向心加速度公式推导方法集锦.pdf

第 3 1卷第 7期 2 0 0 2年 7月 中学 物 理 教 学 参 考 Ph ys i c s T e a c h i n g i n M i d dl e S c ho o l s Vo1 3 1 No 7 J u1 2 0 02 向心加速度公式推导方法集锦 李贵和 江 苏 省 靖 江 市 孤 山 中学 2 1 4 5 2 2 匀 速 圆 周 运 动 知 识 是 中 学 物 理 中 的 重 要 内 容 之 一 向 心 加 速 度 的 概 念 是 其 中 的 难 点 难 在物 体 的 向心 加 速 度仅 是 由于速 度 方 向 的 变化 而产生 的 其方 向始 终与 物体 的速度 方 向 垂 直 对 此 可 在 复 习匀 变 速 直线 运 动 和抛 体 运 动 以及物 体 做 曲线运 动 的 条件 的基 础上 指 出 当 物 体 的 加 速 度 方 向与 其 速 度 方 向相 同 时 只改 变 物体 的 速度 的大 小 物 体做 直 线 运 动 当物 体 的加 速度 与 其 速 度方 向相反 时 既 可改 变物体 速度 的大小 也可改 变其 速度 的方 向 但 物 体仍 做 直线 运 动 当物 体 的加 速 度 方 向 与速 度 方 向成某 一 角 度 不在 同一 直 线 上 时 物 体 的速 度大 小 和 方 向可 能 同时 发 生 变 化 物 体做 曲线 运 动 当加 速 度 的方 向与 速度 方 向垂 直 时 仅 改 变 速 度 的 方 向而 不 改 变 速 度 的 大 小 既 然 圆 周 运 动 是 曲 线 运 动 就 一 定 具 有 一 个 与 速 度 不 在 同 一 直 线 上 的 加 速 度 又 由 于 匀 速 圆 周 运 动 的速 度 大 小 不 变 仅 方 向改 变 因此它 的加 速度 必然 与速 度垂 直且指 向 圆心 所 以叫做 向心加 速度 关 于 向心加 速度 的推导 方法 除 了课本 上 所讲 的之外 笔 者研 究发 现推导 向心加 速度 公 式 的 方 法 非 常 多 这 些 方 法 既 可 开 拓 学 生 思 路 提 高学生分 析 问题 解决 问题 的能力 又 可 供 同行 教学时参考 一 运 用 平 抛 运 动 知 识 推 导 这类 方 法是将 物体 在时 间 内 的圆周运 动 分解成 沿 圆周切线 方 向的匀速 直线 运动 和 沿半径 方 向的初速 为零 的匀加 速直线 运 动 类 似 于平 抛运 动 时间 越 短 物 体 的运动 就越 接近平 抛物 体运动情形 1 如 图 1所 示 物 体 以速 率 做 匀 速 圆 周 运 动 在 时间 内 由 A 点 移动 到 B 点 如果 物体 位 于 点 时 绳 子 的 拉力 作用 消失 则 物 体将沿 切线 方向做匀 速直 线运 动 但实 际上物体 在 时 间 内 沿 圆 周 运 动 到 B 点 这 是 由 于 物体还 受到 向心力作用 由 于 AB 当 很 小 时 有 AB v t 而 一 1 a t 口为物体在 点的加 图 1 速 度 由平 面 几 何 知 识 得 一 一AC 而 C一 2 R 可 得 1 一 口 2 R 厶 2 整 理 得 n 一 对 于 图 1的情 形 又可 推导如 下 由一EB 一 一E C AE 一一AE 当 很 小 时 一AE相 对 于 可 忽 略 将 丽一 1 一 口 AC 2 R代入 上式 得 厶 1 一 口 2 R 厶 I2 即 n一 2 如 图 2所 示仍 表 示 以速 率 做 匀速 圆 周运 动 的物 体 在 时 间 内 由 A 点 移动 到 B 点 物 体 在 点 时 在 沿 AO 方 向 上 的分 速 度 为 零 在 B 点 时沿 AO 方 向上 的 分 速 度 一 v s i n 0 则 内物 体 在 AO 方 向速 度 的 增 量 是 Av f vs i n 0 由 E B 2 x t 得 图 2 29 维普资讯 EB Rs i n 一 所 以 n 一 一 一 簧 若 由 一 AB 则 可 推 导如 下 u vs i n u s i n n一 l 一 一 当 一 O时 一 O s i n 一 而AB RO 得 2 一 也 可 用 At AB 因 为 A t O时 一 E B 具 体证 明过程 略 3 如图 2所 示 与上述方法 不 同的是 物体 在 AO 方 向 上 的 加 速 度 可 根 据 关 系 式 一 2 a 求 得 将 一 v s i n 一AE R 1 一C O S 代 入 上 式 得 vs i n 一 2 aR 1一 C OS 丹 所 以 一 一V 2 CO S 2 当 A t O 时 一 o c s 导 一 1 得 n 一 簧 二 运 用 斜 抛 知 识 推 导 这类 方法是 将物 体在 短时 间 内 的圆周 运 动 看 成 类 似 于 斜 抛 运 动 来 处 理 相 应 地 也 有 三 种 方 法 1 如 图 3所 示 物 体 以 速 率 在 短 时 间 内从 点 运 动 到 B 点 与前 面 不 同的是 把 该运 动过 程 看成 是 沿 点 切 线 方 向 上 的 匀 速 直 线 运 动 和 沿 半 径 BO 方 向 初 速 为 零 的匀 加速 直线 运动 的合运 动 像 斜抛 一样 因此有 一AC 一CB 1 n 又 由平 面 几 何 知 识 得 D 图 3 AC 一 CB X CD CB CB BD 当 很 小 时 C B也 很 小 可 忽 略 于是 有 一 ACz 一硒 丽 1 2 有 v 5 2 专 2 R 即n 一 2 如 图 4所 示 我 们把 物 体在 时 间 内 3 0 从 点 到 B点 的运 动 过程 看 成是 OB方 向的 竖 直 上 抛 运 动 和 AF 方 向 上 的匀 速 直线运 动 的合运 动 B 点 相 当于 斜抛 运 动 的最 高点 因 此 有 vs i n 一 a52 A F Rs i n 一 一 VCO S V C O S V C O S 图 4 可 得 s i n 一 当 一 O时 一 O C O S 一 1 得 2 一 若 用 一 等 或 一 或 一 均 可 以讨 论 此 处 略 3 如 图 4所 示 同 样 可 用 OB方 向上 的 分 运动 的速度 与位移 关系求解 由 v s i n 一 2 a FB一2 a R 1 一s i n 丹 得 一 一V 2 CO S 2 当 一 时 有 C O S 一 1 则 2 一 三 通 过 矢量 三 角 形 求 极 限 的 方 法 来 推 导 1 如 图 5 a 所示 物体做 匀速 圆周 运 动 在 内从 点运 动 到 B 点 所 对 应 的 速 度 从 V 变 成 V B 把 V A和 V B 的 始 端 画 在 同 一 点 得 一 速 度 矢 量 三 角 形 x y z 如 a b 图 5 图 5 b 所 示 其 中 A v V 一V 是 速度 矢 量 在 内的变化量 比值 是 物体 在 内的 平 均 加 速 度 它 的方 向与 A v的 方 向相 同 当 一 O时 Av A t的极 限值 就是 物体 在 点 的 瞬 时 加 速 度 而 一 O时 O 由 于 V 和 V 大 小相 等 这时 便 垂直 于 所 以物体 在 A点 的加速度方 向是沿着半 径指 向圆心的 因 为 A OAB A v y z 用 V表 示 V A和 V B的 大小 A v表示 的大小 R 表示 圆周 的半径 则 有 维普资讯 一丝 R 一 R 一 u 一 AD 上 式 两 边 同 除 以 得 一A B 7 2 当 一 O时 A v 就 是 向 心 加 速 度 的 大 小 n 则 B B 一 一 一 2 由图 5 b 直接 求得 A v 再通 过取 极 限 求 a 由 图 可 知 一 2 s i n A9 两 边 同 除 以 得 一 2 v s i n A 当 t 0时 有s i n 2 v 寺 7 2 一 一 一 则 加 速 度 的 方 向讨 论 同 上 3 仍 如 图 5 b 所 示 可 用 弧 度 制 定 义 推 导 当 很 小 时 也 很 小 有 两 边 同 除 以 得 一 一 当 f O时 有 A v A 2 一 一 一 一 四 通 过 建 立 直 角 坐 标 系推 导 1 如 图 6所示 物体 以速率 做匀速 圆周 运 动 以 圆心 O 为 原 点 在轨 道平 面 内建 立 直 角 坐 标 系 x o y 为 简 单 起 见 设某 时刻物 体位 于 轴上 的 点 经 过 很 短 的 时 间 运 动 到 B 点 A V A和 A V B沿 坐 标 轴 的分 量 为 VA VA 0 VB U C OS VB vs i n 在 内 速度 分 量 的增 量 为 V A B o m A V 图 6 Av B VA U C OS Av VB VA 一 v s i nAq 速 度 增 量 为 一 A v A v 一 v C O S 2 v C O S A s i n 一 二 2 i n 于 是 当 一 O时 有 1 Av 2 一 一 一 一 的 方 向 可 用 它 与 轴 的 夹 角 确 定 由 图 6可 知 t an 一 X V 一 US1 n x t a n 卿 一 一 Z Z 当 一 O时 O 一 O 则 垂 直 于 即 a的 方 向垂 直 于 且 指 向 圆 心 2 在 直 角 坐 标 系 平 面 内 运 用 某 一 方 向 上 的动能 定 理推 导 如 图 7所 示 物 体在 x O y平 面 内绕原点 0 以速率 做 半 径 为 R 的 匀 速 圆 周 运 动 从 点 运 动 到 B点 时 B 点 的 横 坐 标 为 设 向 心 力 大 小 为 F 在 方 向 上 的 分 力 为 F 则 F 一 一Fs i n 负 号 表 示 F 沿 轴 反 方 向 由 图 jl 9 一 图 7 7可 知 s i n x R 所 以 F 一 一Fx R 其 中 F 和 R 都 是 常 量 所 以 F 与 成 正 比 根 据 从 点 到 C 点 的 方 向上 的 分 运 动 的 动 能 定 理 有 一 1 F R 一 一 专 2 得 F m V 2 口 一 F 一 v 2 3 在 直 角 坐 标 平 面 内 运 用 某 一 方 向 上 的 动 量 定 理 推 导 仍 如 图 7所 示 因 为 F 一 一F s i n 一 一F s i n 所 以 F 是 时 间 的 正 弦 函 数 在 从 点 往 后 的 半 个 周 期 中 用 F 表 示 F 对时间的平均值 则F 一一 F 根据从 点 到 C 点 的 方 向上 的 分 运 动 的 动 量 定 理 有 T o一 2 兀 F 一 一 得 F n 一 4 微 分 计 算 法 先 在 直 角 坐 标 系 中 给 出 速 度 加速度 的分 量式 再求 出总 的加 速度 如 图 8所示 做 匀速 圆周运 动 的物体 在某点 的速 度 为 则 U C OS A v c os 3 维普资讯 V 一一vsl n 一 一 vs i n z 口 一 一 s i n 一 m 一 一 o m s i n 口 一挚一 c o s o 一 一 一 一 o r u c oS t y 一 圈 8 n 一 n n 一 一c 一 一ax 一 a m s i n A 一 t a n a 一O UC0S 所 以 当 一 O时 a的方 向沿 半 径 指 向 圆 心 五 其 它 方 法 1 在一 个周 期 内对 瞬 时动 量定 理 的标 量 式 求 和推 导 物 体 做 匀 速 圆周运 动 对每 一 个 瞬 时 根 据 动 量 定 理 有 FAt 一 如 果 只 考 虑 大 小 关 系 有 FAt Av 对 上 式 在 一 个 周 期 内求 和 因 为 向心 力 大 小 不变 速 度 大 小 不 变 而 方 向 改 变 2 n A v在 一 图 9 个 周 期 内 的 累积 量 为 2 n v 如 图 9所 示 因此 有 F T m 2 nv 将周期 T一2 n R v代人 上式 得 F 2 nv V 一 一 丁一 2 运 用速端 曲线 推导 一 个物体 的运 动轨 迹 也 就是它各 个 时刻 的位 置矢 量端 点连成 的 曲线 如 果从 同一个 原点 画出它 各个 时刻 的速 度矢 量 则这些 速度 矢量 的端点 也将 连成一 条 曲线 就 叫做 物 体 运 动 的速 端 曲线 当物 体 在 曲线 轨道 上运 动的 同时 其 速度 矢量 的端点 也 在速端 曲线 上做 相应 的运动 正 如物体 运动 的 快 慢 等 于 其 速 度 随 时 间 的变 化 率 一 样 速 度 矢 量 在速 端 曲线 上 运 动 的快 慢 就等 于 其速 度 随 时 间 的 变 化 率 即加 速 度 物 体做 匀速 圆周运 动时 速 度矢量 大小 不 变 方 向改 变 其 速 端 曲线 就 是 以 速 度 矢 量 为 半径 的圆 周 如 图 1 O a 表示 运 动 轨 迹 图 1 O b 表示其速端 曲线 当物体 沿 圆周轨道 运行 一周时 其 速度 矢 量 端 点 也 在 速 端 曲 线 上 运 动 一 周 因此 有 32 a v 速 端 快 慢 一 2 n v T 将 T 一 2 u R v代 人 上 式 得 匀 速 圆 周 运 动 的 加 速 度 t2 为 n 一 图 1 0 根 据 速 端 速度 的方 向始终 与速 端 曲线 的 半 径 垂 直 即 始 终 与 匀 速 圆 周 运 动 的 速 度 垂 直 可知加 速度 的方 向始 终 与速度 方 向垂 直且 指 向 圆 心 3 利 用 线 速 度 与 角 速 度 的关 系 推 导 在 圆 周 运 动 中 线 速 度 与 角 速 度 的 关 系 式 为 V一 R 写 成矢 量式 为 一c o x 其 中 为物 体运 动 的位 置 矢量 为 角 速 度矢 量 其 方 向 由右 手螺旋法 则确定 由加速度 的定义 得 n d v 一 一 d c o 十 x d R 一 一 一 十 一 R