量子力学授课教案.doc

量子力学授课教案第一章：绪论教学目的：了解经典物理在解释微观世界运动规律时遇到的主要困难以及为克服这些困难所提出的一些新的假设。教学重点：普朗克假设的基本思想；德布罗意假设的基本思想和数学表述。教学难点：物质波概念。教学时数：6课时教学方法：讲述法为主，辅以浏览部分历史人物图片以提高学习兴趣。量子力学课程介绍一、 量子力学研究内容量子力学是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子）运动规律的理论，是在上世纪二十年代总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。二、 量子力学在物理学上地位1、量子力学是物理学三大基本理论之一。物理学基本理论分三大块：经典物理学-研究低速、宏观物体；相对论-研究高速运动物体；量子力学-研究微观粒子。2、相对论、量子力学是近代物理的二大支柱。 3、量子力学与现代科学技术是紧密相连，凡涉及原子分子层次的现代科技都离不开量子力学，如半导体技术、纳米材料、激光、量子通讯、量子计算机等。现代医学、生物基因工程也与量子力学紧密相关，许多疾病、有关生命现象只有在原子分子层次上才能加以解释。三、 量子力学特点 1、抽象独立于经典物理，自成一套系统，脱离人们的日常生活经验，难以理解，如波粒二象性、微观粒子没有运动轨道等。理论本身一些内容不能直接用实验验证，如薛定谔方程、E=h等，原因是微观粒子太小，目前实验无法直接观察。2、理论形式本身不是唯一的。 量子力学目前主要有二种理论形式： 薛定谔波动力学；海森堡矩阵力学；另外还有路径积分理论（比较少用）。其原因是量子力学理论基本上结合实验假设、猜测出来的，主观成份较多。 3、量子力学参考书很多，较适中的有： 量子力学教程 周世勋量子力学 惠和兴 量子力学导论 曾谨言 量子力学 曾谨言 量子力学基础 关洪 还有各高校的量子力学教材等。四、本章概述： 本章作为讲述量子力学的绪论，主要介绍在十九世纪末、二十世纪初物理学的研究领域拓展到微观世界时人们发现的经典物理理论在解释微观现象时出现的困难。为了克服这些困难人们所提出的新的假设。第一讲：经典物理学的困难（1课时）一、 经典物理学的体系简介到十九世纪末期，经典物理已建立起十分完整的理论体系：1、 牛顿力学体系：牛顿三大定律，万有引力等。用来描述物体的机械运动在其速度远小于真空中光速时的运动规律。2、 热力学统计物理体系：热力学三大定律与统计方法，用来描述分子无规热运动及宏观热现象。3、 Maxwell经典电磁理论、光学：Maxwell理论、Lorentz力公式等，用来描述宏观电磁现象及规律；光的波动理论最后也归结到Maxwell理论。经典物理如此完善，以致使一部分物理学家认为，物理学已建立了极终理论。二、经典物理学的困难到十九世纪末二十世纪初，随着生产力的发展，物理学已经发展到了深入研究微观现象的阶段，其结果是发现许多实验现象无法用经典物理理论来解释。比较典型的有：迈克尔逊-莫雷的以太实验、能量均分定理、黑体辐射、光电效应、氢原子光谱、康普顿散射等。1900年，开尔文说：“在物理学晴朗天空的远处，还有二朵不祥的乌云”基本上描述了当时物理学的状况。归结起来，当时经典物理遇到了严重困难有两类：一类是光（电磁波）的的量子性质问题；一类是原子结构问题。 第二讲：光的波粒二象性（2课时）一、光的波动性 光的波动性早在十七世纪就已经被发现。光的干涉、衍射从实验上验证了光的波动性。其中、分别表示穿过狭缝、到达点的光波振动。则点的总的光波振动为：当 该点强度为极大；当 该点强度为极小。二、光的粒子性 1、黑体辐射 普朗克量子假设 黑体：如果一个物体能完全吸收投射到它上面的辐射而无反射，则称该物体为绝对黑体。如开有小孔的空腔。 黑体辐射问题所研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布规律。实验表明：在某一温度T下（热平衡时），频率在到之间的辐射的能量密度只与和T有关，即此处表示与空腔的材料、形状没有关系的普适函数。当时虽然不能写出它的具体解析表达式，只能画出它的实验曲线，但许多人企图用经典无力学来说明这种规律，比较有代表性的有： 维恩（Wien）公式：由热力学得出，在短波部分与实验结果符合，在长波部分与实验结果显著的不一致。瑞利（Rayleigh）-金斯（Jeans）公式：根据经典电动力学和统计物理学得出，在长波部分吻合很好，在短波部分完全不吻合，导致“紫外灾难”。普朗克假设：1900年，普朗克提出黑体以为能量单位不连续地发射和吸收频率为的辐射，而不是像经典物理所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。能量单位称为能量子，是普朗克常数，数值为由此，得到与实验结果符合的很好的普朗克公式式中是黑体内频率在到之间的辐射能量密度，c是真空中光速，k是波尔兹曼常数，T是黑体绝对温度。普朗克假设的重大意义：普朗克的理论开始突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。德国物理学家普朗克： 普朗克，1858年4月23日生，德国物理学家，量子论之父。从师于名家亥姆霍兹和基尔霍夫，年仅21岁即获物理学博士学位，次年任慕尼黑大学讲师，1885年任基尔大学特命教授。他在1900年黑体辐射和吸收的理论研究中，首先提出适用于电磁波谱所有波段的经验公式，即著名的普朗克辐射公式。把当时只能分别在短波波段和长波波段与实验相符的维恩能量分布公式和瑞利辐射公式巧妙而成功地统一起来。1913年丹麦物理学家玻尔用量子理论第一次成功地计算出光谱的特殊谱线的位置，普朗克的理论开始被人们看作是一项惊人的成就。他在1912年任普鲁士科学院教学和自然科学部的终身秘书，自1894年以来一直是该学院的院士；他也是英国皇家学会的外籍会员。从1930年起任柏林威廉研究所的所长；第二次世界大战后，该所以他的名字命名为马克斯-普朗克研究所。1947年10月4日逝世。2、光电效应 爱因斯坦光子理论（1）光电效应现象光电效应是当光照射到金属表面时，有电子从金属中逸出的现象。其主要特征有三点：对于一定的金属，存在一个确定的临界频率，当照射光的频率低于临界频率时，无论光有多么强，受照的金属不会放出电子。每个光电子的初动能仅取决于照射光的频率，并与之成线性关系，而与照射光的强度无关。不论光多么微弱，从开始照射到打出光电子，延迟时间极短，大约不超过秒。（2）爱因斯坦光子理论不仅发射和吸收电磁辐射时以“量子”的方式进行，而且辐射场本身也是由“量子”组成，称为“光量子”或“光子”，每个光子的能量为。按照爱因斯坦的理论，光照射到金属表面上时，能量为的光子被电子吸收，故存在关系式如果，则电子不能脱出金属表面。 光子的动量：由，对于光子，故光子的静质量为零（）。 由能量动量关系：，有。（3）爱因斯坦关系式其中，为波矢量。美国物理学家爱因斯坦： 爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955），举世闻名的德裔美国科学家，现代物理学的开创者和奠基人。爱因斯坦1900年毕业于苏黎士工业大学，1909年开始在大学任教，1914年任威廉皇家物理研究所所长兼柏林大学教授。后被迫移居美国，1940年入美国籍。十九世纪末期是物理学的变革时期，爱因斯坦从实验事实出发，从新考查了物理学的基本概念，在理论上作出了根本性的突破。他的一些成就大大推动了天文学的发展。他的量子理论对天体物理学、特别是理论天体物理学都有很大的影响。理论天体物理学的第一个成熟的方面-恒星大气理论，就是在量子理论和辐射理论的基础上建立起来的。爱因斯坦的狭义相对论成功地揭示了能量与质量之间的关系，解决了长期存在的恒星能源来源的难题。近年来发现越来越多的高能物理现象，狭义相对论已成为解释这种现象的一种最基本的理论工具。其广义相对论也解决了一个天文学上多年的不解之谜，并推断出后来被验证了的光线弯曲现象，还成为后来许多天文概念的理论基础。爱因斯坦对天文学最大的贡献莫过于他的宇宙学理论。他创立了相对论宇宙学，建立了静态有限无边的自洽的动力学宇宙模型，并引进了宇宙学原理、弯曲空间等新概念，大大推动了现代天文学的发展。（3）康普顿（Compton）效应1922年，康普顿发现被原子中电子散射后的X射线的波长大于入射时的波长，并且波长的改变随散射角的增大而增大。由能量守恒： 和动量守恒：式中的为电子静止质量。解方程(1.7),(1.8)可得综上所述，可以看出在微观世界中的作用与地位。在宏观现象中。H和其它物理量相比可以略去，量子现象无法体现，因此凡是h在其中起重要作用的现象都可以成为量子现象。同时可以看到，人们对光的本性的认识的不全面，即光应具有波动性和粒子性的两重性。作业：P.16, 1.2、1.3第三讲：原子结构的玻尔理论（1学时）一、氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律可以归纳为以下三点：1、光谱是线状的，谱线有一定的位置。这就是说，谱线有确定的波长值，而且是彼此分立的。2、谱线间有一定的关系，例如谱线构成一个谱线系，它们的波长可以用一个公式表达出来，即式中对于每一个构成一个谱线系。不同系的谱线有些也有关系，例如有共同的光谱项。3、每一谱线的波数都可以表达为二光谱项之差，。二、玻尔的氢原子理论1、原子只能较长久地停留在一些稳定状态（简称为定态）。原子在这些状态时，不发出或吸收能量；各定态有一定的能量，其数值是彼此分隔的。原子的能量不论通过什么方式发生改变，这只能使原子从一个定态跃迁到另一个定态。2、原子从一个定态跃迁到另一个定态而发射或吸收辐射时，辐射的频率是一定的。如果用E1和E2代表有关两定态的能量，辐射的频率取决于如下关系：式中，h是普朗克常数。 这里第一条是关于原子的量子化的定态的陈述。第二条是辐射的频率法则。这些规律不仅对一切原子是正确的，而且对于其他微观客体也是适用的，因而是重要的普遍规律，量子化是微观世界的基本性质。三、玻尔理论的成就和局限性 玻尔理论第一次把光谱的事实纳入一个理论体系中，在原子核式模型的基础上进一步提出了一个动态的原子结构轮廓。这个理论指出经典物理的规律不能完全适用于原子内部，提出了微观体系特有的量子规律。这个理论承前启后，是原子物理学中的一个重要进展。 玻尔理论虽然有很大的成就，居重要地位，但也有很大的局限性。这理论只能计算氢原子和类氢离子的光谱频率。对于稍复杂一些的原子，这理论不能算出能级和光谱的频率，玻尔理论还不包括对光谱线强度的处理。 玻尔理论的问题在于理论结构本身。这理论作了一些在经典规律中所没有的假设，如定态假设、频率假设等。但这理论又是建立在经典力学基础之上的。而引进量子条件又没有理论依据。玻尔理论是经典理论和量子条件并放在一起的一个结构，缺乏逻辑的一致性。 更完整的，更准确的，应用面更广的关于原子的理论是1925年发表的一个新的理论体系-量子力学。作业：P.16, 1.5第四讲：微观粒子的波粒二象性（1学时）一、德布罗意（de Broglie）假设 具有确定动量和确定能量的自由粒子，相当于频率为和波长为的平面波，二者之间的关系如同光子与光波的关系一样，有上式被称为德布罗意关系式。 二、自由粒子平面波 1、由于自由粒子、不变，故、也不变，为平面波。 2、用波函数：表示频率为、波长为，沿x方向传播的平面波。若波沿方向传播，则 3、复数形式（通常采用） 4、德布罗意波长对于V伏电压加速的电子，可得 5、德布罗意波长很短：如150V电压加速的电子，；10000V电压加速的电子，其德布罗意波长是。而可见光波长为，可见物质波波长很短，难以发现。 三、德布罗意波的实验验证图5 电子的单缝衍射图 1927年，戴维逊（Dawisson）和革末（Germer）通过电子衍射实验证实了物质波的存在。尔后许多实验都证实了一切微观粒子均具有波动性。法国物理学家德布罗意（Louis Victor De Broglie）量子力学起源于原子结构的研究，玻尔、德布罗意、海森伯、薛定谔、狄拉克等人对其建立分别作出了杰出的贡献。 1923年，当旧量子论面临困境时，法国物理学家路易德布罗意（Louis Victor De Broglie, 18921987）在权威的英国哲学研究杂志上发表论文，提出了物质波的概念和理论，把量子论发展到一个新的高度。 德布罗意本来是学历史的，他的哥哥是研究X射线的著名物理学家。受兄长的影响，德布罗意大学毕业之后改学物理，1924年获理学博士学位，并与兄长一起研究X射线的波动性与粒子性问题。德布罗意在长期思考后，突然意识到爱因斯坦的光量子理论应该推广到一切物质粒子、特别是电子。1923年910月，他连续发表3篇论文，提出了电子也是一种波的理论。他还预言，电子束穿过小孔时也会发生衍射现象。1924年，他写出博士论文关于量子理论的研究，更系统地阐述了物质波理论，爱因斯坦对此十分赞赏。不久，实验物理学家真的观测到了电子的衍射现象，证实了他的理论是完全正确的。1929年，德布罗意被授予诺贝尔物理学奖。作业：补充题1 求下列各自由粒子的德布罗意波长(1).被100V电压所加速的电子；(2).被100V电压所加速的质子；(3).能量为100电子伏特，质量为1克的质点。 补充题2 一个具有5MeV能量的粒子穿过原子时，可否用经典力学来处理？设枪弹的质量为，飞行速度为，求其德布罗意波长，并讨论有无必要用量子力学处理。第五讲：第一章内容小结（1学时）1、经典物理的困难黑体辐射，光电效应，原子光谱线系2、旧量子论普朗克能量子论爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；光电效应的规律爱因斯坦公式 光子能量动量关系玻尔的原子理论定态的假设、频率条件量子化条件3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。4、量子力学的建立物质波薛定谔方程非相对论量子力学相对论量子力学量子场论 第二章 波函数和薛定谔方程这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1. 二个基本假设：A 微观粒子行为由波函数描述，波函数具有统计意义。B 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题：C 一维无限深势阱D 一维谐振子E 势垒贯穿（隧道效应）2.1 波函数统计解释微观粒子既然有波动性，类似经典波，应用波函数来描述。经典平面机械波与电磁波的波函数为：y表示振动位移或电磁场（E，B）。 微观粒子的波函数应表示什么物理量？比如德布罗意波函数：,=?开始有几种解释观点： 观点一：波函数代表粒子疏密波，波函数表示 疏密程度。这与电子干涉实验不符。 观点二：一个粒子本身是一个波包，波函数表示一个波包。但波包在传播过程中会扩散，也与电子双缝干涉实验不符。波函数的合理的物理解释是1927年由玻恩提出： 波函数（r,t）的模平方与此粒子在t时刻在r处单位体积内出现的几率成正比。（P18倒6） 以电子双缝干涉实验加以说明。 所以，微观粒子波函数描述的是几率波。微观粒子波粒二象性的统一： 粒子本身仍为粒子，不是波， 但粒子的行为是一种几率波。（玻恩因此获诺贝尔物理奖）二波函数归一化1 相差一个常数的二个波函数是描述同一粒子行为（或状态，或量子态）。2 为了统一，规定波函数模平方在整个空间积分为1-称波函数归一化。波函数归一化如何归一化？说明：A。归一化波函数仍有一个相因子不确定。 B有些波函数不能按上面方式归一化。 如德布罗意波函数，积分无穷大。 C波函数统计解释是一种基本假设。至今仍有争论。（见p245）2.2 态迭加原理态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。一 态迭加原理经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波1与2线性相加，=a1+b2, 相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果1与2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加态 =c11+c22，（c1 、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。 以双缝干涉为例说明。推广到任意多态的一般态迭加原理：（P23第二段）。如果1、2、3是体系可能的状态，则它们的线性迭加态=c11+c22+ c33=cii也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态时，体系部分处在1态、也部分处在2态，等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态i。二一个结论：任意一个波函数（r,t）都可以看成是各种不同动量的平面波的迭加。 数学表示式：其中，是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的富叶立展开。 一维情况见(2.2-10)与(2.2-11)式。2.3 薛定谔方程薛定谔方程是1926年由奥地利物理学家薛定谔提出。薛定谔方程是量子力学中最重要的一个方程，它在量子力学中地位如同牛顿方程在经典力学中的地位一样。这一节先对薛定谔方程作一个初步介绍，在以后章节的学习中可以进一步加深对它的理解与掌握它的应用。一 薛定谔方程（单粒子情况）当一个粒子在势场（或势能）V（r,t）中运动，其波函数（r,t）应满足如下方程： 叫薛定谔方程。2：拉普拉斯算符，在直角坐标下的形式为：势场V（r,t）依具体问题而定，如弹簧振子，其势场V（x）(1/2)m2x2, 其薛定谔方程为（一维）：这是一个线性偏微方程。为了加深对薛定谔方程理解，下面讲讲薛定谔方程的建立。先讲自由粒子波函数应满足什么样方程，再推广到一般的情况应满足的方程。二 薛定谔方程建立1 自由粒子波函数应满足的方程自由粒子所处的势场V0，其波函数已知：应满足方程： 引入算符：按如下方法，就可得自由粒子的薛定谔方程：A 写出自由粒子能量公式：EP2/2m.B 将能量公式变为算符公式:.C 将算符公式同时作用在自由粒子波函数上，这样就得到自由粒子的薛定谔方程。2 按上述方法，就可以推广到势场非零的一般的薛定谔方程。说明几点：A 薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。B 薛定谔方程是线性方程。C 自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。D 薛定谔方程是非相对论的方程。三 多粒子的薛定谔方程按上述方法同样得到:A. 写出多粒子体系的能量 B. 将能量公式变为算符公式: C. 将算符公式同时作用在多粒子波函数(r1,r2,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律（或几率流密度和几率守恒定律） 本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。 设已归一化，q为单粒子的电荷，则=几率密度(w)；dV= dV的几率；q=电荷密度()；qdV=dV的电荷。几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。J公式=？ 先介绍几率的连续方程一 几率的连续方程与几率流密度 已知电荷有连续方程：其中，电荷密度, 电流密度若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度J，这个方程也就是几率的连续方程。下面推导这个公式，得 定义：几率流密度J= 得几率的连续方程：二 几率守恒定律 对几率的连续方程：两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得 表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。 对束缚态（r时，0），让V，则 （J=0）， ，得， 束缚态中粒子在整个空间出现几率不随时间而变。 三 质量、电荷守恒定律1 mW：质量密度，mJ：质量流密度。 ，质量守恒定律2 qW：电荷密度，qJ：电流密度。 ，电荷守恒定律四 波函数标准条件：连续，单值，有限。 单值与有限，由波函数的统计含义所确定， 连续，由几率的连续方程所确定。另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。2.5 定态薛定谔方程一 定态薛定谔方程 条件：V（r,t）=V(r)， 与t无关。用分离变量法, 令=(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：，求解得 ，此称定态薛定谔方程整个定态波函数形式：特点：A. 波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；B时间部分函数是确定的，为： 定态波函数几率密度W=，与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。二 本征方程、本征函数与本征值算符本征方程：本征值，有多个，甚至无穷多个。：本征值为的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。 上述用分离变量得到两个方程都是本征方程： （1）。 ，或，其中 ，（2）。或 其中 称为定态哈密顿算符。定态薛定谔方程就是的本征方程。 薛定谔方程就可简写成： 三 定态情况下（即V（r）与t无关）的薛定谔方程一般解设定态薛定谔方程的本征值为En, 本征函数为 ，定态波函数为 ，它是定态情况下的薛定谔方程：的一个解。 定态情况下的薛定谔方程的一般解，是所有定态波函数n的线性迭加： 2.6 一维无限深势阱一 微分方程 的三种形式解。这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：a. b. c. 依方便,随取一种形式的解.二. 一维无限深势阱求解V(x) x -a 0 a1. 一维无限深势阱一个粒子处在这样势阱内,其质量为.具体例子: 金属中电子可以看成处在有限深势阱内.2. 一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.这是定态问题, 只需解出定态波函数n与定态能量En即可.定态薛定谔方程:分区求解, 再利用波函数连续条件,求出各个系数,本征波函数与能量本征值.定态波函数: n=偶数；或者， n=奇数。可合并为一个式子:由归一化定出,为总定态波函数为:能量本征值, n=1,2,3,3. 波函数与几率分布图(P37图8, 图9) -a 0 a -a 0 a 图 8 图 9 每一态n可看成向x方向传播与向-x方向传播的二列平面波合成的驻波。 利用驻波条件也可得量子化能量公式。驻波条件：2a=n/2, n=1,2,3, 得=4a/n. E=p2/2=h2/(22)=22n2/(8a2),n=1,2,3,.4. 势阱坐标不同时的波函数与能量A 势阱从02a. 波函数（空间部分）为能量公式不变。B 势阱从0a. 波函数（空间部分）为能量 （此即书上52页习题2.3解。今后通常都用B的势阱坐标，故其波函数与能量要用B的波函数与能量）。三 宇称a) 空间反演算符定义：将的操作叫空间反演算符。即： b) 宇称定义： 若，则称波函数（r,t）具有宇称。在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。c) 若一维势能是对称的，即V（x）=V(-x), 则其波函数一定具有宇称（见P52习题2.6）。例如，一维无限深势阱，势阱坐标为-aa, 势能是对称的，则其波函数具有宇称， n=偶数，奇宇称； n=奇数，偶宇称。宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，从而获诺贝尔物理奖。2.7 线性谐振子 什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论。经典谐振子：能量：E=, 势能=量子能量：E=(n+1/2)h,n=0,1,2,.一 线性谐振子的定态薛定谔方程势能V（x）=与t无关，是定态问题。定态薛定谔方程：A 先作简化，引入无量纲变量=x, =, 令=2E/。定态薛定谔方程简化为： 二求解 思路：先求在时的渐近解形式，再在渐近解基础上提出一般解的形式，再求解。 1求时的渐近解形式2一般解的形式：， 代入原方程，得H（）应满足的方程： ，这是厄米方程，要有合理的解，必须=2n+1, n=0,1,其解为：，称厄米多项式。厄米方程求解过程见P248附录2。 波函数为：归一化系数: Nn=厄米多项式A 前几个厄米多项式见P41。B 迭推公式： ， 由得：由得： 能量： 由=2n+1与=2E/得： En=(n+1/2)h,n=0,1,2,. 当n=0时，E0=（1/2）h，称为零点能。即使在绝对零度下，零点能还要存在，这是量子效应，已被许多实验所证实。这是经典物理所没有的。小结：a.线性谐振子的定态薛定谔方程： 其中，哈密顿算符。 b.波函数：n=0,1,2,. 整个波函数： 能量： 三 谐振子的几率分布 前6个波函数的曲线见P42图12； 前6个波函数模平方的曲线见P43图13。 说明：1.图13上竖虚线表示与量子能量相当的经典谐振子的振幅处。A= 2与经典谐振子几率分布比较经典谐振子几率：，其曲线就是图13中的U型虚线。 结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。 2从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。2.8 势垒贯穿势垒贯穿能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。经典物理无法理解势垒贯穿。ETV，TEV0，不可能。本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。一 一维方势垒二 求解仅求EU0解分三个区：1区:xa. 1区: , 令，得： 看成是入射波，看成是反射波。2区: , 令，得：3区: , ，得： 看成是透射波，也应是反射波，但在3区不可能有反射波，故。这样，5个系数A、A、B、B、C, 要确定。这由波函数与其一阶导数分别在x=0与x=a连续以及归一化条件的5个关系式确定。波函数与其一阶导数在x=0连续得：A+A=B+Bik1(A-A)=k2(B-B)波函数与其一阶导数在x=a连续得： 由上述四个等式可得如下四个关系式： 见(2.8-16)(注：书上(2.8-11)式是EU0的情况下获得的，其中，若将k2变为,就可得E1. 则 D0为常数，一般取1。这是最后势垒贯穿几率公式。 对任意形状的势垒(见图17)，势垒贯穿几率公式推广为：第三章 量子力学中的力学量3.1 表示力学量的算符一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 表示把函数u变成 v， 就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“”号。但在不会引起误解的地方，也常把“”略去。二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符，称为线性算符 其中c1, c2是任意复常数，y1, y2是任意两个波函数。例如：动量算符，单位算符I是线性算符。2、算符相等若两个算符、对体系的任何波函数y的运算结果都相同，即，则算符和算符相等记为。3、算符之和 若两个算符、对体系的任何波函数y有：，则称为算符之和。 ，4、算符之积 算符与之积，记为，定义为y是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即。5、对易关系若，则称与不对易。若，则称与对易。若算符满足， 则称和反对易。例如：算符x, 不对易证明：(1) (2) 显然二者结果不相等，所以： 因为y是体系的任意波函数，所以 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ，但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ， ， ，写成通式(概括起来)： (1) 其中或量子力学中最基本的对易关系。注意：当与对易，与对易，不能推知与对易与否。6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： 不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1) 2) 3) ，4) 称为 Jacobi 恒等式。角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符在直角坐标中的三个分量可表示为 ， （要求会证明） 是角动量算符的定义式。 式中eabg称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下： 其中或证明：或 或 (2)在球坐标系中角动量算符的对易关系 只与q,j 有关，与r 无关，而且只与j 有关。 或 其中，可称为径向动量算符。 (3)角动量升降阶算符(I) 定义，显然有如下性质， 这两个算符不是厄密算符。(II) 对易关系， ，7、逆算符(1). 定义: 设y=f, 能够唯一的解出y， 则可定义算符之逆-1为: (2).性质I: 若算符之逆-1存在，则, (3).性质II: 若,均存在逆算符, 则 8、算符函数设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛 则可定义算符的函数F()为: 补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) y与j的“标积” 是指对体系的全部空间坐标进行积分，dt是坐标空间体积元。例如 对于一维粒子： 对于三维粒子：可以证明 9、转置算符 算符的转置算符定义为即 式中y和j是两个任意波函数。例如：（证明）可以证明：10、复共轭算符算符的复共轭算符*就是把表达式中的所有量换成其复共轭。但应注意，算符的表达式与表象有关。11、厄米共轭算符 算符之厄米共轭算符+定义为： 或 厄密共轭算符亦可写成： 可以证明: 12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符. 或 (2). 性质性质 I：两个厄密算符之和仍是厄密算符。性质 II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。 三、算符的本征方程 如果算符作用于函数y的结果，等于某一常数l乘以y，即 (2)那么称l为算符的本征值，y为算符的属于本征值l的本征函数。方程(2)称为算符的本征方程。3.2 动量算符和角动量算符一、动量算符 1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程 ，即采用分离变量法，令：代入动量本征方程 (1)可取任意实数值，即动量算符的本征值组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的，这正是自由粒子的de Broglie波的空间部分波函数。(2).归一化系数的确定 、归一化为 d 函数取，则归一化为函数， (2) （3）一维情况：、箱归一化P70-72（略去不讲）箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为d函数方法对任何连续谱都适用。二、角动量算符1、角动量算符的形式(1)、直角坐标系它在直角坐标系中的三个分量是： 角动量平方算符 (2)、球坐标利用上述变换关系可以得到在球坐标中的表示式是 只与q,j 有关，与r 无关，而且只与j 有关。2、的本征值和本征函数 为了求出的本征值lz和本征函数y(j)，我们解下列本征方程： 的本征值为： 式中的m习惯上称为磁量子数。 相应本征函数：角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是0, 2, ，而不能是其他的值。3、的本征值和本征函数 设的本征值为，本征函数为Y(q,j)，本征方程为 在球坐标系中，只与q, j有关，所以，则 (6)令，其中Q(q)只是q的函数，y(j)只是j的函数，由(6)式可得 的本征值为l(l+1)2，所属的本征函数为Ylm(q,j)， ；Ylm(q,j) 正交归一条件为：说明：(1)、由上面结果可知的本征值为l(l+1)2，所属的本征函数为Ylm(q,j)， ， 显然，只能取一系列离散值，由于l是表征角动量的大小，所以称l为角量子数。(2)、 Ylm(q,j)即是的本征函数，也是的本征函数，其相应的本征值分别为l(l+1)2，m。即球谐函数Ylm(q,j)是的共同本征态 (3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。的本征值是(2l+1)度简并的。(4)、通常把的态，依次称为态，而把处于这些态的粒子称为粒子。4、平面转子的能量本征值与本征态： 绕z轴转动的平面转子的能量经典表达式为，I为转动惯量，lz为角动量。能量本征方程表为 的本征值为：相应的本征函数为： ，5、空间转子的能量本征值与本征态： 绕一固定点转动的空间转子的能量经典表达式为，I为转动惯量，l为角动量。 的本征值为：相应的本征函数为：， ；例：证明例：证明在lz本征态Ylm下，3.3 厄米算符的本征值与本征函数一、厄米算符的平均值定理I：体系任何状态y下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明）逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明）推论：设为厄米算符，则在任意态y之下 二、厄米算符的本征方程1、涨落 涨落定义为证明2、力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量A所得结果是唯一确定的，即： 则称这种状态为力学量A的本征态。 或 可把常数记为An，把状态记为yn，于是得： (1)其中An,yn分别称为算符的本征值和相应的本征态，式(1)即算符的本征方程。定理II：厄米算符的本征值必为实。（证明）三、量子力学中的力学量用线性厄米算符表示1、表示力学量的算符必为线性算符；2、表示力学量的算符必为厄密算符。例1： （为实数）例2： 例3：证明为厄密算符综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。3、力学量算符和力学量之间的关系测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符的本征