曾瑾言第四版课后习题第5章-2.doc

5.15参考7.175.15证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：。 （1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2）证明schrdinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。， 是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6）从（1）式有 （6）由此可以得出， 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7）由（1）式， , , （3）式变为： （8）将（7）代入（8）式，可得 （9）选择适当的，使得（9）（4）， 。 （10） （10）从（10）可得 。 （11）是的任意函数，将（11）代入（10），可得积分，得 。为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到 （12）代入（7）式，最后得到波函数的变换规律： （13）逆变换为 （13）相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。讨论：的函数形式也可用下法求出：因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14）据此，系和系中相应的平面波波函数为， （15）（1）、（14）代入（15），即得此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。5.15证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K以速度v相对于惯性系K（沿x轴正方向）运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足：x=x+vt y=y z=zt=t势能在KK两坐标系中的表示式有下列关系V（x,t）=V(x-vt,t)=V(x,t) 证明若在K中薛定谔方程式是 则在K中：其中： 证明从伽利略变换定义可知，在式中当t=0时，x=x，t=t，因此在时刻t=0一点的波函数与相重合，这个关系和5.1的海森伯，薛定谔表象变换:为普遍起见,我们假设K,K间的变换用一未知的么正算符表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释。 逆变换 从知道： 已知在K描写态的波函数满足： 将和的关系代入；并注意势能V（x,t）是变换的不变量 展开得： 式子中的变换算符没有单一解，但是，假定象题中指定的，要求另一座标系K中，薛定谔方程式有完全相同的形式，即下式成立的话： 那末式中需要受到限制，即必需化简为，为此比较式左右方的系数，容易看出，下面二式满足时化为的形式： （10） （11）将（11）积分，得到： （12）是个与t有关的算符，再将（12）代入（10），得到：积分得： 逆变换是：5.15证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：。 （1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2）证明schrdinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。， 是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6）从（1）式有 （6）由此可以得出， 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7）由（1）式， , , （3）式变为： （8）将（7）代入（8）式，可得 （9）选择适当的，使得（9）（4）， 。 （10） （10）从（10）可得 。 （11）是的任意函数，将（11）代入（10），可得积分，得 。为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到 （12）代入（7）式，最后得到波函数的变换规律： （13）逆变换为 （13）相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。讨论：的函数形式也可用下法求出：因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14）据此，系和系中相应的平面波波函数为， （15）（1）、（14）代入（15），即得此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。5.162.15.172.25.17设Hamilton量。证明求和规则是的一个分量， 是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。证： （）又，。不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。5.182.45.18设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1）证：式（1）左端 （2）计算中用到了公式 。由于是厄米算符，有下列算符关系： （3）式（2）取共轭，得到 （4）结合式（2）和（4），得证毕。5.192.55.19）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1）证：式（1）左端 （2）计算中用到了公式 。由于是厄米算符，有下列算符关系： （3）式（2）取共轭，得到 （4）结合式（2）和（4），得证毕。5.202.65.212.75.222.85.232.95.242.105.25没找到答案补充：1.粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称）是守恒量。自由粒子无限的均匀柱对称场无限均匀平面场中心力场均匀交变场椭球场解要判断哪些力学量守恒,需要将力学量 宇称量等表示成适宜的形式,再考察等是否是零,但是该力学量,若该交换式是零就说明是个守恒量,下面各种场的分析中, 的分量或其平方, 等逐个立式考虑,自由粒子 a 同理 b 同理 c设为宇称，对任意波涵数 或 此外H不显含时间，故总的说守恒。无限均匀柱对称场柱对称场若用柱面座标表示势能时,形式为V(R),是对称的哈氏算符,凡以z轴为对称轴的柱面上各点，势能V(R)相同。a动量算符 ， ， 直截代入相应的对易式，得： b角动量分量 直截代入相应的交换式，得： c 柱面对称性的表示式故前式成为 此外也不显含时间t，总的说来四力学量守恒。Z是柱面对称轴方向的座标。无限均匀的平面场均匀平面场在一平面内势能不为零,并且处处相等,而与该点的座标无关,记作.a 同理b角动量系沿着z轴,故 , c 不显含t,总起来说守恒.本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.中心力场这种场的势能V(r),哈氏算符 动量算符如下: 由于等不能与中所含V(r)对易,因而各分量等都不和对易,即等式成立，和V（r）对易，也不与对易。即b角动量算符是： 及其分量仅与角度有关，与r无关，因而等和和势能V（r）对易直接看出：（见课本113页）直接代入能证： 同理关于，。c中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等（等势面球形）对任意波函数，有，中心力场的守恒量是。均匀交变场这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例如写成标量场形式这样，在每一个指定时间t就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由粒子场相仿。守恒量。但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z轴，随时间作交变，这样对称性要减低。（沿z轴单位矢）则守恒量是椭球场这种势场的对称性,在于场的等势面是一群椭球面,因而势场写作:这可以用直角坐标形式的算符来讨论:动量算符是： ， ，另两个轮换对称。由于直角坐标与其共轭动量不对易，即等一式中，所以动量不守恒，同理此式之中与，两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。椭球形势场中粒子的守恒只会有和两种。c.f.D.特哈尔：量子力学习题集：3。31题p154p。160。2.对于平面转子（转动惯量I），设：（1） 试求 解平面转子的定位坐标是转角，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，自变量的情形。首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量I，角