七章第六节函数的幂级数展开及应用.doc

7.6 函数的幂级数展开及应用一 教学目的与要求、 熟练掌握初等函数的幂级数的展开、 理解用幂级数的逼近及误差估计二重点与难点初等函数的幂级数的展开三 教学过程由于幂级数的特殊形式，如果函数能表为幂级数的形式，无论是理论上还是应用中都是很有意义的。本节将讨论函数能展为幂级数的条件、稀疏的确定、初等函数的幂级数展开及有关应用举例。7.6.1 函数的幂级数展开回顾第三章讨论过的泰勒公式：若函数在点的某邻域内有阶导数，则可表示为（6.1）其中 介于与之间如果在点的某邻域内是无穷次连续可微的，自然会想到，是否可展为如下的幂级数（6.2）人们称幂级数（6.2）是函数在点出的泰勒级数。特别，当时，称幂级数为的马克劳林级数。自然，人们希望级数（6.2）在附近收敛，并且收敛域。此时，我们称函数能（或可）展成幂级数（6.2）。从式（6.1），这实际上取决于。于是我们有下面的结果。定理6.1 设函数在点某邻域内具有任意阶导数，则它的泰勒级数（6.2）在内收敛于得充分必要条件是：。在上述定理的条件不成立的范围内，函数的泰勒级数（6.2）即使收敛，也不收敛到，例如 由于（见上册，第68页，第9题），所以，函数的马克劳林级数（6.3）的各项系数均为零，显然它在整个数轴上一致收敛到零。但除外，均不收敛到。这是因为，除原点外，都不以零为极限。 定理6.2 （幂级数展开式的惟一性）若函数在的某邻域内可展为幂级数 （6.4）则其系数这里规定。证明 由于幂级数在其收敛区间内可逐项积分，于是 即 7.6.2 初等函数的幂级数展开现在我们来展开一些常见的函数。例6.1 将函数展为的幂级数。解 因为泰勒公式的余项介于与之间，它满足不等式对任一确定的，式（6.5）的余项以零为极限，所以，在上恒有又，故。于是例6.2 求和的展式。解 由的泰勒公式知，它的泰勒级数为 其收敛半径为对收敛区间内的任一点，有从而得到展开式 （6.7）对式（6.7）两端求导，由展开的惟一性，得 （6.8）例6.3有上节5.4(1)及函数展开为幂级数的惟 （6.9）其中。例6.4 将函数展为的幂级数，其中为任意实数。 解 如果是非负数，则根本是一多项式。因此，我们只考虑不是非负整数的情形。此时，在为阶导数为 因此，其泰勒级数为其收敛半径为 所以的泰勒级数的收敛区间是。在处，对不同的，敛散性不同。 为了避免讨论余项的极限，设在内它的和函数为，即设下面证明。由逐项积分两边同乘以后，右边方括号内的系数为于是，有微分方程满足条件。由分离变量法，得 故有展开式 （6.10）其中。 式（6.10）称为牛顿二项展开式，当为正正数时，式（6.10）便是代数中的二项公式。当时，依次有展开式 （6.11） （6.12） 例6.5 求的马克劳林展开式解 由于 令，则逐项积分，得 7.6.3 幂级数的应用举例 有了函数的幂级数展开式，就可以方便地解决函数的多项式逼近和函数的缉私计算问题。同时，因幂级数可以表达一些非初等函数，使一些积分和微分方程问题得到完满的解决。下面通过一些例子来说明。例6.6 计算的值，精确到小数点后第四位（即误差）。解 因为 所以，当时，有 若取前项近似计算，其截断误差要使，只需取。于是 例6.7 计算的近似值，精确到。解 我们知道，函数的原函数尽管存在，但不是初等函数。有了函数的幂级数的展开理论，我们可以把原函数表示成级数形式。 因为 所以 其中，由于，所以是通常的定积分（不是广义积分） 令上限，得这是一个交错级数，若取前三项作为近似值，其截断误差 故 例6.8 求初值问题解 设所求的解为 由初始条件知，所以将其代入方程，得恒等式比较两边的同次幂的稀疏，得于是所求之解为 下面的例子是利用幂级数求数值级数的和。例6.9 求数值级数的和。解 这个数值级数是幂级数在时对应的级数。显然，这个幂级数的收敛区间为。先求此幂级数的和函数。因为从而有 最后讨论对数的近似计算。式（6.9）给出了函数的马克老林展开，但应用式（6.9）计算自然对数的近似值有两个缺点：一是的变换范围太小；二是收敛速度太慢，因此他没有使用价值。为此，在式（6.9）的基础上构造一个新的级数，既扩大的变化范围，又提高收敛速度。具体做法如下。 在式（6.9）中，以替代，有 （6.13）将式（6.9）与式（6.13）的等号两端分别相减，有或 （6.14）令 ，有 将代入式（6.9）中，有 或 （6.15）由级数（6.15）可知：一方面，应用递推方法，能求出任意自然数的自然对数；另一方面，提高了级数收敛的速度，即取很少项的部分和就能达到