(2011备考)05-10全国卷高考数学真题.doc

曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 2005 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国卷理科数学 全国卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 到 10 页 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答第 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 3 本卷共 本卷共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 的 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球是表面积公式 BPAPBAP 2 4 RS 如果事件 A 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 BPAPBAP 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 3 3 4 RV n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 一一 选择题选择题 1 函数 f x sin x cos x 的最小正周期是 A B C D 2 4 2 2 正方体 ABCD A1 B1 C1 D1中 P Q R 分别是 AB AD B1 C1的中点 那么正方体的过 P Q R 的截面图形是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 3 函数 Y 1 X 0 的反函数是 32 x A Y X 1 B Y X 1 3 1 x 3 1 x C Y X 0 D Y X 0 3 1 x 3 1 x 4 已知函数 Y tan 在 内是减函数 则 x 2 2 A 0 1 B 1 0 则 M N 为 2 x 2 x A x 4 x 2 或 3 x 7 B x 4 x 2 或 3 x 3 D x x B D 5481 aaaa 81 a a 54 a a 12 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里 这个正四面体的高的最小值为 A B 2 C 4 D 3 623 3 62 3 62 3 6234 第第 卷卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 13 圆心为 1 2 且与直线 5x 12y 7 0 相切的圆的方程为 14 设 a 为第四象限的角 若 则 tan 2a 5 13 sin 3sin a a 15 在由数字 0 1 2 3 4 5 所组成的没有重复数字的四位数中 不能被 5 整除的数共有 个 16 下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设函数 x 求使 x 的的 x 取值范围 1 1 2 xx 22 18 本小题满分 12 分 已知 是各项均为正数等差数列 1g 1g 1g成等差数列 又 n a 1 a 2 a 4 a n b n 1 2 3 n a2 1 证明 为等比数列 n b 如果无穷等于比数列 各项的和 s 求数列 的首项 和公差 n b 3 1 n a 1 ad 注 无穷数列各项的和即当 n 时数列前 n 项和的极限 19 本小题满分 12 分 甲 乙两队进行一场排球比赛 根据以往经验 单局比赛甲队胜乙队的概 为 0 6 本场比赛采用五局三胜制 既先胜三局的队获胜 比赛结束 设各局比赛相互间没有影响 令为 本场比赛的局数 求的概率分布和数学期望 精确到 0 0001 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 20 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PD 底面 ABCD AD PD E F 分别为 CD PB 的中点 1 求证 EF 平面 PAB 2 设 AB 求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小 BC2 21 本小题满分 14 分 P Q M N 四点都在椭圆上 F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 1 2 2 2 y x 已知与 共线 与共线 且 0 求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大PFPQMFFNPFMF 值 22 本小题 12 分 已知 a 0 函数 f x 2ax 2 x x e 1 当 X 为何值时 f x 取得最小值 证明你的结论 2 设 f x 在 1 1 上是单调函数 求 a 的取值范围 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 2005 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修 选修 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 二 填空二 填空 13 x 1 2 y 2 2 4 14 15 384 16 4 3 三 解答题 17 解 f x 2 x 1 x 1 2 2 即 3 2 2 x 1 x 1 3 2 当 x 1 时 原不等式化为 2 舍 3 2 当 11 时 原不等式化为 2 3 2 此时 x 1 故原不等式的解集为 x x 3 4 18 证明 设 an 中首项为 a1 公差为 d lga1 lga2 lga4成等差数列 2lga2 lga1 lga4 a22 a1 a4 题号题号123456789101112 答案答案CDABCCADACBC 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 即 a1 d 2 a1 a1 3d d 0 或 d a1 当 d 0 时 an a1 bn 为等比数列 1 2 11 n aa 1 1 n n b b n b 当 d a1时 an na1 bn 为等比数列 1 2 11 2 n n aa 1 1 2 n n b b n b 综上可知为等比数列 n b 无穷等比数列 bn 各项的和 1 3 S q 0 x1 x2 2 11aa 2 11aa 又 当 x 时 0 2 11aa fx 当 x 时 0 2 11aa fx x1 x2分别为 f x 的极大值与极小值点 又 当时 lim 0 x f x x f x 而 f 1 即 a 2 时 g x min g 1 3 4a 0 a 舍 3 4 当 g x 0 在 1 1 上恒成立时 有 当 1 a 1 0 即 0 a 1 时 g x max g 1 3 4a 0 a 1 3 4 当 0 a 1 1 即 1 a 2 时 g x max g 1 1 0 1 a 2 当 1 2 时 g x max g 1 1 0 a 2 故 a 3 4 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 全国 II 卷 数学 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 至 页 第 卷 至 页 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 注意事项 答题前 考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名 准考号填写清楚 并贴好条形码 请认 真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 每小题选出答案后 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 本卷共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 参考公式 如果事件 互斥 那么 P ABP AP B 如果事件 相互独立 那么 P ABP A P B 如果事件 在一次试验中发生的概率是 那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是 1 kkn k nn P kC PP 一 选择题 1 已知集合 2 3 log1Mx xNxx 则M N A B 03xx C 13xx D 23xx 2 函数 sin2 cos2yxx 的最小正周期是 A 2 B 4 C 4 D 2 3 2 3 1 i A 3 2 i B 3 2 i C i D i 4 过球的一条半径的中点 作垂直于该半径的平面 则所得截面的面积与球的表面积的比为 A 3 16 B 9 16 C 3 8 D 9 32 球的表面积公式 2 4SR 其中 表示球的半径 球的体积公式 3 4 3 VR 其中 表示球的半径 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 5 已知 ABC 的顶点 B C 在椭圆 2 2 1 3 x y 上 顶点 A 是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外一个焦 点在 BC 边上 则 ABC 的周长是 A 2 3 B 6 C 4 3 D 12 6 函数 ln1 0 yxx 的反函数为 A 1 x yexR B 1 x yexR C 1 1 x yex D 1 1 x yex 7 如图 平面 平面 ABAB 与两平面 所成的角分别为 4 和6 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 A B 则 AB A B A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 4 3 8 函数 yf x 的图像与函数 2 log 0 g xx x 的图像关于原点对称 则 f x 的表达式为 A 2 1 0 log f xx x B 2 1 0 log f xx x C 2 log 0 f xx x D 2 log 0 f xx x 9 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线方程为 4 3 yx 则双曲线的离心率为 A 5 3 B 4 3 C 5 4 D 3 2 10 若 sin 3cos2 fxx 则 cos fx A 3 cos2x B 3 sin2x C 3 cos2x D 3 sin2x 11 设 n S 是等差数列 n a 的前n项和 若 3 6 1 3 S S 则 6 12 S S A 3 10 B 1 3 C 1 8 D 1 9 12 函数 19 1 n f xxn 的最小值为 A B A B 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 A 190 B 171 C 90 D 45 第 II 卷 二 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 把答案填在横线上 13 在 410 1 x x 的展开式中常数项是 用数字作答 14 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 1 4 ABBC 则边 BC 上的中线 AD 的长为 15 过点 1 2 的直线l将圆 22 2 4xy 分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 直线l的斜 率 k 16 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人 并根据所得数据画了样本的频率分布直 方图 如下图 为了分析居民的收入与年龄 学历 职业等方面的关系 要从这 10000 人中再用分层抽 样方法抽出 100 人作进一步调查 则在 2500 3000 元 月收入段应抽出 人 0 0005 3000 3500 0 0003 0 0004 20001500 0 0002 0 0001 400025001000 元 元 元 元元 元 元 元 元 元 三 解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 分 已知向量 sin 1 1 cos 22 ab I 若 ab 求 II 求 ab 的最大值 18 本小题满分 分 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取出 3 箱 再从 每箱中任意出取 2 件产品进行检验 设取出的第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为 一等品 I 用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数 求 的分布列及 的数学期望 II 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批产品被用户拒绝 的概率 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 19 本小题满分 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 ABBC D E分别为 1 BB 1 AC 的中点 I 证明 ED 为异面直线 1 BB 与 1 AC 的公垂线 II 设 1 2 AAACAB 求二面角 11 AADC 的大小 20 本小题 分 设函数 1 ln 1 f xxx 若对所有的 0 x 都有 f xax 成立 求实数 a的取值范围 21 本小题满分为 分 已知抛物线 2 4xy 的焦点为 F A B 是抛物线上的两动点 且 0 AFFB 过 A B 两点分别作抛物线的切线 设其交点为 M B A C C1 B1 A1 D E 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 I 证明 FM AB 为定值 II 设 ABM 的面积为 S 写出 Sf 的表达式 并求 S 的最小值 22 本小题满分 分 设数列 n a 的前n项和为 n S 且方程 2 0 nn xa xa 有一根为 1 1 2 3 n Sn I 求 12 a a II 求 n a 的通项公式 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 全国 II 卷 理科数学试题 必修 选修理科数学试题 必修 选修 参考答案和评分参考 参考答案和评分参考 一 选择题 D D A A C B A D A C A C 二 填空题 45 25 3 2 2 三 解答题 17 解 若 a b 则 sin cos 0 2 分 由此得 tan 1 所以 4 分 2 2 4 由 a sin 1 b 1 cos 得 a b sin 1 1 cos 3 2 sin cos 10 分 3 2 2sin f 4 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 当 sin 1 时 a b 取得最大值 即当 时 a b 最大值为 1 12 分 4 42 18 解 可能的取值为 0 1 2 3 P 0 C C C C 18 100 9 50 P 1 C C C C C C C C C 12 25 P 2 C C C C C C C C C 15 50 P 3 8 分 C C C C 1 25 的分布列为 0123 P 9 50 12 25 15 50 1 25 数学期望为 E 1 2 所求的概率为 p P 2 P 2 P 3 12 分 15 50 1 25 17 50 19 解法一 设 O 为 AC 中点 连接 EO BO 则 EOC1C 又 C1CB1B 所以 EODB EOBD 为 1 2 平行四边形 ED OB 2 分 AB BC BO AC 又平面 ABC 平面 ACC1A1 BO 面 ABC 故 BO 平面 ACC1A1 ED 平面 ACC1A1 BD AC1 ED CC1 ED BB1 ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线 6 分 连接 A1E 由 AA1 AC AB 可知 A1ACC1为正方形 2 A1E AC1 又由 ED 平面 ACC1A1和 ED 平面 ADC1知平面 ADC1 平面 A1ACC1 A1E 平面 ADC1 作 EF AD 垂足为 F 连接 A1F 则 A1F AD A1FE 为 二面角 A1 AD C1的平面角 不妨设 AA1 2 则 AC 2 AB ED OB 1 EF 2 AE ED AD 2 3 tan A1FE A1FE 60 3 所以二面角 A1 AD C1为 60 12 分 解法二 如图 建立直角坐标系 O xyz 其中原点 O 为 AC 的中点 设 A a 0 0 B 0 b 0 B1 0 b 2c 则 C a 0 0 C1 a 0 2c E 0 0 c D 0 b c 3 分 0 b 0 0 0 2c ED BB 1 0 ED BB1 EDBB 1 又 2a 0 2c AC 1 0 ED AC1 6 分 EDAC 1 所以 ED 是异面直线 BB1与 AC1的公垂线 不妨设 A 1 0 0 则 B 0 1 0 C 1 0 0 A1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 0 2 BCAB AA 1 A BC D E A1 B1 C1 O F A B C D E A1 B1 C1 O z x y 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 0 0 即 BC AB BC AA1 又 AB AA1 A BC ABBCAA 1 BC 平面 A1AD 又 E 0 0 1 D 0 1 1 C 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ECAEED 0 0 即 EC AE EC ED 又 AE ED E EC AEEC ED EC 面 C1AD 10 分 cos 即得和的夹角为 60 ECBC 1 2ECBC 所以二面角 A1 AD C1为 60 12 分 20 解法一 令 g x x 1 ln x 1 ax 对函数 g x 求导数 g x ln x 1 1 a 令 g x 0 解得x ea 1 1 5 分 i 当 a 1 时 对所有 x 0 g x 0 所以 g x 在 0 上是增函数 又 g 0 0 所以对 x 0 都有 g x g 0 即当 a 1 时 对于所有 x 0 都有 f x ax 9 分 ii 当 a 1 时 对于 0 x ea 1 1 g x 0 所以 g x 在 0 ea 1 1 是减函数 又 g 0 0 所以对 0 x ea 1 1 都有 g x g 0 即当 a 1 时 不是对所有的 x 0 都有 f x ax 成立 综上 a 的取值范围是 1 12 分 解法二 令 g x x 1 ln x 1 ax 于是不等式 f x ax 成立即为 g x g 0 成立 3 分 对函数 g x 求导数 g x ln x 1 1 a 令 g x 0 解得 x ea 1 1 6 分 当 x ea 1 1 时 g x 0 g x 为增函数 当 1 x ea 1 1 g x 0 g x 为减函数 9 分 所以要对所有 x 0 都有 g x g 0 充要条件为 ea 1 1 0 由此得 a 1 即 a 的取值范围是 1 12 分 21 解 由已知条件 得 F 0 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由 AFFB 即得 x1 1 y x2 y2 1 x 1 x 2 1 y 1 y S do 2 1 将 式两边平方并把 y1 x12 y2 x22代入得 y1 2y2 1 4 1 4 解 式得 y1 y2 且有 x1x2 x22 4 y2 4 1 抛物线方程为 y x2 求导得 y x 1 4 1 2 所以过抛物线上 A B 两点的切线方程分别是 y x1 x x1 y1 y x2 x x2 y2 1 2 1 2 即 y x1x x12 y x2x x22 1 2 1 4 1 2 1 4 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 解出两条切线的交点 M 的坐标为 1 4 分 x 1 x 2 2 x 1x 2 4 x 1 x 2 2 所以 2 x2 x1 y2 y1 x22 x12 2 x22 x12 0 FM AB x 1 x 2 2 1 2 1 4 1 4 所以 为定值 其值为 0 7 分 FM AB 由 知在 ABM 中 FM AB 因而 S AB FM 1 2 FM f x S do 1 x S do 2 2 2 1 4x 1 1 4x 2 1 2x 1x 2 4 y 1 y 2 1 2 4 4 1 2 1 因为 AF BF 分别等于 A B 到抛物线准线 y 1 的距离 所以 AB AF BF y1 y2 2 2 2 1 1 于是 S AB FM 3 1 2 1 由 2 知 S 4 且当 1 时 S 取得最小值 4 1 22 解 当 n 1 时 x2 a1x a1 0 有一根为 S1 1 a1 1 于是 a1 1 2 a1 a1 1 a1 0 解得 a1 1 2 当 n 2 时 x2 a2x a2 0 有一根为 S2 1 a2 1 2 于是 a2 2 a2 a2 a2 0 解得 a1 1 2 1 2 1 6 由题设 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 即 Sn2 2Sn 1 anSn 0 当 n 2 时 an Sn Sn 1 代入上式得 Sn 1Sn 2Sn 1 0 由 知 S1 a1 S2 a1 a2 1 2 1 2 1 6 2 3 由 可得 S3 3 4 由此猜想 Sn n 1 2 3 8 分 n n 1 下面用数学归纳法证明这个结论 i n 1 时已知结论成立 ii 假设 n k 时结论成立 即 Sk k k 1 当 n k 1 时 由 得 Sk 1 即 Sk 1 1 2 S k k 1 k 2 故 n k 1 时结论也成立 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 综上 由 i ii 可知 Sn 对所有正整数 n 都成立 10 分 n n 1 于是当 n 2 时 an Sn Sn 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 又 n 1 时 a1 所以 1 2 1 1 2 an 的通项公式 an n 1 2 3 12 分 n n 1 2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 全国卷 理科数学理科数学 必修 必修 选修选修 本试题卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 4 页 总分 150 分 考试时间 120 第第 卷 选择题 卷 选择题 本卷共本卷共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么 球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么 其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么 Ap 3 4 3 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR 1 012 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 sin210 A B C D 3 2 3 2 1 2 1 2 2 函数的一个单调增区间是 sinyx A B C D 3 3 2 3 设复数满足 则 z 12i i z z A B C D 2i 2i 2i 2i 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 4 下列四个数中最大的是 A B C D 2 ln2 ln ln2 ln2ln2 5 在中 已知是边上一点 若 则 ABC DAB 1 2 3 ADDBCDCACB A B C D 2 3 1 3 1 3 2 3 6 不等式的解集是 2 1 0 4 x x A B C D 21 2 21 2 2 1 7 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等 则与侧面所成角的正弦值等于 111 ABCABC 1 AB 11 ACC A A B C D 6 4 10 4 2 2 3 2 8 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 2 3ln 4 x yx 1 2 A 3B 2C 1D 1 2 9 把函数的图像按向量平移 得到的图像 则 exy 2 3 a yf x f x A B C D 3 e2 x 3 e2 x 2 e3 x 2 e3 x 10 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有 A 40 种B 60 种C 100 种D 120 种 11 设分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 使且 12 FF 22 22 xy ab A 12 90F AF 则双曲线的离心率为 12 3AFAF A B C D 5 2 10 2 15 2 5 12 设为抛物线的焦点 为该抛物线上三点 若 则F 2 4yx ABC FAFBFC 0 FAFBFC A 9B 6C 4D 3 第第 卷 非选择题 卷 非选择题 本卷共本卷共 10 题 共题 共 90 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 13 的展开式中常数项为 用数字作答 8 2 1 12 xx x 14 在某项测量中 测量结果服从正态分布 若在内取值的概率为 0 4 则 2 1 0 N 01 在内取值的概率为 0 2 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm 那么该棱 柱的表面积为 cm 2 16 已知数列的通项 其前项和为 则 52 n an n n S 2 lim n n S n 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 在中 已知内角 边 设内角 周长为 ABC A 2 3BC Bx y 1 求函数的解析式和定义域 2 求的最大值 yf x y 18 本小题满分 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设事件 A 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 表示取出的 2 件产品中二等品的件数 求的分布 列 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面为正方形 侧棱底面SABCD ABCDSD 分别为的中点 ABCDEF ABSC 1 证明平面 EF SAD 2 设 求二面角的大小 2SDDC AEFD 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系中 以为圆心的圆与直线相切 xOyO34xy 1 求圆的方程 O 2 圆与轴相交于两点 圆内的动点使成等比数列 求的取值范OxAB PPAPOPB PA PB A 围 21 本小题满分 12 分 设数列的首项 n a 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求的通项公式 n a 2 设 证明 其中为正整数 32 nnn baa 1nn bb n A EB C F S D 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 22 本小题满分 12 分 已知函数 3 f xxx 1 求曲线在点处的切线方程 yf x M tf t 2 设 如果过点可作曲线的三条切线 证明 0a ab yf x abf a 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题 必修理科数学试题 必修 选修选修 参考答案 参考答案 一 选择题一 选择题 1 D2 C3 C4 D5 A6 C 7 A8 A9 C10 B11 B12 B 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 42 0 824 2 5 2 三 解答题三 解答题 17 解 1 的内角和 由得 ABC ABC 00ABC 2 0B 应用正弦定理 知 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A 因为 所以 yABBCAC 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx 2 因为 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx 所以 当 即时 取得最大值 x x y6 3 18 解 1 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 A 表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 1 A 则互斥 且 故 01 AA 01 AAA 01 P AP AA 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 舍去 12 0 20 2pp 2 的可能取值为 012 若该批产品共 100 件 由 1 知其二等品有件 故100 0 220 2 80 2 100 C316 0 C495 P 11 8020 2 100 C C160 1 C495 P 2 20 2 100 C19 2 C495 P 所以的分布列为 012 P 316 495 160 495 19 495 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 19 解法一 1 作交于点 则为的中点 FGDC SDGGSD 连结 又 1 2 AGFGCD CDAB 故为平行四边形 FGAEAEFG 又平面平面 EFAG AG SADEF SAD 所以平面 EF SAD 2 不妨设 则为等2DC 42SDDGADG 腰直角三角形 取中点 连结 则 AGHDHDHAG 又平面 所以 而 AB SADABDH ABAGA 所以面 DH AEF 取中点 连结 则 EFMMHHMEF 连结 则 DMDMEF 故为二面角的平面角DMH AEFD 2 tan2 1 DH DMH HM 所以二面角的大小为 AEFD arctan2 解法二 1 如图 建立空间直角坐标系 Dxyz 设 则 0 0 0 0 A aSb 0 00 B aaCa 00 22 2 aa b E aF 0 2 b EFa 取的中点 则 SD0 0 2 b G 0 2 b AGa 平面平面 EFAGEFAGAG SADEF SAD 所以平面 EF SAD 2 不妨设 则 10 0 A 11 110 010 0 0 2 1001 22 BCSEF 中点EF 1 1 1111 101 0 2 2 2222 MMDEFMD EFMDEF A 又 1 00 2 EA 0EA EFEAEF A 所以向量和的夹角等于二面角的平面角 MD EA AEFD A EB C F S D H G M A A EB C F S D G M y z x 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 3 cos 3 MD EA MD EA MD EA A A 所以二面角的大小为 AEFD 3 arccos 3 20 解 1 依题设 圆的半径等于原点到直线的距离 OrO34xy 即 4 2 1 3 r 得圆的方程为 O 22 4xy 2 不妨设 由即得 1212 0 0 A xB xxx 2 4x 2 0 2 0 AB 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 222222 2 2 xyxyxy A 即 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 由于点在圆内 故 由此得 PO 22 22 4 2 xy xy 2 1y 所以的取值范围为 PA PB A 2 0 21 解 1 由 1 3 2 3 4 2 n n a an 整理得 1 1 1 1 2 nn aa 又 所以是首项为 公比为的等比数列 得 1 10a 1 n a 1 1 a 1 2 1 1 1 1 1 2 n n aa 2 方法一 由 1 可知 故 3 0 2 n a 0 n b 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 那么 22 1nn bb 22 11 2 2 2 32 32 33 32 32 22 9 1 4 nnnn nn nn n n aaaa aa aa a a 又由 1 知且 故 0 n a 1 n a 22 1 0 nn bb 因此为正整数 1nn bbn 方法二 由 1 可知 3 01 2 nn aa 因为 所以 1 3 2 n n a a 111 3 32 2 nn nnn aa baa 由可得 即1 n a 3 3 32 2 n nn a aa 2 2 3 32 2 n nnn a aaa A 两边开平方得 3 32 2 n nnn a aaa A 即为正整数 1nn bbn 22 解 1 求函数的导数 f x 2 31xx f 曲线在点处的切线方程为 yf x M tf t 即 yf tf txt 23 31 2ytxt 2 如果有一条切线过点 则存在 使 ab t 23 31 2btat 于是 若过点可作曲线的三条切线 则方程 ab yf x 32 230tatab 有三个相异的实数根 记 则 32 23g ttatab 2 66g ttat 6 t ta 当 变化时 变化情况如下表 t g tg t t 0 0 0 a a a 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 g t 0 0 g t A极大值ab A 极小值 bf a A 由的单调性 当极大值或极小值时 方程最多有一个实数根 g t0ab 0bf a 0g t 当时 解方程得 即方程只有两个相异的实数根 0ab 0g t 3 0 2 a tt 0g t 当时 解方程得 即方程只有两个相异的实数根 0bf a 0g t 2 a tta 0g t 综上 如果过可作曲线三条切线 即有三个相异的实数根 则 ab yf x 0g t 0 0 ab bf a 即 abf a 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修理科数学 必修 选修选修 本试卷分第本试卷分第 I 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 I 卷卷 1 至至 2 页 第页 第 II 卷卷 3 至至 9 页 考页 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 考生注意 考生注意 1 答题前 考生在答题卡上务必用 答题前 考生在答题卡上务必用 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 填写清楚毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 每小题选出答案后 用 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案标号 后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 本卷共 本卷共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 一 选择题一 选择题 1 函数的定义域为 1 yx xx A B 0 x x 1x x C D 10 x x 01xx 2 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行驶路程看作时s 间 的函数 其图像可能是 t s tO A s tO s tO s tO B C D 3 在中 若点满足 则 ABC AB cAC bD2BDDC AD A B C D 21 33 bc 52 33 cb 21 33 bc 12 33 bc 4 设 且为正实数 则 a R 2 ai i a A 2B 1C 0D 1 5 已知等差数列满足 则它的前 10 项的和 n a 24 4aa 35 10aa 10 S A 138B 135C 95D 23 6 若函数的图像与函数的图像关于直线对称 则 1 yf x ln1yx yx f x A B C D 21x e 2x e 21x e 22x e 7 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 1 1 x y x 3 2 10axy a A 2B C D 1 2 1 2 2 8 为得到函数的图像 只需将函数的图像 cos 2 3 yx sin2yx A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 5 12 5 12 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 9 设奇函数在上为增函数 且 则不等式的解集为 f x 0 1 0f 0 f xfx x 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 A B 10 1 1 01 C D 1 1 10 01 10 若直线通过点 则 1 xy ab cossin M A B C D 22 1ab 22 1ab 22 11 1 ab 22 11 1 ab 11 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面内的射影为的中心 111 ABCABC 1 AABCABC 则与底面所成角的正弦值等于 1 ABABC A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 12 如图 一环形花坛分成四块 现有 4 种不同的花供选种 要求在每块里种 1 种花 且ABCD 相邻的 2 块种不同的花 则不同的种法总数为 A 96B 84C 60D 48 第第 卷卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 13 若满足约束条件则的最大值为 xy 0 30 03 xy xy x 2zxy 14 已知抛物线的焦点是坐标原点 则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积 2 1yax 为 15 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则该椭圆的离心率ABC ABBC 7 cos 18 B AB C e 16 等边三角形与正方形有一公共边 二面角的余弦值为 分ABCABDEABCABD 3 3 MN 别是的中点 则所成角的余弦值等于 ACBC EMAN 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设的内角所对的边长分别为 且ABC ABC abc 3 coscos 5 aBbAc 求的值 求的最大值 tancotABtan AB D B C A 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 18 本小题满分 12 分 四棱锥中 底面为矩形 侧面底面 ABCDE BCDEABC BCDE 2BC 2CD ABAC 证明 设与平面所成的角为 求二面角的大ADCE CEABE45 CADE 小 C D E A B 19 本小题满分 12 分 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 设函数在区间内是减函数 求的取值范 f x f x 21 33 a 围 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 20 本小题满分 12 分 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病 需要通过化验血液来确定患病的动 物 血液化验结果呈阳性的即为患病动物 呈阴性即没患病 下面是两种化验方法 方案甲 逐个化验 直到能确定患病动物为止 方案乙 先任取 3 只 将它们的血液混在一起化验 若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只 然后再逐个化验 直到能确定患病动物为止 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 表示依方案乙所需化验次数 求的期望 21 本小题满分 12 分 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐近线分别为 经过右焦点Ox 12 ll 垂直于的直线分别交于两点 已知成等差数列 且与同向 F 1 l 12 ll AB OAABOB BF FA 求双曲线的离心率 设被双曲线所截得的线段的长为 4 求双曲线的方程 AB 22 本小题满分 12 分 设函数 数列满足 lnf xxxx n a 1 01a 1 nn af a 证明 函数在区间是增函数 证明 f x 01 1 1 nn aa 设 整数 证明 1 1 ba 1 1ln ab k ab 1k ab 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修 必修 选修选修 参考答案 参考答案 1 C 由 10 0 1 0 x xxxx 得或 2 A 根据汽车加速行驶 匀速行驶 减速行驶结合函数图像可知 2 1 2 sat svt 2 1 2 sat 3 A 由 2ADABACAD 322ADABACcb 12 33 ADcb 4 D 2 22 21210 1aiiaaiiaaia 5 C 由 24351101 4 104 3 104595aaaaadSad 6 B 由 21212 ln1 1 yxx yxxef xef xe 7 D 由 32 1221 1 2 2 112 1 x x yyyaa xx x 8 A 只需将函数的图像向左平移 55 cos 2sin 2sin2 3612 yxxx sin2yx 个单位得到函数的图像 5 12 cos 2 3 yx 9 D 由奇函数可知 而 则 当时 f x 2 0 f xfxf x xx 1 0f 1 1 0ff 0 x 当时 又在上为增函数 则奇函数在 0 1 f xf 0 x 0 1 f xf f x 0 f x 上为增函数 0 01 10 xx 或 曹亚云祝您工作顺利 学习进步 http caoyayun org 曹亚云老师博客 10 D 由题意知直线与圆有交点 则 1 xy ab 22 1xy 22 22 111 1 11ab ab 1 另解 设向量 由题意知 1 1 cos sin a b m n cossin 1 ab 由可得 m nm n 22 cossi