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数学竞赛专题一：不定方程数学竞赛专题一：不定方程【知识精要】形如x+y=4，x+y+z=3，=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：定理1二元一次不定方程ax+by=c，（1）若其中（a，b） c，则原方程无整数解；（2）若（a，b）=1，则原方程有整数解；（3）若（a，b）c，则可以在方程两边同时除以（a，b），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解定理2若不定方程ax+by=1有整数解，则方程ax+by=c有整数解，此解称为特解方程方程ax+by=c的所有解（即通解）为（k为整数）对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解；（2）构造法先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；（3）估算法先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解【例题精讲】一二元一次不定方程例1求方程4x+5y=21的整数解解：因为方程4x+5y=1有一组解，所以方程4x+5y=21有一组解又因为方程4x+5y=0的所有整数解为（k为整数），所以方程4x+5y=21的所有整数解为（k为整数）说明：本题也可直接观察得到方程4x+5y=21的一组特解，从而得到4x+5y=21的通解（k为整数）练习1求方程5x+3y=22的所有正整数解解：方程5x+3y=1有一组解为所以方程5x+3y=22有一组解为又因为5x+3y=0的所有整数解为，k为整数所以方程5x+3y=22的所有整数解为，k为整数由解得，所以k=8，原方程的正整数解为说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解这通常需要解不等式组求出通解中k的取值范围若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解下面通过例题说明这种方法例2求方程63x+8y=23的整数解解：（1）用x、y中系数较大者除以较小者63=87+7（2）用上一步的除数除以上一步的余数8=71+1（3）重复第二步，直到余数为1为此（4）逆序写出1的分解式 1=871=8（6387）1=863+87=8863（5）写出原方程的特解和通解 所以方程63x+8y=1有一组特解，方程63x+8y=23有一组特解，所以原方程的所有整数解为，k为整数练习2求方程37x+107y=25的整数解解：107=237+3337=133+433=48+1所以1=3348=33（37133）8=37（8）+339=37（8）+（107237）9=1079+37（26）所以方程37x+107y=1有一组整数解为，原方程的所有整数解为，k为整数二多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解下面通过例题进行说明例3求方程12x+8y+36z=100的所有整数解解：原方程可化为3x+2y+9z=25将分为的一组解为，所以的所有整数解为 k1为整数的一组解为，所以的所有整数解为 k2为整数将代入，消去t得，（k1，k2为整数）练习3一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x、y、z个，则 （2）（1）消去x得y+2z=11 （3）（3）的通解为，k为整数所以x=10yz=4k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5所以小明摸出的球中红球个数最多为4个三其他不定方程例4求不定方程的正整数解解：原式变形为2x+2y=xy，即（x2）（y2）=4所以或或解得或或练习4求方程x2y2=105的正整数解解：（x+y）（xy）=105=357所以或或或解得或或或例5求方程y2+3x2y2=30x2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y2+3x2y230x210=517，即：（y210）（3x2+1）=31313由于3（3x2+1），所以3（y210）又因为3x2+11，所以y2100，经实验可知y210=39，3x2+1=13所以x=2，y=7说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法练习5求证方程x3+113=y3没有正整数解解：假设方程有正整数解，则由x3+113=y3得（yx）（y2+xy+x2）=113由于yx，y11，所以y2+xy+x2112，于是yx=1，y2+xy+x2=113所以（x+1）2+x（x+1）+x2=3x2+3x+1=113=1331，即3（x2+x）=1330这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解例6求方程x+y=x2xy+y2的全部整数解解：将原方程看成关于x的一元二次方程：x2（y+1）x+（y2y）=0若此方程有解，则=（y+1）24（y2y）0，即3y26y10解得：1，所以y=0，1或2将y的值代入原方程可解得：，练习6求方程x2+y2=2x+2y+xy的所有正整数解解：将原方程看成关于x的一元二次方程x2（y+2）x+（y22y）=0若此方程有整数解，则=（y+2）24（y22y）为完全平方数又因为=3（y2）2+160，16，所以=0，1，4，9或16解得y=2或4代入原方程解得，或例7求方程x6+3x3+1=y4的整数解解：（1）当x0时，x6+2x3+1y4x6+4x3+2，即（x3+1）2y4（x3+2）2所以x3+1y20不成立（2）当x=0时，y4=1，y=1（3）当x=1时，y4=1，y无实数解（4）当x2时，x3+10，所以x6+4x3+2y4x6+4x3+1，即（x3+2）2y4（x3+1）2所以（x3+2）y2（x3+1），与（1）类似可证x2不成立综上所述，或说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x的取值范围，再进行求解练习7求方程x2+x=y4+y3+y2+y的整数解解：原方程可变形为4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1（2x+1）2=（2y2+y）2+3y2+4y+1 =（2y2+y）2+2（2y2+y）+1+（y2+2y） =（2y2+y+1）2+（y2+2y）（1）当，即当y2时，（2y2+y）2（2x+1）2（2y2+y+1）2而2y2+y与2y2+y+1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解（