高中数学三角函数专题专项练习(非常好).pdf

1 三角函数疑难点拔 一 忽略隐含条件 例 3 若01cossinxx 求x的取值范围 正解 1 4 sin 2x 由 2 2 4 sin x 得 4 3 2 44 2Zkkxk 2 22Zkkxk 二 忽视角的范围 盲目地套用正弦 余弦的有界性 例 4 设 为锐角 且 120 讨论函数 22 coscosy的最值 错解 cos 2 1 1 cos cos 1 2cos2 cos 2 1 1y 可见 当1 cos 时 2 3 max y 当1 cos 时 2 1 min y 分析 由已知得90 30 6060 则 1 cos 2 1 当1 cos 即60时 2 1 min y 最大值不存在 三 忽视应用均值不等式的条件 例 5 求函数 2 0 0 sincos 2 2 2 2 xba x b x a y的最小值 错解 12sin0 4 2sin 4 cossin 2 sincos 2 1 2 2 2 2 xab x ab xx ab x b x a y 当12sinx时 aby4 min 分析 在已知条件下 1 2 两处不能同时取等号 正解 222 2222222222 2 cottan cot1 tan1 baabba xbxabaxbxay 当且仅当xbxacottan 即 a b xtan 时 2 min bay 经典题例 例 4 已知 b c 是实数 函数f x cbxx2对任意 R有 0 sinf且 0 cos2 f 1 求 f 1 的值 2 证明 c3 3 设 sinf的最大值为10 求 f x 思路 1 令 2 得 0 1 f令 得 0 1 f因此 0 1 f 2 证明 由已知 当11x时 0 xf 当31x时 0 xf通过数形结合的方法可得 0 3 f化简得c3 3 由上述可知 1 1 是 xf的减区 间 那么 10 1 f又 0 1 f联立方程组可得4 5 cb 所以45 2 xxxf 例 5 关于正弦曲线回答下述问题 1 函数 43 sin log 2 1 x y的单调递增区间是 Zkkxk 3 4 8 3 2 8 2 若函数xaxy2cos2sin的图象关于直线 8 x对称 则a的值是 1 3 把函数 4 3sin xy的图象向右平移 8 个单位 再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3 倍 纵坐标不变 则所得 的函数解析式子是 8 sin xy 例 6 函数 xx x xf cossin1 2sin 1 求 f x 的定义域 2 求 f x 的最大值及对应的x 值 2 思路 1 x x 2 22kxk且 Zk 2 设 t sinx cosx 则 y t 1 4 2 12 max kxy Zk 例 7 在 ABC中 已知B A C C Asin 2 3 2 cossin 2 cossin 22 1 求证 a b c 成等差数列 2 求角 B的取值范围 思路 1 条件等式降次化简得bcaBCA2sin2sinsin 2 2 1 8 26 8 2 3 2 2 cos 22 222 ac acac ac acca ac ca ca B 得B的取值范围 3 0 14 设 sincosx 且 0cossin 33 则x的取值范围是 2 0 19 已知 2 0 x 证明不存在实数 1 0 m能使等式 cosx msinx m 成立 2 试扩大 x的取值范围 使对于实数 1 0 m 等式 能成立 3 在扩大后的 x取值范围内 若取 3 3 m 求出使等式 成立的x值 提示 可化为1 42 tan x m 2 2 2 x 3 6 x 最值问题典型错例 例 5 求函数 y x x sin cos134 2 的最大值和最小值 错解 原函数化为490 2 yxxysinsin 关于sin x的二次方程的判别式 14490 2 yy 即 1 12 1 12 y 所以yy maxmin 1 12 1 12 剖析 若取y 1 12 将导致sinx 3 2 的错误结论 此题错在忽 视了隐含条件 sin x1 正解 原函数化为490 2 yxxysinsin 当y0时 解得sinx0 满足sin x1 当y0时 解得sinx y y 11144 8 2 又sin sin xRx 1 则有 11440 1 11144 8 1 2 2 y y y 或 11440 1 11144 8 1 2 2 y y y 解得 1 13 1 13 y 所以yy maxmin 1 13 1 13 难点化简与求值 例 已知 2 4 3 cos 13 12 sin 5 3 求 sin2 的值 例 1 不查表求sin 220 cos280 3cos20 cos80 的值 解法一 sin 220 cos280 3sin 220 cos80 2 1 1 cos40 2 1 1 cos160 3sin20 cos80 1 2 1 cos40 2 1 cos160 3sin20 cos 60 20 1 2 1 cos40 2 1 cos120 cos40 sin120 sin40 3sin20 cos60 cos20 sin60 sin20 1 2 1 cos40 4 1 cos40 4 3 sin40 4 3 sin40 2 3 sin 2 20 1 4 3 cos40 4 3 1 cos40 4 1 解法二 设 x sin 220 cos2 80 3sin20 cos80 y cos 220 sin2 80 3cos20 sin80 则 3 x y 1 1 3sin60 2 1 x y cos40 cos160 3sin100 2sin100 sin60 3sin100 0 x y 4 1 即 x sin 220 cos280 3sin20 cos80 4 1 例 2 关于x的函数y 2cos 2x 2acosx 2 a 1 的最小值为f a 试确定满足f a 2 1 的a值 并对此时的a值求y的最大值 解 由 y 2 cosx 2 a 2 2 24 2 aa 及 cosx 1 1 得 f a 2 41 22 12 2 2 1 2 aa aa a a f a 2 1 1 4a 2 1 a 8 1 2 故 2 2 a 2a 1 2 1 解得 a 1 此时 y 2 cosx 2 1 2 2 1 当 cosx 1 时 即x 2k k Z ymax 5 难点训练 1 已知方程x 2 4ax 3a 1 0 a 1 的两根均 tan tan 且 2 2 则 tan 2 的值是 A 2 1 B 2 C 3 4 D 2 1 或 2 3 设 4 3 4 0 4 cos 4 5 3 sin 4 3 13 5 则 sin 4 不查表求值 10cos1 370tan31 100sin130sin2 5 已知 cos 4 x 5 3 12 17 x 4 7 求 x xx tan1 sin22sin 2 的值 7 扇形OAB的半径为 1 中心角 60 四边形PQRS是扇形的内接矩形 当其面积最大时 求点P的位置 并求此最大面积 8 已知 cos sin 3 sin cos 的取值范围是D x D 求函数y 104 32 log 2 1 x x 的最小值 并求取得最小值时x的值 参考答案 难点磁场 解 法一 2 4 3 0 4 4 3 sin 5 4 sin1 cos 13 5 cos1 22 sin2 sin sin cos cos sin 65 56 5 3 13 12 5 4 13 5 解法二 sin 13 5 cos 5 4 sin2 sin2 2sin cos 65 72 sin2 sin2 2cos sin 65 40 sin2 65 56 65 40 65 72 2 1 难点训练 一 1 解析 a 1 tan tan 4a 0 tan tan 3a 1 0 又 2 2 2 则 2 2 0 又tan 3 4 2 tan1 2 tan2 tan 3 4 13 1 4 tantan1 tantan 2 又 a a 整 理 得 2tan 2 2 2 tan3 2 0 解得 tan 2 2 答案 B 4 3 解析 4 3 4 4 0 2 又 cos 4 5 3 65 56 sin 65 56 13 5 5 4 13 12 5 3 4 3 sin 4 sin 4 3 cos 4 cos 4 3 4 cos 2 4 3 4 sin sin 13 12 4 3 cos 13 5 4 3 sin 4 3 4 3 4 0 5 4 4 sin 即 答案 65 56 三 4 答案 2 75 28 5 3 5 4 25 7 4 cos 4 sin 2sin sincos cos cos sinsin2 cos sin 1 sin2cossin2 tan1 sin22sin 5 4 4 sin 2 43 5 4 7 12 17 25 7 4 2cos2sin 5 3 4 cos 5 22 x xx xx xxxx x x xxx x xx xxx xxx 又 解 7 解 以 OA为x轴 O为原点 建立平面直角坐标系 并设P的坐标为 cos sin 则 PS sin 直线 OB的方程为y 3x 直线PQ的方程为y sin 联立解之得Q 3 3 sin sin 所以 PQ cos 3 3 sin 于 是SPQRS sin cos 3 3 sin 3 3 3sin cos sin 2 3 3 2 3 sin2 2 2cos1 3 3 2 3 sin2 2 1 cos2 2 1 3 3 sin 2 6 6 3 0 3 6 2 6 6 5 2 1 sin 2 6 1 sin 2 6 1 时 PQRS面积最大 且最大面积是 6 3 此时 6 点P为的中点 P 2 1 2 3 8 解 设u sin cos 则u 2 3 2 sin cos 2 cos sin 2 2 2sin 4 u 2 1 1 u 1 即D 1 1 设t 32x 1 x 1 1 t 5 x 2 3 2 t 2 1 232 2 2 5 8log2log 8 2 log 0log 8 2 2 4 2 8 2 24 1 4 2 1 42104 32 5 05 05 0min 5 0max 2 xxty MMyMt t t t t t t x x M 此时时 时是减函数在时即当且仅当 提高训练 C 组 一 选择题 5已知sinsin 那么下列命题成立的是 A若 是第一象限角 则 coscos B若 是第二象限角 则tantan C若 是第三象限角 则coscos D若 是第四象限角 则tantan 二 填空题 1已知角的终边与函数 0 0125xyx决定的函数图象重合 sin 1 tan 1 cos的值为 2若是第三象限的角 是第二象限的角 则 2 是第象限的角 4如果 0sintan且 1cossin0那么的终边在第象限 5 5若集合 3 Ax kxkkZ 22Bxx 则BA 三 解答题 1角的终边上的点P与 baA关于x轴对称 0 0 ba 角的终边上的点Q与A关于直线xy对称 求 sincos 1 tan tan cos sin 值 3求 66 44 1sincos 1sincos 的值 参考答案 一 选择题 5 D 画出单位圆中的三角函数线 二 填空题 1 77 13 在角的终边上取点 1255 12 5 13 cos tan sin 131213 Pr 2一 或三 111222 3 22 222 22 kkkZkkkZ 1212 422 kkkk 4二 2 sin tansin0 cos0 sin0 cos 三 解答题 1解 2222 sin cos tan bab P ab a abab 2222 sin cos tan aba Q b a b abab 222 22 sintan1 10 costancossin bab aa 3解 66224224 4422 1sincos1 sincos sinsincoscos 1sincos1 12sincos 22 22 1 1 3sincos 3 1 12sincos 2 练习 一 选择 1 函数的值域是 A 1 1 B 2 2 C 0 2 D 0 1 5 二 填空 3 已 知 f x asinx bcosx且 x 为f x 的 一 条 对 称 轴 则 a b 的 值 为