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椭圆与方程【知识梳理】1、椭圆的定义平面内，到两定点、的距离之和为定长的点的轨迹称为椭圆，其中两定点、称为椭圆的焦点，定长称为椭圆的长轴长，线段的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义.2、椭圆的简单性质标准方程顶点坐标、焦点坐标左焦点，右焦点上焦点，下焦点长轴与短轴长轴长、短轴长长轴长、短轴长有界性，对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.之间关系3、焦半径椭圆上任意一点到椭圆焦点的距离称为焦半径，且，特别地，若为椭圆上的任意一点，为椭圆的左右焦点，则，其中.4、通径过椭圆焦点作垂直于长轴的直线，交椭圆于、两点，称线段为椭圆的通径，且.5、焦点三角形为椭圆上的任意一点，为椭圆的左右焦点，称为椭圆的焦点三角形，其周长为：，若，则焦点三角形的面积为：.6、过焦点三角形直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于、两点，称为椭圆的过焦点三角形，其周长为：，面积为.7、点与椭圆的位置关系为平面内的任意一点，椭圆方程为：若，则在椭圆上；若，则在椭圆外；若，则在椭圆内.8、直线与椭圆的位置关系直线，椭圆：，则与相交；与相切；与相离.9、焦点三角形外角平分线的性质（*）点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点， 是的外角平分线上一点，且，则，即动点的点的轨迹为.10、椭圆上任意两点的坐标性质为椭圆上的任意两点，且，则.【推广1】直线过椭圆的中心，与椭圆交于两点，为椭圆上的任意一点，则（均存在）.【推广2】设直线交椭圆于两点，交直线于点若为的中点，则.11、中点弦的斜率为椭圆内的一点，直线过与椭圆交于两点，且，则直线的斜率.12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若、为椭圆：上的两个动点，为坐标原点，且则定值【典型例题】例1、直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是_【变式1】已知方程表示椭圆，则的取值范围_【变式2】椭圆的两个焦点坐标分别为_例2、已知圆，圆内一定点，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程.【变式1】已知圆，圆,动圆分别与圆相外切，与圆相内切.求动圆圆心所在的曲线的方程.【变式2】已知的两个顶点坐标为，的周长为18，则顶点的轨迹方程为_【变式3】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆的圆心的轨迹方程例3、若是椭圆上的点，和是焦点，则（1）的取值范围为_（2）的取值范围为_（3）的取值范围为_【变式1】点是椭圆上的一点，是椭圆的焦点，是的中点，且，为坐标原点，则_.【变式2】点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，是的外角平分线上一点，且，则动点的轨迹方程为_例4、已知椭圆内有一点，为椭圆的左焦点，是椭圆上动点，求的最大值与最小值_【变式】若椭圆的左、右两个焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为_例5、是椭圆的焦点，点为其上动点，且，则的面积是_【变式】焦点在轴上的椭圆方程为，、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，那么实数的取值范围是_.例6、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程例7、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称例8、已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程例9、已知定点，动点是圆（为圆心）上一点，线段的垂直平分线交于.（1）求动点的轨迹方程；（2）直线交点的轨迹于两点，若点的轨迹上存在点，使求实数的值；例10、已知椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线 的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由例11、若是经过椭圆中心的一条弦点，分别为椭圆的左、右焦点，求的面积的最大值.【变式1】已知直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求的面积的最大值.【变式2】斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积取最大值时直线的方程.【变式3】已知定点和椭圆上的动点（1）若且，计算点的坐标；（2）若且的最小值为1，求实数的值.【变式4】如图，椭圆的中心在原点，是它的两个顶点，直线交线段于点，交椭圆于两点.（1）若，求直线的斜率；（2）求四边形的面积的最大值.【变式5】椭圆的一个焦点是（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上的任意一点，定点为轴正半轴上的一点，若的最小值为，求定点的坐标；（3）若过原点作互相垂直两条直线，交椭圆分别于与两点，求四边形 面积的取值范围.【变式6】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离之和为4，设点的轨迹为曲线，直线过点，且与曲线交于两点.（1）求曲线的方程；（2）以为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过，求此时直线的方程，若不能，说明理由.（3）的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由.例12、已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【变式1】过椭圆长轴上某一点（不含端点）作直线（不与轴重合）交椭圆于两点，若点满足：，求证：.【变式2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值【变式3】如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过椭圆的的左右交点.当轴时，恰好（1）求的值（2）若，试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【变式4】线段分别在轴，轴上滑动，且，为线段上的一点，且，随的滑动而运动（1）求动点的轨迹方程；（2）过的直线交曲线于两点，交轴于，试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【变式5】如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为试问：是否存在直线，使得？说明理由【变式6】已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由例13、椭圆的一个顶点，焦点