2013年陕西高考理科数学试题及答案.pdf

2013 年陕西陕西高考高考理科数学试题及答案 注意事项 1 本试卷分为两部分 第一部分为选择题 第二部分为非选择题 2 考生领到试卷后 须按规定在试卷上填写姓名 准考证号 并在答题卡上填涂对应的 试卷类型信息 3 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分第一部分 共共 50 分分 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 本大题共 10 小题 每 小题 5 分 共 50 分 1 设全集为 R 函数 2 1f xx 的定义域为 M 则C M R 为 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 答案 D 解析 1 1 1 1 1 1 0 1 2 M R CMxx即 所以选 D 2 根据下列算法语句 当输入 x 为 60 时 输出 y 的值为 A 25 B 30 C 31 D 61 答案 C 解析 31 50 6 025 60 xyx 所以选 C 3 设 a b 为向量 则 aabb 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 cos baba 若1cos baba b a0 即或的夹角为与则向量 ba为真 相反 若ba 则 0bababa 即或的夹角为与向量 所以 aabb 是 a b 的充分必要条件 另 当ba或向量为零向量时 上述结论也成立 所以选 C 输入 x If x 50 Then y 0 5 x Else y 25 0 6 x 50 E d If 4 某单位有 840 名职工 现采用系统抽样方法 抽取 42 人做问卷调查 将 840 人按 1 2 840 随机编号 则抽取的 42 人中 编号落入区间 481 720 的人数为 A 11 B 12 C 13 D 14 答案 B 解析 使用系统抽样方法 从 840 人中抽取 42 人 即从 20 人抽取 1 人 所以从编号 1 480 的人中 恰好抽取 24 人 接着从编号 481 720 共 240 人中抽取 12 人 故选 B 5 如图 在矩形区域 ABCD 的 A C 两点处各有一个通信基站 假设其信号覆盖范围分别是 扇形区域ADE和扇形区域CBF 该矩形区域内无其他信号来源 基站工作正常 若在该矩形 区域内随机地选一地点 则该地点无 信号的概率是 A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 4 答案 A 解析 该地点信号的概率 42 1 2 1 2 的面积矩形 的面积扇形的面积扇形 ABCD CBFADE 所以该地点无 信号的概率是1 4 选 A 6 设 z1 z2是复数 则下列命题中的假命题是 A 若 12 0zz 则 12 zz B 若 12 zz 则 12 zz C 若 21 zz 则 2112 zzzz D 若 12 zz 则 21 22 zz 答案 D 解析 对 A 若 12 0zz 则0 21 zz 所以 12 zz 为真 对 B 若 12 zz 则 21 zz 和互为共轭复数 所以 12 zz 为真 对 C 设 222111 ibazibaz 若 21 zz 则 2 2 2 2 2 1 2 1 baba 2 2 2 222 2 1 2 111 bazzbazz 所以 2112 zzzz 为真 1 2 D A C B E F 对 D 若 1 21 izz 则 12 zz 为真 而1 1 2 2 2 1 zz 所以 21 22 zz 为假 选 D 7 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若coscossinbCcBaA 则 ABC 的 形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 答案 B 解析 因为coscossinbCcBaA 所以AABCCBsinsincossincossin 又ACBBCCBsin sin cossincossin 联立两式得AAAsinsinsin 所以 2 1sin AA 选 B 8 设函数 6 1 0 0 xx f xx xx 0 时 f f x表达式的展开式中常数项为 A 20 B 20 C 15 D 15 答案 A 解析 当 66 11 0 时 x xx xxffx 的展开式中 常数项为 20 1 333 6 x x C 所以选 A 9 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园 阴影部分 则其边长 x 单位 m 的取值范围是 A 15 20 B 12 25 C 10 30 D 20 30 答案 C 解析 设矩形高为 y 由三角形相似得 30040 40 0 0 40 40 40 xyyxyx yx 且利用线性 规划知识解得 30 10 x 选 C 10 设 x 表示不大于 x 的最大整数 则对任意实数 x y 有 A x x B 2x 2 x C x y x y D x y x y 答案 D 解析 代值法 对 A 设 x 1 8 则 x 1 x 2 所以 A 选项为假 对 B 设 x 1 4 2x 2 8 3 2 x 4 所以 B 选项为假 40m x 40m 对 C 设 x y 1 8 对 A x y 3 6 3 x y 2 所以 C 选项为假 故 D 选项为真 所以选 D 二 填空题 把答案填写在答题卡相应题号后的横线上 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 双曲线 22 1 16 xy m 的离心率为 5 4 则 m 等于 9 答案 9 解析 9 1616 9 4 5 2 2 m m a b a c 12 某几何体的三视图如图所示 则其体积为 3 答案 3 解析 立体图为半个圆锥体 底面是半径为 1 的半圆 高为 2 所以体积 3 21 2 1 3 1 2 V 13 若点 x y 位于曲线 1 yx 与 y 2 所围成的封闭区域 则 2x y 的最小值为 4 答案 4 解析 封闭区域为三角形 令 x 1 2 解得 3 1 21 xx 所以三角形三个顶点坐 标分别为 1 0 1 2 3 2 故 2x y 在点 1 2 取最小值 4 14 观察下列等式 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 照此规律 第 n 个等式可为 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 答案 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 解析 分 n 为奇数 偶数两种情况 第 n 个等式为 21 n222 n1 32 1 当 n 为偶数时 分组求和 2 1 n n 1 43 2 1 222222 nn 当 n 为奇数时 第 n 个等式 2 1 n n 2 1 n n 2 n 11 2 1 综上 第 n 个等式 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 15 考生请注意 请在下列三题中任选一题作答 如 果多做 则按所做的第一题计分 A 不等式选做题 已知 a b m n 均为正数 且 a b 1 mn 2 则 am bn bm an 的最小值为 2 答案 2 解析 利用柯西不等式求解 212 22 bamnbmbnanambmanbnam 且仅当 nm bm bn an am 时取最小值 2 B 几何证明选做题 如图 弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P 已知 PD 2DA 2 则 PE 6 答案 6 解析 BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC 且在圆中 6 623 2 PEPDPAPE PE PD PA PE APEEPD所以 C 坐标系与参数方程选做题 如图 以过原点的直线的倾斜角 为参数 则 圆 22 0yxx 的参数方程为 R y x sincos cos2 答案 R y x sincos cos2 解析 222 2 1 2 1 yx 圆的方程 2 1 r圆的半径 sincossin coscoscos2cos 2 OPyOPxrOP 所以圆的参数方程为 R y x sincos cos2 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程及演算步骤 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 E D O P A B C P O y x E D O P A B C 已知向量 1 cos 3sin cos2 2 xxx x abR 设函数 f x a b 求 f x 的最小正周期 求 f x 在0 2 上的最大值和最小值 答案 2 1 1 解析 f x a b 6 2sin 2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 sin3cos xxxxxx 最小正周期 2 2 T 所以 6 2sin xxf最小正周期为 上的图像知 在 由标准函数时 当 6 5 6 sin 6 5 6 6 2 2 0 xyxx 1 2 1 2 6 6 2sin ffxxf 所以 f x 在0 2 上的最大值和最小值分别为 2 1 1 17 本小题满分 12 分 设 n a是公比为 q 的等比数列 导 n a的前 n 项和公式 设 q 1 证明数列 1 n a 不是等比数列 答案 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 见下 解析 分两种情况讨论 1 11111 naaaaSaaq nn 的常数数列 所以是首项为时 数列当 nnnnnn qaqaqaqaqSaaaaSq 121121 1 时 当 上面两式错位相减 1 1123121nnnnn qaaqaqaaqaaqaaaSq q qa q qaa S n n n 1 1 1 11 综上 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 使用反证法 设 n a是公比 q 1 的等比数列 假设数列 1 n a 是等比数列 则 当1 n aNn 使得 0 成立 则 1 n a 不是等比数列 当01 n aNn 使得成立 则恒为常数 1 1 1 1 1 1 11 n n n n qa qa a a 1 011 1 1 11 qaqaqa nn 时当 这与题目条件 q 1 矛盾 综上两种情况 假设数列 1 n a 是等比数列均不成立 所以当 q 1 时 数列 1 n a 不是 等比数列 证毕 18 本小题满分 12 分 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 O 为底面中心 A1O 平面 ABCD 1 2ABAA 证明 A1C 平面 BB1D1D 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小 答案 见下 3 O D1 B1 C1 D A C B A1 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小 解析 BDOAABCDBDABCDOA 11 面且面 又因为 在正方形 AB CD 中 BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 故面且面所以 且 在正方形 AB CD 中 AO 1 1 11 OAOAART中 在 OECAOCEAEDB 1111111 为正方形 所以 则四边形的中点为设 所以由以上三点得且 面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E E DDBBCA 111 面 证毕 建立直角坐标系统 使用向量解题 以 O 为原点 以 OC 为 X 轴正方向 以 OB 为 Y 轴正方向 则 1 0 1 1 1 1 100 001 0 1 0 111 CABACB 由 知 平面 BB1D1D 的一个法向量 0 0 1 1 1 1 1 0 1 111 OCOBCAn 设平面 OCB1的法向量为 则0 0 2122 OCnOBnn 1 1 0 2 n为解得其中一个 2 1 22 1 cos cos 21 21 11 nn nn nn 所以 平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 为 3 19 本小题满分 12 分 在一场娱乐晚会上 有5位民间歌手 1至5号 登台演唱 由现场数百名观众投票选出最受欢 迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷 他必 选 1 号 不选 2 号 另在 3 至 5 号中随机选 2 名 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱 因 此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率 X 表示 3 号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求 X 的分布列和数学期望 答案 15 4 X 的分布列如下 X 0 1 2 3 P 75 4 75 20 75 33 75 18 O D1 B1 C1 D A C B A1 数学期望 15 28 EX 解析 设事件 A 表示 观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手 观众甲选中 3 号歌手的概率为 3 2 观众乙未选中 3 号歌手的概率为 5 3 1 所以 P A 15 4 5 3 1 3 2 因此 观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 15 4 X 表示 3 号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 则 X 可取 0 1 2 3 观众甲选中 3 号歌手的概率为 3 2 观众乙选中 3 号歌手的概率为 5 3 当观众甲 乙 丙均未选中 3 号歌手时 这时 X 0 P X 0 75 4 5 3 1 3 2 1 2 当观众甲 乙 丙中只有 1 人选中 3 号歌手时 这时 X 1 P X 1 75 20 75 668 5 3 5 3 1 3 2 1 5 3 1 5 3 3 2 1 5 3 1 3 2 2 当观众甲 乙 丙中只有 2 人选中 3 号歌手时 这时 X 2 P X 2 75 33 75 12912 5 3 5 3 1 3 2 5 3 5 3 3 2 1 5 3 1 5 3 3 2 当观众甲 乙 丙均选中 3 号歌手时 这时 X 3 P X 3 75 18 5 3 3 2 2 X 的分布列如下表 15 28 75 546620 75 18 3 75 33 2 75 20 1 75 4 0 E 所以 数学期望 15 28 EX 20 本小题满分 13 分 已知动圆过定点 A 4 0 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8 求动圆圆心的轨迹 C 的方程 已知点 B 1 0 设不垂直于 x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点 P Q 若 x 轴是 PBQ 的角平分线 证明直线过定点 答案 xy8 2 抛物线方程 定点 1 0 解析 A 4 0 设圆心 X 0 1 2 3 P 75 4 75 20 75 33 75 18 C 2222 2 ECMECMCA MN MEEMNyx 由几何图像知线段的中点为 xyxyx84 4 22222 点 B 1 0 2 2 21 2 121212211 8 8 00 xyxyyyyyyx