正弦定理和余弦定理(教师版).doc

。正弦定理和余弦定理1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解决不同的三角形问题2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解难点正本疑点清源1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsinC2 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换1 在ABC中，若A60，a，则_.2 (2012福建)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_3 (2012重庆)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，b3，则c_.4 (2011课标全国)在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_5 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8 C. D.题型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c. 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则角A的大小为_题型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积 已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2012课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.1.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0A，A，ABC为直角三角形；当sin Asin B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形ABC为等腰三角形或直角三角形2.(2011浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以pb，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.变式训练1例2解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.变式训练2解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A52.(2)由(1)知，bc5，又bc6，根据余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020，a2.例3解(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以p.变式训练3解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0A0，从而有sin A，A60或120，A是锐角，A60.(2)10bcsin 60，bc40，又72b2c22bccos 60，b2c289.8解sin B4cos Asin C，由正弦定理，得4cos A，b4ccos A，由余弦定理得b4c，b22(b2c2a2)，b22(b22b)，b4.B组1D2.D3A460正三角形 546.7解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0A180，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C，又sin Bsin C1，sin Bsin C.解联立的方程组，得sin Bsin C.因为0B60，0C60，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形8解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2c