实变与泛函试题.doc

实变函数与泛函分析基础试题考生班级学号姓名1. 设是上的实值连续函数, 则对于任意常数, 是一开集, 而总是一闭集. (15分)证明 (1) 先证为开集. (8分) 证明一 设,则,由在上连续,知,使得时, 即,故为的内点. 由的任意性可知,是一开集. 证明二 可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知为开集.(2) 再证是一闭集. (7分) 证明一 设, 则是的一个聚点, 则中互异点列使得. .2分由知, 因为连续, 所以,即.6分由的任意性可知,是一闭集. 7分证明二 对, , 5分知,为闭集. 7分证明三 由(1)知,为开集, 同理也为开集,所以闭集, 得证.西北工业大学命题专用纸2. 证明Egorov定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数, 则对, 存在子集, 使在上一致收敛, 且 (15分)证明 任选一列自然数,与此相应作的子集则必在上一致收敛于.事实上,对,选使则当时,对一切都有. 6分所以, , 若能适当的选取, 使, 则令即可.利用引理, . 故对任给的, 对, ,使得,取所以在上一致收敛.且 12分. 15分结论得证.教务处印制 共8页第2页西北工业大学命题专用纸3. 证明勒贝格控制收敛定理: 设(1) 是可测集上的可测函数列;(2) 于,=1,2,在上可积分;(3) ,则在上可积分, 且 . (15分)证明 证明一 由于,根据Rieze定理,存在子列 a.e.收敛于.由于于,从而于,得于.因为可积,可得到在上是可积的,且每个在上是可积的. .2分下证.我们分两步证明： (1) 先设.对任何,因为在上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在,使当且时有. .4分又因为,所以存在,使当时有,其中.所以当时,. .6分因此 = = . .9分 这就证明了当时,成立.(2)设.因在上可积,由非负可测函数积分的定义 知对任何,存在,使得,所以= . .11分另一方面,在上的可测函数列满足：于,（从）,故在上利用(1)的结论（从(1)有,所以由,得）,知存在正整数,使当时,. .13分(注意: 上一步若直接由(1)得到亦正确)因此 . .15分证毕.证明二 由及黎斯定理 ,存在子列 a.e.收敛于.因为于,所以于,因此于.由可积,得到每个和都是L可积的. .2分因为在E上可积,即,所以,存在,使得,因此= .6分由绝对连续性,使得,时,有,对此,由（在上,从而在上）,所以存在,使得当时,10分当时,记=,所以从,有.因为,所以当时=()22.15分这证明了.4证明康托尔(Cantor)集合的测度为零. (10分)证明 证明一 Cantor集,.4分所以.8分.10分 证明二 去掉过程进行到第步时，剩下个长度为的闭区间这些区间的总长为 当时.4分故.8分因此 即.10分5.证明. (15分)证明 当时, ；.2分 当时, .4分 则当时,有.6分且,即在上可积. .8分又因为,所以由控制收敛定理得.12分原式=.15分6. 证明Banach不动点定理: 设是完备的度量空间, 是上的压缩映射, 那么有且只有一个不动点. (15分)证明 设为中的任一点,令. .3分下面证明点列是中的柯西点列.因为 所以当时,又因为所以从而. 即是中的柯西点列, .8分由的完备性知,存在,使.因为.10分 故,即,所以为的不动点. .12分下证其唯一性.如果又有,使,则,因,故,即,得证. .15分7. 设, 又设上可积函数满足, 试证:. (5分)证明 因为, 所以3分若 ,则, a.e. .5分与题设矛盾, 故得.8. 设在上可导, 证明: 的导函数在上可测. (10分)证明 补充定