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大象群落的稳定发展高臣 陈洋 邓贤扬河海大学力学与材料学院工程力学系河海大学理学院应用物理系一、 摘要本文旨在解决大象群落的稳定发展问题，属于统计规划、分析模型，是非线性代数建模问题。本文通过分析统计数据，根据大象群落的头数稳定在11000头左右，建立非线性二次规划模型解决问题一，得到0-1、2-60岁大象的平均存活率分别为78.86626% 和98.97164%，象群的年龄结构如下：0-10、21.2545%；11-20、17.8636%；21-30、16.1091%；31-40、14.5273%；41-50、13.1%；51-60、11.8091%；61-70、5.34545%。基于第一问所求的大象稳定的年龄结构和存活率，根据每年大象出生数量等于死亡数量，计算得到每年应有1235头母象注射避孕药，考虑到可能有一些母象已经怀孕，但因未被检测出二被注射了避孕药，所以改进了模型得到了应注射避孕药的母象头数随怀孕后可被检测出的月数的变化曲线。第三问，我们根据转移象的头数等于应该增加的新出生头数，得到了注射避孕药的母象头数和转移象的头数呈线性变化的关系。第四问中，大象每年的增长率是相同的，根据这个增长率，我们计算出了象群灾难后所需要的恢复时间。由于在灾难中存活下来的象的数目不确定，所以我们作出了恢复时间和灾难存活率的关系图线。本论文针对所求问题，结合实际情况对问题一、问题三的模型进行了改进，针对问题一，对目标函数根据年龄比例进行加权处理，问题三中，我们提出了对多种不确定性共同影响的综合性分析方法，试图寻找到更合理、精确的结论。同时提出我们的建议，通过改变题目所给数据的统计方法可以得到更好的模型，以提高结论的可信度。二、关键字非线性二次规划 象群稳定性 平衡问题 三、 问题重述位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象。管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定群落。管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些大象也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。目前在公园中已经很少发生移入和移出大象的情况。大象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施维持这个性别比。新出生的幼象的性别比也在1：1左右。而双胞胎的机会接近于1.35%。母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。每次怀孕期为22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。假定象的最高年龄是70岁，在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。公园有一个近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计，如附录表1所示。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。你的任务是：1. 探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。2. 估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。3. 假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？4. 如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量-+象的死亡），那时重新壮大象群的能力如何？四、 问题假设1：大象群落的性别比例始终保持1：1，并且能够很好的控制这一比例。2：猎杀大象是随机的，即猎杀的大象也基本符合大象群落的年龄结构。3：大象在70岁的死亡率已经达到了100%（没有寿命超过70岁的大象在这个群落中）。4：大象群落的年龄结构基本保持稳定。5：母象的生育年龄均从11岁开始。6：61-70岁之间大象数量随年龄成线性递减关系，到70随时数量达到0头。五、符号说明X1：群落在前一年0-1岁的大象数量。X2：群落在前一年2-10岁的大象数量。X3：群落在前一年11-60岁的大象数量。X4：群落在前一年61-70岁的大象数量。：群落在后一年0-1岁的大象数量。：群落在后一年2-10岁的大象数量。：群落在后一年11-60岁的大象数量。：群落在后一年61-70岁的大象数量。X22：群落在前一年10岁的大象数量。X33：群落在前一年60岁的大象数量。X44：群落在之后一年内死亡的61-70岁的大象数量。M1：平均迁移0-1岁大象数量。M2：平均迁移1-10岁大象数量。M3：平均迁移11-59岁大象数量。T：平均生育幼象时间间隔。R：生育双胞胎的可能性。1-P：被猎杀的大象数量在整个群落中的比例。K1：0-1岁大象存活率。K2：2-60岁大象存活率。H：每年避孕母象数量。S：注射避孕药后群落每年生育小象数量。D：现在阶段大象自然死亡数量。六、问题分析大象群落稳定发展问题，基本上可以看做是收支平衡问题。成年母象（1160岁之间）生产的幼象是象群的“输入”，各个年龄段的大象的死亡、迁移和被猎杀组成了象群的“输出”。前三个问题的模型都是依据“输入=输出” 而建立的。而问题四则考虑拥有11000头大象的象群仍然处于生物种群“S”型增长曲线的“J”型增长阶段。那么，其灾难后的恢复期也自然可以认为是不受环境因素约束的“J”型增长。下面是对四个问题的单独分析。问题（一）各年龄段大象的存活率影响了象群的“输出”，大象群落的数量始终保持在11000左右，除了自然因素外，更要有人为的因素。每年大象的迁移就是一种行之有效的方法。题目给定近两年内从此地区运出大象的大致年龄和性别统计数据，通过分析知道，每年大象的出生、自然死亡、被猎杀以及人为迁移决定大象群落最终能保持11000的数量不变，利用此条件，可以建立求解合理存活率的模型。我们考虑直接列出方程组会使问题显得过于死板，不符合实际情况，于是选择了用优化模型来求解，这样就可以使结果更为客观。问题（二）问题（一）中已经分析了当前象群的年龄结构，以此年龄结构为依据，可估算每年要注射避孕药的母象头数。依然是利用“输入输出平衡”列出求解方程，不难求得每年需被避孕的母象数。但是，此结果是在忽略了某些不确定因素的情况下得出的。我们考虑注射避孕药物的母象中是有可能包含了正处于怀孕期的母象的，对于这些母象，避孕药是不能到达效果的；另外，由于注射了避孕药物的母象每月都会发情，所以可能会影响到其他没有被避孕的母象的正常交配，这些都是难以确定的因素。问题（三）避孕措施的改变方法有很多，最直接的方法是减少注射避孕药的母象数量，从而增加幼象的出生率，达到新的稳定状态。由于每年转移50至300头象，考虑这种转移是随机的，即转移大象的年龄结构和群落的年龄结构保持一致，同时被移走的大象中也包含注射过避孕药的母象。综上所述，我们就可以利用移走大象数量等于生育小象数量的增加量得到数学模型。问题（四）问题四提出象群遭遇一场灾难而导致大量的象死亡，不得不突然停止注射避孕药。所以发生灾难的当年有部分成熟母象是没有处在生育期的，因为前二年和前一年注射避孕药的母象不能怀孕，所以我们可以考虑发生灾难后的第一年，大象的繁殖数量与当年的死亡数量的大小关系，若大象繁殖数量大于死亡数量，则说明象群还能重新壮大，尤其到发生灾难后二年时，成熟母象都可进入生育期，这样大象每年繁殖的数量将会增加，更有利于象群的壮大；若大象繁殖数量小于死亡数量，我们要继续考虑发生灾难后二年的情况，再作比较。在灾难过后，大象繁殖的限制因素都已不存在（诸如偷猎、转运、注射避孕药等），象群可看作自由繁殖，即增长率不变。为了简化模型，我们假设大象是随机死亡的，即灾难不改变象群的年龄结构。七、模型建立与求解问题（一）合理存活率模型的探讨与当前年龄结构的分析公园中大象总数在11000上下浮动，在题目所给数据能反映群落整体性别比例的前提下，可以建立相邻两年群落年龄结构只见得关系（这里设相邻两年为“前一年”和“后一年”）。首先，给定前一年大象群落在年龄范围分别为0-1、2-10、11-60、61-70的数量为X1,X2,X3,X4；可以计算在后一年。0-1岁大象的数量：全部来源于前一年11-60岁的母象生育，各个年龄阶段，母象在群落中的比例保持1/2。但是由于有转移的因素，后一年的幼象（0-1岁）数量 （1）1-10岁大象数量：由两部分组成：一是前一年0-1岁幼象顺利成长，另一部分是前一年1-9岁大象存活下来部分，同时兼顾迁移，猎杀，自然死亡等因素，故此 （2）11-60岁大象数量：同1-10岁大象数量求解做法得： （3）61-70岁大象数量：由前一年60岁大象存活数量、前一年61-69岁大象存活数量组成。由于没有迁移，故只考虑猎杀和自然死亡两个因素。 （4）由于每一年大象群落数量保持11000上下波动，同时每一年大象年龄结构基本保持稳定，故此：1、 X1+X2+X3+X4-11000在0的周围波动，波动范围记为，故有： ； （5）2、 0-1岁幼象波动范围记，； （6）3、 2-10岁幼象波动范围记，； （7）4、 11-60岁幼象波动范围记，； （8）5、 61-70岁幼象波动范围记，； （9）同时还要满足题目所给要求：不同年龄阶段的大象数量均为正整数且小于11000；（10）新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁： （11）1岁以后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右： (12)目标函数可以由（5）、（6）、（7）、（8）、（9）组合得到，这里的表现形式很多，此处可选一种： （13）即（14）故此课由（1）、（2）、（3）、（4）、（10）、（11）、（12）、（14）组合得到数学模型：对于M1、M2、M3的大小：题目所给数据是近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计，通过每年的统计数据均可求出1-10、11-60岁之间大象的数目，母象的数目，母象在整个迁移大象中的比例以及成年母象（即11-60岁）在所有迁移大象中所占比例。我们可以利用两年的数据统计结果算术平均得到所需的M1、M2、M3。M1=0；M2=142；M3=607；此模型的求解由lingo11完成，见附录程序（1）；可以得到结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 0.1592153E-05 Objective bound: 0.1592153E-05 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 19 Total solver iterations: 73823 Variable Value Reduced Cost X3 8074.000 -0.4911970E-04 X1 1169.000 0.2760039E-03 P 0.9988837 0.000000 K1 0.7886626 0.000000 K2 0.9897164 0.3190944E-07 X2 1169.000 -0.8000003E-05 X22 825.0000 0.000000 X33 118.0000 0.000000 X4 588.0000 -0.8000003E-05 X44 116.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1592153E-05 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 1169.000 0.000000 运行结果分析可知：年龄在0-1岁的大象存活率为78.866%，年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率为98.97164%。年龄结构：见图0-1岁2-10岁11-60岁61-70岁总量数量11691169807458811000百分比10.6273%10.6273%73.4%5.3455%100%通过年龄结构图可以看到，11-60岁的成年象所占比例较大，0-1岁幼象也占有相当大的比例，说明次象群的发展稳健，但是幼象的死亡率较大。为了让年龄结构显得更加直观，我们将每个年龄段设置为十岁，通过大象存活率计算出每个年龄段的大象数量，如下表：年龄段0-1011-2021-3031-4041-5051-6061-70数量233819651772159814411299588百分比21.2545%17.8636%16.1091%14.5273%13.1%11.8091%5.34545%2338196517721598144112995880-10岁21-30岁11-20岁41-50岁31-40岁51-60岁61-70岁上图显示了象群的年龄组成（以10岁作为一个年龄段），基本呈现正三角形状，这表明该种群成长类型为增长型。在忽略环境因素制约的情况下，其增长符合“J”型增长曲线，故实施注射避孕药物以控制其种群增长是十分必要的，这样才可以长久地维持象群与环境的和谐共存，保证象群的稳定发展。但是，持续注射避孕药物会使幼象比例明显下降，最终造成象群年龄结构的老龄化，所以，建议公园工作人员制定合理的避孕周期，避免持续注射。问题（二）一 估计每年要注射避孕药的母象数量假设生育的小象数量为S,死亡的大象头数为D。采用避孕注射法，保持群落数量在11000头上下。可以得到等价关系：11000头大象各个年龄段自然死亡数量之和=每年母象生育小象数量即： （15）1、 生育小象头数S：设每年避孕母象数量H，同时每次注射避孕药能保证两年不受孕。因此每年生育小象数量S可由下面公式得到： （16）2、 死亡大象头数D：0-1岁：（17）2-60岁：（18）61-70岁：在这个阶段根据假设作图：616270数量年龄很容易计算出经过一年的时间61-70之间的大象死亡数量（19）所以：（20）3、联立（15）-（20）：（21）所以得： H=1235（头），即每年需要1235头母象要注射避孕药。二、考虑不确定性因素的影响：此处不确定性影响很多，在问题分析中已经指出，在此我们只对处于怀孕期母象被错误注射避孕药的因素进行分析。在这1235头被避孕的母象中，有一定比例数目的处于怀孕期的母象。这个比例的确定过程如下：设母象怀孕之后的第K个月能够被检测出来，那么就有的孕期母象可能被误注避孕药。根据假设7知，所以，处于怀孕期的母象占孕龄（1160岁）母象总数的比例为；根据乘法原理得出：可能被注射避孕药物的孕期母象的比例为：（K表示母象怀孕后能够被检测出来最早时间，单位/月，）。于是，要保证象群总数的稳定，必须增加注射药物的母象数，但是，增加的母象中依然存在同样的比例（）数目的孕期母象，所以总共需要增加注射的母象数为： 那么，在考虑这种因素影响的情况下，所要注射的母象头数增加为：下面给出时，对应的需注射药物的母象数：K123456注射母象数125112691287130513241344表中可以看出，越晚检测出母象是否怀孕，所需要注射的母象头数就会越多。见下图，K取不同数据时需注射避孕药的母象数量。由此图，越晚检测出母象是否怀孕，所需要注射避孕药物的母象头数就会越多，并且会呈现几何增长趋势，故建议公园在注射避孕药物之前，要尽早检测出母象是否怀孕，避免药物的错误注射和浪费。问题（三）假设被移走的大象数量：Mov，被移走的成年母象（11-60岁）数量：Movm，被移走注射过避孕药成年母象数量：Movmy，被移走没有注射过避孕药的成年母象数量：Movmn，减少注射的母象头数：，生育Mov头小象需要母象头数：MM。分析知道，被移走的大象中包含注射避孕药的母象，也包含没有注射避孕药的成年（11-60岁）母象，那么被移走的成年（11-60岁）母象头数为：由于移走的成年母象中注射过避孕药和没有注射的比例保持群落中两者的比例，固有被移走注射过避孕药成年母象数量：被移走没有注射过避孕药的成年母象数量：同时，生育Mov头小象需要母象头数为MM：最终需要减少注射的母象头数：通过MATLAB可以绘制下面图像：随着一定数量的移走，注射避孕药的母象数量将不断减少，当移走数目达到一定程度，注射避孕药母象数量将到达0，如果继续增加移走的数量，群落的数量将不能保持在11000头，会不断减少，因此为了达到平衡，就需要新的方法加以控制。此模型得到转移大象数量于减少注射避孕药母象数量呈线性关系，但是在现实情况下，由于环境因素、人为因素等的影响导致不能持续保持这种线性关系。因此，此模型是在忽略某些外在因素的基础上建立的。问题（四） 假设象群灾难恢复期的增长率为，象群恢复到灾难前水平需要的时间为t，象群在灾难中的存活率为，则灾难后第一年象群中存活象的各年龄段数量如下： 0-1岁2-10岁11-60岁61-70岁总量数量1169*1169*8074*588*11000*百分比106273%106273%73.4%5.3455%100% 灾难后第一年的情况：我们认为象群性别比仍然为1:1,而且出生的幼象性别比也为1:1,各个年龄阶段的死亡率与发生灾难前相同，且象群数量的恢复期内不受到环境的限制，故认为象群可看作自由繁殖，即灾难恢复期每年增长率保持不变。于是，分析得到如下等式： 带入数值计算得到：象出生数量=象死亡数量，这很显然也是符合实际的，因为灾难后第一年象群增长率和灾难前是相同的，都是受到了注射避孕药的影响。所以我们接着考虑灾难后第二年的情况： 带入数值，用Mathematica7计算得到：， 象群存活率和象群的恢复时间t的关系为： 则用Matlab7.6作出t随变化图像如下： 从图像可以看出：当存活率为0.7时，恢复时间为11.15年；当存活率为0.5时，恢复时间为21.67年；当存活率为0.2时，恢复时间为50.32年，这些都是比较符合实际情况的，因为存活下来的大象头数足够多，而且恢复期内增长不受到环境的限制；但是当存活率仅为0.001时，恢复时间为216年，这很显然是不符合实际的，因为存活率为0.001时，存活下来的大象很少，仅为11头左右，根据实际情况，这些象很容易受到外界因素稍微变化的影响而导致灭亡。 所以，该图像能够大体的反映出象群的恢复时间随灾难存活率的变化规律，但也存在不合理性，即若灾难导致的存活率很低时，象群是不能恢复的，但是，这一点在图像中没有反映出来。由于没有过多关于象群生存法则的资料，我们只能有一个定性的概念，并不能具体计算出灾难存活率大于多少时，才能使得象群有足够的能力恢复，这也是我们这个模型有待改进的地方。八、模型检验在第一问中，该模型使用二次规划的方法求出了象群的年龄结构和各年龄段的存活率，根据这些数据，我们可用来检验模型的正确性。题干中提出为了保持象群数量在11000头左右，每年大约有600-800头被转移到别处，所以，可以根据计算得出的象群的年龄结构和各年龄段的存活率得到转移大象头数的理论值，再和实际值做比较，从而达到检验模型正确性的目的。显然有每年出生和死亡的大象头数如下： 带入数值计算得到每年转移大象头数的理论值为715头，处在600-800的范围内，这样就客观的检测了我们的模型，而且由于转移大象头数的理论值和实际值很接近，所以该模型是合理的。九、模型评价与改进优点： （1），合理的利用象群数量在11000头左右这一数据，运用优化的方法求解，而不是将每年的大象头数固定在11000头； （2），没有武断的认定所给转运大象的年龄结构即是整个大象群落的年龄结构，而是通过合理的假设计算得到； （3），采用优化模型，适用范围广。缺点： （1），第二、三、四问的模型的准确性主要依赖于第一问模型的准确性，如果第一问模型结果误差很大，则后面三个模型误差也会很大； （2），第四问中的模型不能够准确的给定该象群经过灾难后能恢复的临界的存活率，使得结果不尽完美。改进：（1），问题一利用了非线性二次优化模型，该模型考虑了大象种群数量在11000头左右浮动，其目标函数是各个年龄段大象数量的“浮动指数”以及总体“浮动指数”平方和，即将所有浮动指数看做了同等地位，这其实是不太符合事实的。事实上，各个年龄段之间、年龄段与总体是存在差异的，故不能将这些“浮动指数”以同等地位来看待，需要增加权重。模型的目标函数改进如下：约束条件不变，利用Lingo的整数规划工具包便可求出改进后的结果，由于时间关系，就不做过多分析。（2），问题二只是单一地考虑了一种不确定性，而实际的不确定性还很多，而且通常相互影响，对需注射避孕药物的母象头数的影响也应该综合考虑。问题二中是一种理想化模型，即忽略了其他不确定性对该种不确定性的影响。在此，我们考虑了一种综合多种不确定性因素的分析方法：假设有N种不确定性（G1，G2，Gn）；其发生概率为；每种不确定性对注射药物母象数的影响都可划分（可依据对不同年龄段的影响划分）为K个方面。那么每个不确定性的影响都可量化为一个“影响向量”，用X表示（X=（X1，X2，Xk）。列出各种不确定性的“影响矩阵”如下：考虑各种不确定性之间存在的相互影响，并将其量化，建立如下“关联矩阵”（对称的）：对“影响矩阵”的所有数据做如下处理：如此，便可剔除各种因素之间的相互关联，使其转化成相互独立的影响因素，得到如下“独立影响矩阵”。将每个不确定性乘上各自发生的概率再求和，便可得到这些不确定性的综合影响（用表示）：十、参考文献【1】：张志勇、杨祖樱等，MATLAB 教程，北京航空航天大学出版社，2009 年6 月。 【2】：赵静、但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2009 年11 月。 【3】：胡良剑、孙晓君，MATLAB 数