四则运算介绍及定律1.doc

计算问题解题原理思维及方法小学数学中在数的问题有以下三种算术：计数，计算，数论计数问题有以下方法:加法原理，乘法原理，排列与组合法，捆绑法，插板法，枚举法，排除法，对应法，树形图法，归纳法，整体法，递推法，容斥原理和几何图形中的计数；数论问题有以下方法：奇偶数论，平方数论，费尔马定理，中国剩余定理，韩信点兵原理及其同余数周期应用，整数拆分；考虑到现在三年级了，我们这2课主要讲解计算问题：混合运算，数学计算公式原理，换元法概念，凑整法概念，定义新运算，数的整除余数，速算与巧算。1.四则运算四则运算：加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算.(高级运算如平方，次方，数根，微分，积分等不讲)运算顺序：只有一级运算时，从左到右计算；有两级运算时，先乘除，后加减。有括号时，先算括号里的；有多层括号时，先算小括号里的。要是有平方，先算平方。在混合运算中，先算括号内的数 ，括号从小到大。然后从高级到低级。表示方法脱式计算脱式计算是，即递等式计算，把计算过程完整写出来的运算，也就是脱离竖式的计算。在计算混合运算时，通常是一步计算一个算式(逐步计算，等号不能写在原式上），要写出每一步的过程。一般来说，等号要往前，不与第一行对齐。示例：1+2(8-3)5(14-6)89=1+2551689=1+2129=1+218=1+36=37横式计算 示例：1+2(8-3)5(14-6)89 =1+2551689 =1+2129 =1+218=1+36=37 运算意义和运算规律口算引入：83792436（5046）和650-646 36356396 （4832）5 （4832）5和548+532 （254）5和2554 6045和60（54） 向孩子提问：以上各式中都含有哪些运算？它们的运算顺序是什么？使孩子明确：当只有加减或乘除法时，按从左到右的顺序计算；当既有乘除法又有加减法，要先算乘法或除法，再算加法或减法；如果有小括号，先算括号内后算括号外。明确运算法则！学习新知：1.例1：计算7410053向孩子提问：这道题包含哪些运算？按照以前学习的运算顺序应该先算什么？再算什么？你能按照这道题的运算顺序读题吗？ 提示：7 4加10 0除以5所得的商再乘3的积，和是多少？ 将上题变成74十100 35和74 100 3 5两题 提问：谁能按照运算顺序读出题来？该先算什么再算什么？为什么？ 先说出下面每道题的运算顺序，再计算。 65642 38+5673引导孩子思考：通过演算这几道混合运算式题，你有什么发现？使学生明确：在一道既有乘除法又有加减法的混合式题里，应先算乘除法，后算加减法；乘除连在一起，或加减连在一起，要从左往右依次计算。2.例2：计算（440280）（300260）（加深难度440300-440260280300280260,让孩子总结出来）孩子自读题目：440减280的差乘300减260的差，积是多少？引导孩子思考：这道题含有哪些运算，与前边的习题比较有什么不同？应该怎样计算？学生试做。可能出现两种不同解法，板贴出来：（440280） （300260）（440280）（300260）=160（300260） =16040=16040 =6400=6400（引入440300-440260280300280260计算）让孩子比较评议以上两种解法，哪种解法更简便？提问：看到这道题的简便解法你联想到什么吗？ 教师让学生先按照运算顺序用数学用语读题再独立完成。（59+21）（968） （220100）（152）提问：通过计算这些道题，你又有什么新的发现吗？巩固提高：计算下面各题（试着用术语读出下面各题）700854（27535）（1743）480（96166）（1540360）6注意强调运算顺序和书写格式。要明确：括号里有两级运算，同样先算乘除法， 后做加减法，小括号要照抄下来。课堂小结：要完成一道混合运算，它的计算步骤是：审题，看清运算符号、数字、有没有小括号，确定先算什么，再算什么。计算。检验，包括运算顺序，计算是否正确。布置作业 14+16450 74+（9668）7245+12111252018（806799）（没有学过多位除法的用分解法）教学目标使学生进一步掌握含有二级运算的混合式题的运算顺序，学会计算含有乘除混合以及带有小括号的三步式题。培养学生迁移类推的能力，提高计算能力。培养学生的学习兴趣和敢于探索的科学精神，训练学生养成认真审题、仔细验算的良好习惯。教学重点使学生掌握混合运算顺序，能熟练地进行计算。教学难点帮助学生利用知识的迁移，探索混合运算的运算顺序。2.小学数学运算法则：整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。（说明引入十进制和二进制区别，以及60进制区别）整数减法计算法则：相同数位对齐，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。（示例12344321）整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。（示例131313）小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。（示例0.110.12，也可以用人民币的钱数引入）除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。（示例0.15，同样可以引入人民币钱数）除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。（只作简单说明，有兴趣可以深讲）同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。（示例 和)异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 （示例和）带整数分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。(示例12和21)分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 （示例12和）分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 （示例）3.数学运算定律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即ab=ba。乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(ab)c=a(bc) 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)c=ac+bc 。减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。4.A速算与技巧：例1 2452554=(25)(425)54 (利用了交换律和结合律)=1010054=54000例2 54125168625=54(1258)(62516) (利用了交换律和结合律)=54100010000=540000000例3 56425125 （将64分解为2、4、8的连乘积是关键一步）=5(248)25125=(52)(425)(8125)=101001000=1000000例4 3748625=37(316)625（注意373=111）=(373)(16625)=11110000=1110000例5 2725+1325，=(27+13)25（逆用乘法分配律这样做叫提公因数）=4025=1000例6 12323+123+12376=12323+1231+12376=123(231+76)=123100=12300（注意123=1231;再提公因数123）例7 81+9919(把81改写叫分解因数，为99是为了下一步提出公因数9)=99+9919=(9+991)9 =10009=9000例8 11199=111(100-1)=111100-111=11100-111=10989例9 2357-4823+23=23(57-48+1)=2310=230例10 求1+2+3+24+25的和. 解：此题是求自然数列前25项的和.方法1：利用上一讲得出的公式 和=(首项+末项)项数2 1+2+3+24+25=(1+25)252=26252=325方法2：把两个和式头尾相加(注意此法多么巧妙!)想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?例11 求8+16+24+32+792+800的和. 解：可先提公因 8+16+24+32+792+800=8(1+2+3+4+99+100)=8(1+100)1002=85050=40400例12 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列.那么第1排有多少个座位呢?因为：第2排比第1排多2个座位，2=21第3排就比第1排多4个座位，4=22第4排就比第1排多6个座位，6=23这样，第25排就比第1排多48个座位，48=224.所以第1排的座位数是：70-48=22.再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=(22+70)252=92252=1150.B速算与巧算5.趣味数学数数与计算解析1数数与计算解析2-等式加减法例1 大、小二数之和等于10，之差等于2，求二数.解：依题意，列等式，并把等式两边分别相加.得：大数=122=6 小数=6-2=4.例2 已知：+=10 -=2 求：=?=?解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有得：=122=6 再将代入(1)式 得：6+=10注+)表示等式两边分别相加. =10-6=4例3 已知：+=16 +=14 求：=?=?解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有或3(+)=30 得+=10. (3) 根据等式两边分别相减，结果仍相等，有进一步(3)式+(4)式即得=122=6 把的值代入(4)式： 得6-=2 得=6-2=4.例4 已知：+=21 +=27 求=?解：将两个等式改写为 2+3=21 (1) 2+5=27 (2)(2)-(1)得： 2=27-21=6 得=62=3.例5 小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱，又知1支铅笔比2块橡皮贵4分钱.问小明买的铅笔每支多少钱?解：先列出下列等式：1支铅笔+2块橡皮=24 (1) 1支铅笔-2块橡皮=4 (2)(1)+(2)： 2支铅笔=28 1支铅笔=14(分)=1角4分.例6 在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小军和小方的成绩加起来是193分.问他们三人各得多少分?解：列出下列等式：小玲+小军=195 (1) 小玲+小方=198 (2) 小军+小方=193 (3)将三个等式的左边和右边各项分别相加，得：2(小玲+小军+小方)=586即小玲+小军+小方=293 (4) 由(4)式-(1)式得 小方=293-195=98由(4)式-(2)式得 小军=293-198=95 由(4)式-(3)式得 小玲=293-193=100可见小方得98分，小军得95分，小玲得100分.计算问题解题原理、思维以及方法1.数学计算公式-常用公式2.换元法的概念解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量式去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。还原的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移值新对象的只是背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元、等值非等值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。A.局部换元法：例 计算11+12+13+1+11+12+13+2+11+12+13+3(利用局部换元) 11+12+13=26=a 1+2+3=6=b 3a+b=326+6=78+6=84 其余换元法在初高中使用，这里不讲！3.凑整法的概念3.1加减法中的凑整法概念加减法的速算与巧算中主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千的数，再将各组的结果求和（差）。主要涉及的几种计算方法：（1）分组凑整法 （2）加补凑整法 （3）基准数法 （4）位值原理法A.分组凑整法：例1.3125+5431+2793+6875+4569 解：原式=(3125+6875)+(4569+5431)+2793=22793B.加补凑整法: 例 198+2999+39997=（200+3000+40000）-（2+1+3）=43200-6=43194C.基准数法：例 （4942+4943+4938+4939+4941+4943）6=4941 （基准数是4940）D.位置原理法：例 123+234+345+456+567+678+789=(100+20+3)+(200+30+4)+(300+40+5)+(400+50+6)+(500+60+7)+(600+70+8)+(700+80+9)=（100+200+300+400+500+600+700）+（20+30+40+50+60+70+80）+（3+4+5+6+7+8+9）=2800+350+42=31923.2乘除法中的凑整法在乘除法当中，我们首先要熟练的掌握乘除运算定律、性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件、选用合理、灵活的计算方法。计算方法：（1）拆并法（2）特殊数的速算A.拆并法：例 167545=（758）（245）=60090=54000 329125=329(1258)8=32910008=3290008=411253.3凑整（特殊数的速算概念）被乘数与乘数的十位数字相同，个位数字互补，这类式子我们成为“头相同、尾互补”型被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同、这类式子我们成为“头互补、尾相同”型对于计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别为“同补”速算法和“补同”速算法“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾”，前面是“头（头+1）”“补同”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾”，前面是“头头+尾” 两位数速算技巧：原理：设两位数是分别是:10A+B, 10C+D，其中积为S，根据多项式展开得如下：（10A+B）(10C+D)=10A10C+10AD+10CB+BD 而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补（相加为十）的关系简化式子，从而快速得出结果。注：下文中：“- -”代表十位和个位，因为两位数的十位数得数后面是两个零，请孩子不要忘了，前积就是前2位，后积就是后2位，中积就是中间2位，满十前一，不足补零。A乘法速算一:前数相同的 1.1 十位数是1，个位互补，即A=C=1 ,B+D=10 S=(10+B+D)10+BD 方法:百位为2，个位相乘得数为后积，满十前一； 例：1317=221（其中13+7=20，37=21）1.2十位数是1，个位不互补，即A=C=1 ,B+D10 S=(10+B+D)10+BD方法:乘数的个位与被乘数相加,得数位前积;两数的个位相乘,得数为后积;满十前一. 例: 1517=255(其中15+7=22，57=35,划线上2和3相加) 1.3 十位相同，个位互补，即A=C ,B+D=10 S=A(A+1)10+BD方法：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；个位数相乘，得数为后积。 例：5654=3024（其中（5+1）5=30，64=24）1.4十位相同，个位互补，即A=C ,B+D10 S=A(A+1)10+BD 方法1：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；尾乘尾，得数为后积；尾尾相加，看比10大几或小几，大几就加几个头乘10，反之小几，就是小几就减几个头乘10.例：6764=4288（其中（6+1）6=42，47=28，7+4=11，11-10=1，16=6，610=60，4228+60=4288）方法2：头头相乘，得数为前积；两尾数和与头相乘，得数为中积，满十前一；两尾数相乘，得数为后积。例： 6764=4288（其中66=36,(7+4)6=66,74=28） 二：后数相同的 2.1个位是1，十位互补，即B=D=1,A+C=10,S=10A10C+101 方法：十位与十位相乘，得数为前积；加上101，划线1要前进1. 例：8121=1701（其中82=16,101,划线1要前进1） 2.2个位是1，十位不互补，即B=D=1,A+C10,S=10A10C+10A+10C+1 方法：十位数乘积，加上十位数之和，得数是前积；个位为1. 也可以这样说：头头相乘是前积；头头相加是中积，满十前一；个位数是1。 例：7191=6461（其中79=63，7+9=16，划线1进上去，个位数是1） 2.3 个位是5，十位互补，即B=D=5,A+C=10,S=10A10C+25 方法：十位数乘积，加上个位数，得数为前积，25为后积 例:3575=2625 2.4个位是5，十位不互补，即B=D=5,A+C10,S=10A10C+525 方法：头头相乘，得数为前积；两十位数和与个位相乘，得数为中积，满十进一；两尾数相乘，得数为后积。 例：7595=7125（其中79=63；(7+9)5=80,划线8上进；55=25） 2.5个位相同，十位互补，即B=D,A+C10,S=10A10C+100B+B2 方法：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积. 例：8626=2236 （其中82+6=22，66=36） 2.6个位相同，十位不互补，即B=D,A+C10,S=10A10C+100B+100D+B2 方法1：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积；再看看头头相加比10大几或小几，大几就加上几个尾乘10，小几反之亦然。 方法2：头乘头是前积；两头之和乘尾乘10，与尾乘尾（尾平方）之和，得数是后积。 例：7343=3139（其中74+3=31；33=9，7+4-10=1，1310=30，30+9=39，划线部分组成了后积） 另解释:7040=2800 (7+4)310+33=339,2800+339=3139 三：特殊类型： 3.1一个数头尾相同，另一个数头尾互补 方法：互补的那个数头加1之和与另一个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积,没有十位用0补。 例：6637=2442（其中（3+1）6=24;67=42） 例：1137=407（其中（3+1）1=4;17=7,没有十位用0补） 3.2一个数头尾相同，另一个数头尾不互补 方法：非互补的那个数头加1之和与另一个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积；没有十位用0补，再看看那个非互补那个数头尾相加之和比10大几或小几，大几就加上几个相同数（头尾相同的数）的数字乘10，反之亦然。 例：3844=1632+40=1672（其中（3+1）4=16；84=32；（3+8-10）410=40;1632+40=1672） 3.3一个数头尾不相同，另一个数头尾互补 方法：头尾互补数的头数加1之和与头尾不相同数的头相乘，得数为前积；两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补；再看看头尾不同的数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘10，反之亦然。 例:4675=3530-80=3450(其中(4+1)7=35;56=30;5-7=-2,意思是尾比头少了2，2410=80，多了几加上，少了几减去，3530-80=3450) 3.4 一个数头比尾少1，另一个数头尾之和是9 方法：头比尾少1数的头与凑9数的尾数的补数相乘，得数为前积；凑9数的头数加1的和与头比尾小1的数的尾数的补数之积，得数为后积，没有十位用0补。 例：6736=2412（其中6（10-6）=24，10-6就是36尾数6的补数；（3+1）（10-7）=12，3+1是36的头数加1，10-7就是67的尾数7的补数。） 3.5 两个数头头不同，尾尾互补（要先确定乘数与被乘数） 方法：被乘数的头加1的和与乘数的头之积，得数是前积；尾与尾之积，得数为后积；再看被乘数头比乘数的大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘10，反之亦然。 例：7456=4024+（7-5）610=4144（其中（7+1）5=40；46=24） 3.6 两数头头差1，尾尾互补 方法：大数的头和大数头之积与1的差，得数为前积；大数的尾和大数的尾之积，它们积的整百补数就是后积。 例：2436=864（其中33-1=8；100-66=64） 3.7 近100的两位数算法（确定乘数与被乘数） 方法：被乘数与乘数的整百补数之差，得数为前积；两数整百补数之积，得数为后积，没有满十补0，满100进1） 例：9391=8463（其中93-（100-91）=84；（100-93）（100-91）=63） 3.8 头互补，尾不同（确定乘数与被乘数） 方法：头头之积与乘数尾之和，得数为前积；尾尾之积，得数为后积，没有满10补0，再看看被乘数尾比乘数的尾大几或小几，小几就减去几个乘数头乘10，反之亦然。 例：2281=1702+80=17824.定义新运算基本概念:定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路:严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。5.数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a（或）。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5. 能被7整除:末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除:末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7. 能被13整除:末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。6.余数及其应用基本概念:对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0RB,那么R叫做A除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。 0RB,