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绝对值不等式的解法 祁东二中高二数学组谭雪峰 复习 1 绝对值的定义 a a a 0 a a 0 0 a 0 2 绝对值的几何意义 a 表示数轴上坐标为a的点到原点的距离 a b 表示它们在数轴上对应的A B之间的距离 类比 x 3的解 x 3的解 观察 思考 不等式 x 2的解集 方程 x 2的解集 为 x x 2或x 2 为 x 2 x 2 不等式 x 2解集 为 x x 2或x 2 x 2的解 x 2的解 归纳 x 0 x a a 0 a x a X a或x a a a a a 引入 如果a 0 则 引例 解下列不等式 1 2 x 5 2 2x 5 3 x 1 5 4 2x 1 5 1 4 6 2 3 解题思路 整体换元 归纳 型如 f x a a 0 不等式的解法 R 3 2 1 2 例3 解不等式 5x 6 6 x 若 f x a的不等式中 a 用代数式替换 如何解 思考 如何去不等式中的绝对值号 分析 对绝对值里面的代数式符号讨论 解不等式 5x 6 6 x 思路 利用绝对值的定义去掉绝对值符号 需要分类讨论 解不等式 5x 6 6 x 分析 对6 x符号讨论 思考 解题过程能否进一步简化 可否不对6 x的符号进行讨论 归纳 练习 把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式 3 x 1 2 x 3 4 5 2x 1 x 2 1 2x 3 5x 2 x2 3x 4 4 例3 解不等式 x 1 x 2 5 解 如图 数轴上 2 1对应的点分别为A B 原不等式的解集为 x x 3或x 2 3 2对应的点分别为A1 B1 A1A A1B 5 B1A B1B 5 数轴上 点A1和B1之间的任何一点 到点A B的距离之和都小于5 而A1的左边或B1的右边的任何一点 到点A B的距离之和都大于5 方法一 利用绝对值的几何意义 体现了数型结合的思想 原不等式的解集为 x x 3或x 2 方法二 利用 x 1 0 x 2 0的解 将数轴分为三个区间 然后在这三个区间上将原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解 现了分类讨论的思想 例3 解不等式 x 1 x 2 5 例3 解不等式 x 1 x 2 5 原不等式的解集为 x x 3或x 2 方法三 通过构造函数 利用了函数的图象 体现了函数与方程的思想 利用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法 归纳 练习 解下列不等式 2 2x 4 3x 9 1 2 2x 4 3x 9 1 解 当x 2时 原不等式同解于 X 2 3 当x 3时 原不等式同解于 2 当 3 x 2时 原不等式同解于 X 13 综合上述知不等式的解为 谢谢 2 若不等式 x 1 x 3 a的解集为空集 则a的取值范围是 3 解不等式1 2x 1 3 1 对任意实数x 若不等式 x 1 x 2 k恒成立 则k的取值范围是 A k 3 B k 3 C k 3 D k 3 B 4 解不等式 x 3 x 3 8 答案 2
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