的作用，从而导致有限元法的应用成倍增加。本文主要讨论的是模拟和仿真问题，即图1.1中下划线部分。我们将论述这个问题的计算方面，也如图1.1中下划线的部分，重点是物理、数学、和计算机建模的技术，以及计算机仿真的许多方面的问题。充分理解这些技术对于快速和低成本的建立先进工程系统有着很重要的作用。那什么是有限元法呢？有限元法首先应用于应力分析问题，随后应用于热分析、流体流动分析、压电分析等许多其他问题。在这些分析中，分析人员的主要目的是决定某些场变量的分布情况，如应力分析中的位移，热分析中的温度和热流密度，电分析中的电荷等等。有限元法是一种数值解法，寻求对某些很难获得解析结果的问题的场变量分布的近似解。具体做法是将问题的整个区域划分成许多子区域，如图1.2和图1.3所示，这些小单元通常具有简单的几何形状，然后将已知的物理规律应用于各个子区域。图1.4是一维空间有限元近似的示意图，未知场变量的连续函数在每个子域用分段线性函数来近似，这些子域称为单元，它们是由节点形成的。这样一来，未知量就转变成为场变量在节点上的离散值。然后，按照适当的原理建立单元方程，最后将这些单元方程组装在一起，就可以导出整个系统的联立线性代数方程组，求解整个方程组就能很容易地得到所要求解的场变量。本文的目的是用一种简明易懂的方式介绍有限元方程中所采用的各种概念、方法和原理。应用著名的商业软件包ABAQUS，求解和研究了一些算例，并阐述一些有效的建模技术和方法。1.2工程中的物理问提在一个特点的工程系统中，存在许多物理问题，正如前面所提到的，尽量有限元法最初是应用于应力分析，但是很多其他物理问题也能采用有限元法求解。对工程系统中很多物理现象人们已经建立了相应的有限元法的数学模型。采用标准有限元法莱求解的常见物理问题有：固体和结构的力学问题热传导声学流体力学其他首先本文着重讨论固体和结构的力学问题中有限元方程的形成，因为有限元法最初就是用于求解这些问题的，然后讨论了热传导问题有限元法。从概念上理解有限元法的研究方法是最重要的，因为有限元法应用于其他问题时利用了类似的概念。下节介绍使用有限元法进行计算机模拟所包括的主要步骤。1.3使用有限元法进行计算机模拟一个系统中某个现象的行为取决于该系统的几何形状或区域范围、材料或介质的性质、边界、初始条件和加载情况。对于一个工程系统，几何形状或区域通常是非常复杂的，而且边界和初始条件也很复杂。因此，一般来说用解析方法求解控制微分方程是很困难的，实际上许多问题都是实用数值的方法来求解，由于有限元法有很强的实用性和通用性，区域离散的有限元法在众多的数值方法中是最受欢迎的。使用有限元法进行计算机模拟通常由下列四个步骤所组成：建模划分网格给定材料性质给定边界条件、初始条件和载荷情况1.3.1几何形状的模拟真实的结构、构件或区域一般都是很复杂的，所以必须抽象出易于处理的几何模型。几何形状的曲线（面）部分可以使用曲线或曲面模拟，然而，必须注意几何模型最终要由单元集合所表示，所以，如果使用线性单元，曲线或曲面是用分片的直线或平面来近似。图1.2显示了由三角形单元的直边来表示曲线边界，对于曲线部分的表示的精度是由所使用的单元的数量来控制的，显然，单元的数量越多，用直边表示的曲边部分就越光滑和越精确。但是，单元越多所需要的计算时间就会越长。由于受到计算机硬件和软件的限制，控制单元数量是很有必要的。因此，为了决定所采用的最优单位数量，通常采用折中的方法，人们只在对于精度要求很高的区域，才对几何形状的细节进行精细模拟。当然，分析者在分析计算结果时必须考虑到这些几何近似所带来的影响。根据所采用的软件，人们可以用很多种方法在计算机上生成适当的几何形状的有限元网格。点可以通过简单的键入坐标的方式生成，连接点或节点可以生成直线和曲线，连接、旋转、平移已经生成了的直线或曲线可以生成面，实体可以通过连接、旋转、平移已经存在的面来生成。点、线、面、体都可以通过平移、旋转、或反射来生成新的点、线、面、体。图形界面通常可以用来帮助生成和处理几何对象。现在很多工程设计的计算机辅助软件（CAD）软件包可以生成工程设计系统所需的几何模型文件。通常，软件模拟包可以直接读入这些文件，这样在生成模型的几何形状时就可以大大节省时间。然后，在很多情况下，从CAD文件中直接读入的复杂物体在划分网格或离散之前可能还需要进行一些修改和简化，值得提及的是，有些CAD软件包已将模拟软件合并在一起。这种CAD软件包对于快速制造新产品的样品有很重要的作用。在模拟系统的几何形状时，知识、经验、和工程判断力是非常重要的，在很多情况下，一些几何细节特征只是起着美观的作用，面对于工程系统的性能影响确是可以忽略不计的，那么我们就可以删除、忽略、或简化这些细节特征，虽然在某些情况下这样做可能会导致不正确的结果，例如对于有些问题，一些细微的几何改变可能得到完全不同的仿真结果。在对物理问题进行数学建模时丰富的知识和经验是重要的。例如，一个具有三维几何尺寸的板，在力学中的板的理论中，板是表示为二维物体（其原因将在第二章详细介绍）。因此，力学板的几何形状只是一个二维平面，对这个平面划分网格可采用板单元，类似情况在壳体中也是存在的。物理上梁是三维的，但在力学中梁的理论中，梁表示一维物体，因此力学梁的几何形状只是一个一维直线，对于这根直线划分网格时，必须采用梁单元，桁架结构亦是如此。1.3.2网格划分网格划分就是将几何形状离散成称之为单元或网格的小块。为什么要离散呢？我们可以用非常简明且合理的方式来解释其原因。因为工程问题的解是非常复杂的，并且通常在问题的整个域中函数的变化是不可预知的。如果将问题的区域用一组节点或网格划分成一些小的单元，则在每个单元内的解就可以用简单函数，如使用多项式来近似。这样，所有单元的解就构成了所求问题的整个区域的解。我们应该进行哪些工作呢？首先，在需要离散的区域内离散控制微分方程时需要适当的理论依据，不同问题所依据的理论也有所不同，本文对于各种问题的理论将在后面章节中详细讨论。但在这之前，我们必须将所研究问题的区域生成网格。网格生成在前处理中是一个非常重要的工作，这可能会消耗分析者很多的时间，一个有经验的分析者常常会更有效地处理复杂问题并生成更可靠的网格。网格生成的目的在于将问题区域划分成合适形状的单元，如三角形单元和四边形单元，在划分网格时必须形成单元连接信息，作为以后组建有限元方程时使用。如果能有完全自动的网格生成器是最理想的，但是当前在市场上还得不到这种网格生成器。在一些商业应用软件包里可以得到半自动的处理器，还有一些专门为划分网格而设计的软件包，它们能够生成网格文件，而其他模拟和仿真软件包能够读入这种网格文件。用三角形单元划分网格是最灵活的建立网格的方法，它通常能够完全自动划分二维平面甚至三维空间，因此，这种划分方式在大多数前处理器中通常是可以得到的。三角形单元的另一个优点就是模拟复杂几何形状及复杂边界的灵活性，缺点就是三角形单元模拟结果的精度通常低于四边形单元，但四边形单元更难自动生成。图1.3-1.7给出了一些有限元网格的例子。1.3.3 材料或介质性质很多工程系统是由不止一种材料构成的，材料性质可以针对一组单元来定义，必要时，也可对单个单元来定义。模拟不同的现象，需要定义不同组的材料性质。例如，对于固体和结构中的应力分析，需要定义杨氏模量和剪切弹性模量，而对于热分析就需要定义热传导系数，材料性质常数通常可以直接输入前处理器中，分析者需要做的是键入这些材料性质数据并指定数据适用于几何物体中的哪个区域或哪些单元。然而，获得这些材料性质并不是那么容易的事，尽管有些商业软件存在可供选择的材料数据库，但要精确确定系统所使用的材料性质通常需要进行试验，不过这不属于本文范围，在本文中我们认为材料性质是已知的。1.3.4 边界、初始条件和加载情况边界、初始条件和加载情况在求解时起了决定性的作用。利用商用处理器通常很容易输入这些条件、且常与图形界面相连接、用户既可以对几何元素（点、线或曲线、表面和实体），也可对单元或节点给定这些条件。同样，准确模拟这些条件在实际工程系统中需要丰富的经验、知识和正确的工程判断力。边界、初始条件和加载情况对于各种问题是不同的，并将在后续各章中详细介绍。1.4 仿真1.4.1 离散系统方程根据生产的网格，采用已有的方法可以得到离散系统的联立方程组。建立联立方程的方法有许多类型：第一种基于能量原理，如哈米尔顿原理、最小势能原理等等，常用的有限元法就是根据这些原理建立的；第二种方法是加权残值法，它也常常用于建立各种物理问题的有限元方程，并将在热传导问题中给予说明；第三种方法用于泰勒级数导出传统的有限差分方程（FDM）；第四种方法是以控制欲内每个有限元体积（单元）的守恒定律为基础，有限体积方法（FVM）就是用这种方法建立的；另一种方法是某些无网格方法（Liu,2002）中使用的积分表示方法。工程实践表明：对固体和结构前两种方法用的最多，而对流体流动模拟常常使用其他两种方法；而且，对于流体流动和热传导问题，也利用有限元法研制商业软件，对固体和结构也能用有限差分法，在这里我们不作详细论述，顺便指出所有者三种方法的数学基础是加权残值法，在加权残值法中，适当选择权函数就可以导出有限元发、有限差分法和有限体积法的方程。本文首先根据能力原理推导出固体力学与结构的有限元方程。为了说明怎样用加权残值法推导有限元法的方程，我们使用了加权残值法莱推导热传导问题的有限元方程，这为用有限元法处理其他物理问题提供了基本方法和关键步骤。1.4.2 方程求解器在生成计算模型之后，将所建立的线性方程组输入到求解器中，对这些联立方程组进行求解以得到在网格节点处的场变量，这种求解运算对计算机硬件要求最高。由于所要模拟的物理现象不同，不同的软件包所用的算法也不相同。求解系统方程选择算法有两个重要的考虑：一是存储量的需求，另一个就是CPU(中央处理器)运算时间。求解联立方程组的方法有两个主要类型：直接发和迭代法。通常所用的直接法包括高斯消去法和LU分解法，这些方法对于求解较小的方程组很有效。直接法是对于整个组装系统方程进行求解，因而需要较大的存储空间，也可以用这样一种方法编辑程序，即只对包含当前阶段所求解的方程的单元进行组装，这样可以大大地减少对存储空间的要求。间接法包括高斯-雅克比方法、高斯-赛代尔方法、SOR方法、广义共轭数法、线松弛法等等。这些方法能有效的求解较大的系统方程。迭代法常采用这样一种方法编制程序，即避免了系统矩阵的全部组装以大大地节省存储量。这些方法的收敛性通常取决于所求解的问题，在采用迭代法时，预处理对于加速收敛过程起了很重要的作用。对于非线性问题，还需要进行另一层迭代循环，在迭代时，必须将非线性方程适当的简化为线性方程。对于与时间有关的问题，还需要一层时间步进运算，即首先求初始时刻的解（或者分析者给定），然后使用该结果向前推进求解下一个时间的解，如此下去直到得到所要求的时间的解，有两种主要的时间步进格式：隐式方法和显示方法。通常来说，隐式方法比显式方法的数值稳定性要好，但计算时时间步进效率低，此外，采用显式算法更容易发展接触算法，关于这些情况的讨论将在第三章中给出。1.5 可视化求解系统方程后得到的结果通常是大量的数据，因此，这些结果必须直观地显示出来以便进行解释、分析和报告说明。可视化可以通过包含在软件包里的所谓的后处理器来完成，很多这类处理器允许用户用彩色的方式在显示器上显示出三维物体。这些实体可以用边框线、单元组和节点组的形式显示在显示器上。用户可以对实体旋转、平移和缩放。场变量可以用等势线、条纹线、边框线和变形线在物体中画出。通常，用户还可以生成变量的等势面或变量矢量场，也可以使用增强显示效果的工具，如划阴影线、光照和褶皱。对模拟动力学方面的问题，还可以产生动画和电影。表格输出、文本文件和x-y绘图等。本节的所有例题都给出了各种后处理结果。现在还有一些高级的视图工具，如虚拟实体，这些高级工具能提供更接近真实的三维形式显示物体和结果。平台可以是防护镜、倒置的桌子、甚至是在一个房间里，当物体隐没入一个房间中时，分析者可以透过物体，到达准确位置观察结果。图1.8和图1.9显示了虚拟建筑中的气流场。概况地说，本章简要的介绍了计算机模拟与仿真的步骤，随着计算机技术的高速发展，在有限元法中作为一种工具的计算机的使用已经变成不可缺少的了。在随后的章节中，我们将讨论当进行有限元分析时在计算机中到底进行一些什么样的运行。11模拟技术111引言本章介绍使用有限元法过程中的各种模拟技术，很多材料取自于NAFEMS(1986)。为了保证有限元结果的可靠性和精确性，在进行有限元分析时时需要某些技巧的。随着计算机硬件和软件的发展，现在可以很容易地进行有限元分析。因此，对于没有有限元分析的背景知识和分析人员来说，在实际设计项目时使用有限元软件包就像是操作“黑箱子”。而且，不正确的使用商业软件包会导致错误的结果，这些错误结果通常隐藏在多彩的应力图和其他后处理结果中而不为分析者所知。叙述了有限元法的理论和方法以后，读者应该明白在商业有限元软件包中所进行的运算。因此，本章的主要目的是进一步帮助读者了解黑箱子，以使读者在使用商业软件包建立有限元模型时避免不必要的错误。学习这些模拟技术的另一个原因是为了提高有限元结果的计算效率及精度，一个有经验的分析者能够用尽可能少的时间模拟和尽可能少地使用计算机资源的情况下得到精确的结果，有限元分析的效率是由花费与精度的比值来衡量的，如图11.1所示。例如，使用对称模型模拟几何对称问题可以大大的减少模拟和计算的时间，同时甚至会有更精确的数值结果，因此，对一个好的分析者所要求的不仅仅是把问题的区域划分成单元网格。为了建立好的有限元模型，需要考虑如下因素：计算机资源和人力资源，它们限制了有限元模型的大小对结果的要求，它决定了分析的目的和方法问题域的几何形状和力学特性，它们决定所采用的单元类型边界条件载荷和初始条件112 CPU时间估计尽管计算机工业很先进，计算机资源的大小仍然是建立复杂有限元模型的一个决定因素。静态分析所需CPU时间可以使用下面简单的关系粗略估计（称为线性代数系统的复杂性）：式中ndof是有限元方程组中自由度总数，是在2.0到3.0范围内的常数，决定于有限元软件包中使用的不同求解器和刚度矩阵的结构等。影响的重要因素之一是刚度矩阵的带宽，如图11.2所示。带宽愈小，值愈小，因而计算愈快。根据例4.2描述的直接组装方法，显然带宽决定于单元节点整体的编号的差，具有最大节点编号差值的单元控制了整体刚度矩阵的带宽，即使对于同一个有限元模型，改变节点整体编号也可以改变带宽。因此，提出了通过对节点重新编号使带宽最小的方法，大多数有限元包都按照了一个或多个这样的工具。用户需要做的是对问题域划分网格后利用这些工具使带宽最小，这个简单的操作有时会大大的减少CPU时间。一种使节点编号差值最小，从而使带宽最小的简单方法可以在刘（Liu,2002）的书中找到。方程（11.1）清楚表明：用自由度数很大的精细网格导致计算时间呈指数增加，这说明减少自由度是很重要的。在本章中论述的很多技术都与减少自由度有关，我们的目标是：（1）采用尽可能低维的单元使自由度数最小来建立有限元模型；（2）必须在不降低结果精度的前提下尽可能地使用粗网格，只在重要区域使用精细网格。11.3几何模拟实际的结构通常是很复杂的，分析者需要决定在哪些可能的地方以及怎样将一个复杂的几何形状简化成可操作的模型。分析者首要考虑的问题是应该采用什么类型的单元：是三维单元？二维（二维实体，板和壳）单元？还是一维（桁架和梁）单元？这需要充分理解问题的力学意义。正如在第九章中提到的，三维单元可以用于模拟任意类型的结构，但如果在整个问题区域的每个地方都使用三维单元则可能代价太大，因为很明显这会导致庞大的自由度数。因此，对于复杂问题，充分利用问题域的几何形状特点，网格常常是不同类型单元的组合。分析者首先应该分析问题，仔细审视问题域的几何形状，对于满足一维或二维单元假定的结构区域或部分尝试使用一维和二维单元。通常，二维单元应用于具有像板和壳这样几何形状的区域或部分，而一维单元应用于具有杆和弧形这样的几何形状的区域或部分，三维单元只应用于结构中体积比较大而不能应用一维和二维单元的部分，这个分析过程是很重要的，因为使用一维和二维单元可以大大地减少自由度。如果使用三维固体单元，我们必须对三维物体创建于结构的几何形状相同的三维物体。对于使用二维单元的区域或部件，只需创建常常是几何中面的中性面，对于使用一维单元的区域或部件，只需创建常常是几何中心轴的中性轴。因此，使用二维和一维单元的另一个优点就是大大地简化了所需创建的结构的几何形状。在不同类型单元的交接面上需要使用合适的模拟方法来连接，这将在11.9节作详细讨论。由于第二章所讨论的力学理论的差别，对各种不同类型单元节点自由度的类型是不同的，所以需要不同的连接方法。表11.1列出了一些不同类型单元的节点自由度数。在建立问题区域时对结果的要求是另一个重要因素，例如，在估计结果非常重要的区域，分析者通过会对几何形状进行精细模拟。注意到很多结构是使用计算机辅助设计（CAD）软件包设计的。因此，结构的几何形状已经用某个软件包建立好了，大多数商业有限元软件包的前处理器都可以读取某些CAD格式文件，利用这些文件能够减少建立结构几何模型的时间，但仍需要花费一些时间来修改CAD几何形状使之适合于有限元网格划分。有些科学工作者正在研究将三维几何形状自动地划分为适合于有限元网格的二维和一维几何形状，但目前尚不能得到这样的商业软件包。11.4 划分网格11.4.1 网格密度为了使自由度数最少，我们常创建变密度的网格，只有在重要的区域细分网格，如我们感兴趣的区域，可能出现应力集中的区域，如凹角，孔，键槽，凹口，裂纹等。图11.4显示了一个有限元网格密度变化的例子，在这个例子的链轮-链条系统中，分析的重点是链轮和链条之间的接触力。因此，在链轮的中心区域不是关键部位，在这个区域所用的网格是相当粗的。在使用有限元软件包时，常常使用所谓的种子网格点来控制网格密度。种子网格点要在几何模型创建后网格划分前生成，用户需要做的是在重要区域放置较密的种子网格点。11.4.2 单元畸形对于不规则几何形状，我们不可能使用全是规则形状的单元，不规则或畸形单元在有限元法中是常被采用的，但有限制，平且在网格生成过程中必须控制单元畸形的程度，畸形是相对于单元基本形状而量度的，即正方形四边形单元等边三角形三角形单元立方体六面体单元等边四面体四面体单元五种可能的单元畸变形式及其粗略限制如下：(1) 长宽比畸形（单元的伸长度）（图11.5）(2) 单元角度畸形（图11.6），单元两边夹角接近于0或180（歪斜或斜锥度）(3) 单元曲率畸形（图11.7），当把节点和几何点匹配时单元的直边扭曲成曲边(4) 凹入形单元的体积畸形，如第六章所讨论的，在计算单元刚度矩阵时，为了将物理坐标系中不规则形状的单元转化成无量纲自然坐标系中规则形状的单元，使用了映射方法。对于凹入单元，单元外面的区域（见图11.8所示的阴影区域）将会变成自然坐标系中的内部区域。在自然坐标系中对阴影区域的单元体积积分将得到负值。一些不可采用的四边形单元的形状如图11.9所示。(5) 在具有中间节点的高阶单元中中间节点的畸变，中间节点应该尽可能的靠近单元边的中点，中间节点偏离单元边中点的极限长度是单元边长的1/4，如图11.10所示。这是因为中间节点的过度偏移会导致单元应力场的奇异性，正如10.2节所讨论的。在很多有限元软件包中前处理器为生成网格提供分析单元扭曲率的工具，使用者所需要做的是在生成网格后及在分析之前调用这些工具，这些工具为分析者的测试报告所产生的扭曲率。英文原文COMPUTATIONAL MODELLING1.1 INTRODUCTIONThe Finite Element Method (FEM) has developed into a key, indispensable technology in the modelling and simulation of advanced engineering systems in various fields like housing, transportation, communications, and so on. In building such advanced engineering systems, engineers and designers go through a sophisticated process of modelling, simulation, visualization, analysis, designing, prototyping, testing, and lastly, fabrication. Note that much work is involved before the fabrication of the final product or system. This is to ensure the workability of the finished product, as well as for cost effectiveness. The process is illustrated as a flowchart in Figure 1.1. This process is often iterative in nature, meaning that some of the procedures are repeated based on the results obtained at a current stage, so as to achieve an optimal performance at the lowest cost for the system to be built. Therefore, techniques related to modelling and simulation in a rapid and effective way play an increasingly important role, resulting in the application of the FEM being multiplied numerous times because of this.This book deals with topics related mainly to modelling and simulation, which are underlined in Figure 1.1. Under these topics, we shall address the computational aspects, which are also underlined in Figure 1.1. The focus will be on the techniques of physical, mathematical and computational modelling, and various aspects of computational simulation. A good understanding of these techniques plays an important role in building an advanced engineering system in a rapid and cost effective way.So what is the FEM? The FEM was first used to solve problems of stress analysis, and has since been applied to many other problems like thermal analysis, fluid flow analysis, piezoelectric analysis, and many others. Basically, the analyst seeks to determine the distribution of some field variable like the displacement in stress analysis, the temperature or heat flux in thermal analysis, the electrical charge in electrical analysis, and so on. The FEM is a numerical method seeking an approximated solution of the distribution of field variables in the problem domain that is difficult to obtain analytically. It is done by dividing the problem domain into several elements, as shown in Figures 1.2 and 1.3. Known physical laws are then applied to each small element, each of which usually has a very simple geometry. Figure 1.4 shows the finite element approximation for a one-dimensional case schematically. A continuous function of an unknown field variable is approximated using piecewise linear functions in each sub-domain, called an element formed by nodes. The unknowns are then the discrete values of the field variable at the nodes. Next, proper principles are followed to establish equations for the elements, after which the elements are tied to one another. This process leads to a set of linear algebraic simultaneous equations for the entire system that can be solved easily to yield the required field variable. This book aims to bring across the various concepts, methods and principles used in the formulation of FE equations in a simple to understand manner. Worked examples and case studies using the well known commercial software package ABAQUS will be discussed, and effective techniques and procedures will be highlighted.1.2 PHYSICAL PROBLEMS IN ENGINEERINGThere are numerous physical engineering problems in a particular system. As mentioned earlier, although the FEM was initially used for stress analysis, many other physical problems can be solved using the FEM. Mathematical models of the FEM have been formulated for the many physical phenomena in engineering systems. Common physical problems solved using the standard FEM include: Mechanics for solids and structures. Heat transfer. Acoustics. Fluid mechanics. Others.This book first focuses on the formulation of finite element equations for the mechanics of solids and structures, since that is what the FEM was initially designed for. FEM formulations for heat transfer problems are then described. The conceptual understanding of the methodology of the FEM is the most important, as the application of the FEM to all other physical problems utilizes similar concepts. Computer modelling using the FEM consists of the major steps discussed in the next section.1.3 COMPUTATIONAL MODELLING USING THE FEMThe behaviour of a phenomenon in a system depends upon the geometry or domain of the system, the property of the material or medium, and the boundary, initial and loading conditions. For an engineering system, the geometry or domain can be very complex. Further, the boundary and initial conditions can also be complicated. It is therefore, in general, very difficult to solve the governing differential equation via analytical means. In practice, most of the problems are solved using numerical methods. Among these, the methods of domain discretization championed by the FEM are the most popular, due to its practicality and versatility.The procedure of computational modelling using the FEM broadly consists of four steps: Modelling of the geometry. Meshing (discretization). Specification of material property. Specification of boundary, initial and loading conditions.1.3.1 Modelling of the GeometryReal structures, components or domains are in general very complex, and have to be reduced to a manageable geometry. Curved parts of the geometry and its boundary can be modeled using curves and curved surfaces. However, it should be noted that the geometry is eventually represented by a collection of elements, and the curves and curved surfaces are approximated by piecewise straight lines or flat surfaces, if linear elements are used. Figure 1.2 shows an example of a curved boundary represented by the straight lines of the edges of triangular elements. The accuracy of representation of the curved parts is controlled by the number of elements used. It is obvious that with more elements, the representation of the curved parts by straight edges would be smoother and more accurate. Unfortunately, the more elements, the longer the computational time that is required. Hence, due to the constraints on computational hardware and software, it is always necessary to limit the number of elements. As such, compromises are usually made in order to decide on an optimum number of elements used. As a result, fine details of the geometry need to be modelled only if very accurate results are required for those regions. The analysts have to interpret the results of the simulation with these geometric approximations in mind.Depending on the software used, there are many ways to create a proper geometry in the computer for the FE mesh. Points can be created simply by keying in the coordinates. Lines and curves can be created by connecting the points or nodes. Surfaces can be created by connecting, rotating or translating the existing lines or curves; and solids can be created by connecting, rotating or translating the existing surfaces. Points, lines and curves, surfaces and solids can be translated, rotated or reflected to form new ones.Graphic interfaces are often used to help in the creation and manipulation of the geometrical objects. There are numerous Computer Aided Design (CAD) software packages used for engineering design which can produce files containing the geometry of the designed engineering system. These files can usually be read in by modelling software packages, which can significantly save time when creating the geometry of the models. However, in many cases, complex objects read directly from a CAD file may need to be modified and simplified before performing meshing or discretization. It may be worth mentioning that there are CAD packages which incorporate modelling and simulation packages, and these are useful for the rapid prototyping of new products.Knowledge, experience and engineering judgment are very important in modelling the geometry of a system. In many cases, finely detailed geometrical features play only an aesthetic role, and have negligible effects on the performance of the engineering system. These features can be deleted, ignored or simplified, though this may not be true in some cases, where a fine geometrical change can give rise to a significant difference in the simulation results.An example of having sufficient knowledge and engineering judgment is in the simplification required by the mathematical modelling. For example, a plate has three dimensions geometrically. The plate in the plate theory of mechanics is represented mathematically only in two dimensions (the reason for this will be elaborated in Chapter 2). Therefore, the geometry of a mechanics plate is a two-dimensional flat surface. Plate elements will be used in meshing these surfaces. A similar situation can be found in shells. A physical beam has also three dimensions. The beam in the beam theory of mechanics is represented mathematically only in one dimension, therefore the geometry of a mechanics beam is a one-dimensional straight