10道经典球的接切问题及详解.doc

试题是数学的心脏，思维是数学的灵魂球的接切问题1.若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为A. B. C.1 D. 答案：D.图解如下解决球问题时，未必将球画出来，增强我们的空间想象能力.，即.2011-12-6 wht2. 已知正三棱椎的体积为，外接球球心为，且满足则正三棱锥的外接球的半径为 A. B. C. D. 答案：B，由得出球心O为ABC的中心，于是锥高为球半径，故图2，推出.3. 已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 答案：.（源自2011年沈阳市二模文科16题）4.已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 （源自2011年沈阳市二模理科16题）答案：.寻求球心是关键，模仿圆心确定的方式，来确定球心先确定底面的圆心（球的小圆圆心），球心必然在过且垂直于平面ABC的垂线上，如图，圆的半径可以通过正弦定理得到=2，于是球半径为.故球体积为.2011-12-7 wht解析5.已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（2011辽宁高科理科12）（A） （B） （C） （D）1答案：C.提示：对体进行分割，由A作ANSC于N，连接BN，以截面为底求体积.如图2011-12-3 wht解析6.将4个半径为1的球装入正四面体型容器内，则此容器的最小高度为 .（2011届马瑞瑶问题）答案：.提示：分层处理（1）最上层的小球相当于正四面体内切球，而r=1，从而，所以此小球球心到四面体顶点距离为；（2）中间层是上层小球球心到下面三球球心距离为以2r为棱长的正四面体的高；（3）最下层是下层球心到底面距离为r=1.故整个大正四面体容器的最小高度为3+1=4+.说明：立体几何的接切问题最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.2011-12-6 wht再解析7.在四面体中，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（源自2012届育才高中部五模理科11题）A. B. C. D.答案：D.方法一：还原到几何体中依据已知条件研究各个棱长得出SB=，联想到正方体的棱间关系，容易将图形还原到原几何体正方体中.如图问题迎刃而解.方法二：若是不能还原到正方体，我们也可以这样考虑：计算得出SO1在面ABC内的射影到O1的距离为1，即DO1=1，刚好为小圆的半径，SD为球的一条弦，计算其长度为.从而可求得球的半径为，下同上.点评：利用圆的截面性质找圆心是必须掌握的能力。8如图，平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为（源自2012届育才双语高三理科最后一卷）A B C D答案：A . 球心如何确定？主要依据是球的界面性质：过截面圆心与截面垂直的直线必过球心.球心在过BC中点的平面BCD的垂线上，且在过BD中点M的平面ABD的垂线上，两面垂直，所以两垂线交点为N，于是半径可定，体积易算，如图另外：如果注意到CDAD，ADAB，联想到长方体中的棱的特征，不难有补体的想法，如图（2012-12-17再次输入）2012-5-28 wht变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AC=，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（源自2013年高一期末检测题T12）A. B. C. D.答案：A.提示：补成长方体得解.2013-1-21 wht9.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .答案：.设外接球半径为R，在OO1A中有解得.说明：在本题的解决上学生不易判定出球心在体外这一事实.2012-9-11 wht10高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（源自2011年重庆9题）A B C1 D答案：C.提示：由正方形边长为1及球半径为1得出球心到正方形的距离为，而锥高为，顶点S在球心O与正方形所在截面圆圆心O连线的中垂面上【不可能在其他位置的原因是】，如图，这样问题变得非常简单答案与半径等长.2012-12-17wht再次输入11.已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .（源自鞍山一中模拟）答案：.提示：如图：设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=.由于对称性可得第五个球的球心O在