测量平差---误差椭圆.ppt

第10章 误差椭圆 本章主要内容 退出 第一节概述第二节点位误差 授课目的要求 明确点位中误差 位差和位差的极值等概念 掌握其计算方法 重点 难点 位差及其极值的计算方法 本次课主要内容 一 点位误差概念及点位误差的计算 二 P点在任意方向 上的位差 三 位差极值方向的确定 四 位差的极大值和极小值的计算 五 用E F表示的任意方向 上的位差 六 应用实例 1 点位真误差 左图中P P点的点位真位置 其坐标值为P P点平差值的点位位置 其坐标值为 P P点的点位真误差 x y 坐标真位差 S P点真位差在AP方向的投影 称为纵向误差 u P点真位差在垂直于 AP方向上的投影 称为横向误差 如图可得 无法求得 为什么 一 点位误差概念及点位误差的计算 由方差的定义式可得 故有 同理有 记 则有 点位方差计算式 上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关 即与坐标系的选择无关 用点位方差衡量P点精度的缺陷 不能完善说明P点在任一个方向上的精度情况 不能确定P点在哪一个方向上的精度最好 最差 2 点位方差及其计算 由图可得下列关系式 由协方差传播律得 或 上式即为求任意方位角 方向上点位方差的计算公式 二 P点在任意方向 上的位差 三 位差极值方向的确定 由位差计算式可以看出 随着 值的变化而改变 具有最大值和最小值 其一阶导数等于零 即 设位差的极值方向为 则有 将代入位差计算式得 极值方向的判别方法 0 极大值在第 象限 极小值方向在第 象限 0 极大值在第 象限 极小值方向在第 象限 四 位差的极大值和极小值的计算 用表示极大值方向 表示极小值方向 用E F分别表示位差的极大值和极小值 则有 把代入位差计算式得 令 代入上式 得 与 有下面关系 五 用E F表示的任意方向 上的位差 由图可知 任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系 把代入位差计算式得 整理得 六 应用实例 例题1如图 在固定三角形内插入一点P 经过平差后求得P点坐标的协因数阵为 单位权方差估值为 试求 1 位差的极值方向和 2 位差的极大值E与极小值F 3 P点在PM方向上的点位误差 已知 4 P点的点位方差 解 1 计算极值方向 2 39 17 或219 17 19 39 或109 39 因为 故 19 39 或199 39 109 39 或289 39 2 求位差的极值 P点位差的极大值和极小值分别为 E 2 78 cm F 2 34 cm 3 求P点在PM方向上的位差 将PM方向的方位角代入位差计算式 得 也可以利用E F计算PM方向上的位差 此时 以极大值方向为坐标纵轴 PM的方向角为 则 4 点位方差 也可用下式计算 即 例题2如图 已知 为确定P点的位置 作如下观测 试确定P点位差的极大值及其方向 解法一由P点的坐标差计算及E 由图 可列函数式 求全微分 dx dy dS以mm为单位 得 由上式按协方差传播律得 由 解得 2 149 06 27 或329 06 27 即 74 33 14 或164 33 14 因为 9 08 0 故极大值方向为 164 33 14 或 解法二 以AP方向为纵轴x建坐标系xoy 所建坐标系相当于xoy坐标系顺时针旋转 74 33 14 而得到 在坐标系中 P点纵坐标的方差就是P点的纵向方差 即 P点横坐标的方差就是P点横向方差 即 由 解得 2 0或180 即 0或90 因为 故在坐标系中 P点位差极大值方向 90 位差极大值为 把化为xoy坐标系中的方位角得 例题3在例1中 平差后算得PA的方位角和边长分别为 1827 46m 试求PA边的边长相对中误差和方位位差 解 PA边长的中误差 便是PA方向上的位差 则有 边长相对中误差为 S 2 54 182746 1 71800 要计算PA边的方位误差 首先要计算PA边的横向误差 即垂直于PA边方向上的P点位差 垂直方向的方位角为 248 15 30 90 338 15 30 PA边的横向误差为 由 得 作业 第十章习题1 2 3 4 11 返回 第三节误差曲线 授课目的要求 明确误差曲线定义 画法和用途 重点 难点 误差曲线的画法和用途 本次课主要内容 一 有关公式复习 二 误差曲线的定义 三 误差曲线的作图方法与步骤 四 误差曲线的用途 点位方差计算公式 位差极值方向计算公式 位差极值计算公式 任一方向 上的位差计算公式 或 一 有关公式复习 以 和为极坐标的点的轨迹所构成的封闭曲线称为误差曲线 或称为精度曲线 二 误差曲线的定义 三 误差曲线的作图方法与步骤 1 方法 如图 以O为圆心 E F为半径画圆弧 再以为起始方向 过原点O作一系列 如 20 40 60 80 角的直线 直线与圆弧的交点分别投影到 轴上 得到交点和 在 方向的直线上 自O点量取线段 得a点 便是误差曲线上的点 将若干个方向上获取的这样的点连接所得的封闭曲线即为误差曲线 首先 用较小比例尺绘出三角点点位图 如右图 图中A B C为已知点 P为待定点 以待定点为原点 建立x y的坐标轴 并根据已求出的值 确定极值E 轴 F 轴 的方向 然后以较大比例尺在 轴上取 再以为起始方向 将不同的 值及其相应的向径 仍按同一较大比较尺逐一展绘上去 平滑地依次将各点联结起来 就得到了待定点的误差曲线图 2 步骤 四 误差曲线的用途 利用误差曲线可求下列各种误差 1 待定点任一方向的位差 例如 2 点位中误差 按任意两个互相垂直方向上的位差求其值 例如 3 待定点P至任一三角点边长的中误差 即该边的纵向误差 例如 PA边边长中误差为 4 待定点P至任一三角点之方位角的中误差 例如 PA边的方位角的中误差为 式中为PA边之横向误差 为P点至A点的距离 返回 第四节误差椭圆第五节相对误差椭圆 授课目的要求 明确误差椭圆 相对误差椭圆的定义 用途 掌握误差椭圆三要素的计算方法 重点 难点 误差椭圆三要素的计算 误差椭圆与误差曲线的关系 本次课主要内容 一 误差椭圆方程 二 误差椭圆与误差曲线的关系 三 相对误差椭圆 四 相对误差椭圆 误差曲线作图不易 而且作出来的曲线也不是一种典型曲线 因此 给使用者带来很大不便 降低了它的实用价值 然而 它的形状很近于以E F为长短半轴的椭圆 在以 为坐标轴的坐标系中 该椭圆的方程为 误差椭圆的三个参数 E F称为误差椭圆三要素 一 误差椭圆方程 如图 由椭圆圆心向 方向引一射线 垂直于 方向上作椭圆的切线 则垂足与原点的连线长度就是 方向上的位差 证明略 二 误差椭圆与误差曲线的关系 设有两个待定点 坐标平差值的协因数阵为 两待定点平差以后的相对位置可通过坐标差来表示 即 或表示为 据上式 按协因数传播定律得 三 相对误差椭圆 计算 点间相对误差椭圆三个参数的公式为 可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆 相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心 根据相对误差椭圆 便可图解出所需要的任意方向上的位差大小 例题如图示测角网 已知坐标 A 4899 84 130 81 m B 12939 70 2136 89 C 4172 82 15542 85 平差以后 P1 6467 745 4986 847 P2 3873 003 5957 482 单位权方差估值为 待定点坐标的协因数阵为 试作出P1 P2点误差椭圆及P1 P2点间的相对误差椭圆 解 1 计算P1点的误差