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第 10 卷第 6期 2011 年 12月 淮阴师范学院学报 自然科学 JOURNAL OF HUAIYIN TEACHERS COLLEGE Natural Science Vol110No 16 Dec 2011 几类变系数常微分方程通解的求法 王小才 吴延东 淮阴工学院 数理学院 江苏 淮安 223003 摘 要 利用几种变换方法 给出了一些具有特殊形式的变系数微分方程求解方法 并通过实 例说明了方法的可行性 有效扩充了变系数微分方程可解范围 关键词 常微分方程 变系数 通解 变换 特征方程 中图分类号 O175 1 文献标识码 A 文章编号 1671 6876 2011 06 0476 06 收稿日期 2011 07 20 作者简介 王小才 1981 男 江苏沭阳人 讲师 博士 主要从事动力系统 KAM 理论的研究 0 引言 早在 1841 年法国数学家刘维尔 Liouville 指出 绝大多数微分方程不能用初等积分求解 人们能够 用初等积分法求解的微分方程很有限 目前 人们已经彻底解决了常系数线性微分方程的求解问题 但 是 对于变系数常微分方程 至今没有找到求其通解的一般方法 近年来 关于变系数微分方程解法的相关研究 已经有了一些结果 3 8 这些结果提供了求解变系数 微分方程问题一些新的途径 方辉平 3 等人将二阶的变系数齐次微分方程转化成 Riccati 方程 并且研 究了 Riccati 方程求近似解的方法 从而给出了求二阶的变系数齐次微分方程初值问题近似解的一种方 法 方书盛 4 运用微分算子运算的基本原理 给出了求解变系数微分方法的算子求法 文 4 的解法具 有一定的应用价值 但解法的计算公式较复杂 使用不够方便 杜庆 7 研究了形如 yd p x y q x 0 的二阶变系数微分方程 在已知一个特解 y1 x 的情况下 通过线性变换 找到了一个既与 y1 x 线性无关又可由变系数 p x q x 共同表出的特解 y2 x 从而使二阶变系数线性非齐次常微 分方程的通解可用其变系数 p x q x 明确地表达出来 顾 8 运用常数变易法研究三类二阶变系数线 性微分方程的求解问题 本文对变系数微分方程的求解问题作了进一步的研究 给出求变系数常微分方程通解的四种解法 并且对方程的可解类型也作了初步的归纳 1 主要解法 解法 1 置换法 在微分方程F x yc yd y n 0中 我们通常把y 作为自变量的x 的函数 在某些情况下 颠倒 过来看 可能会有意想不到的效果 也就是 把 x 看成是y 的函数 原方程可能就变成我们熟悉的某一类 微分方程 结论 1 考虑方程 yd c1x y yc 3 c2yc 2 1 其中 c1 c2是常数 若把 x 看成是y 的函数 则方程 1 可以化为二阶常系数线性微分方程 d 2x dy 2 c2 dx dy c1x y 所以方程 1 可解 证明 因为dy dx 1 xcy 这里为了方便记 xc y dx dy 所以 xc y dy dx 1 两边再对 y 求导 得 xdy dy dx xc 2 y d 2 y dx 2 0 即 d 2 y dx 2 x c c y xcy 3 2 把 2 代入 1 可得 x x y 满足的微分方程为 d 2 x dy 2 c2 dx dy c1x y 3 式 3 是二阶常系数线性微分方程 它一定可解 所以原方程一定可解 应用举例 例1 求 yd 2e 2y 4x yc 3 4yc 2 的通解 解 把dy dx 1 xcy 和d 2y dx 2 x c c y xcy 3代入原方程 可得 x x y 满足的微分方程为 d 2 x dy 2 4 dx dy 4x 2e 2y 4 式 4 是二阶常系数线性微分方程 容易求得方程 4 的通解为 x C1 C2y e 2y y 2e2y 注意到 y 0 是原方程的特解 所以原方程的通解为 y 0 和 x C1 C2y e 2y y 2e2y 其中 C1 C2为任意常数 解法 2 线性变换法 从 变化中寻求不变0 是发现新问题的一种重要的数学方法 一个从形式上看是变系数的微分方 程 寻找一个适当的线性变换 y a x u 把变系数的微分方程化为常系数线性微分方程求解 我们从简单的二阶变系数线性微分方程 yd p x yc q x y f x 5 入手 在系数 p x q x 满足什么条件时 可经过一个适当的线性变换 y a x u 化为常系数微分方 程 一个自然的想法就是把线性变换 y a x u 代入 5 可得 a x ud 2ac x p x a x uc ad x p x ac x q x a x u f x 6 要使 6 式成为常系数线性微分方程 应选取适当的 a x 使得 ud uc u 的系数均为常数 特别的 令 uc 的系数为零 则有 2ac x p x a x 0 选取 a x e 1 2Q x x0 p x dx 这里可根据具体情况选取适当的 常数 x0I R 再代入 6 式 得 ud q x 1 4 p 2 x 1 2 pc x u f x e 1 2Q x x0 p x dx 当I x q x 1 4 p 2 x 1 2 pc x 为常数的时候 方程 5 在变换 y e 1 2Q x x0p x dxu 下 就可化为常系数线性微分方 程 这样 我们得倒了下面的结论 结论 2 若方程 5 的系数 p x q x 满足 I x q x 1 4 p 2 x 1 2 pc x S K K为常数 则方程 5 在变换 y e 1 2Q x x0 p x dxu 下化为 ud K u f x e 1 2Q x x0 p x dx 所以原方程 5 可解 应用举例 477 第 6 期王小才等 几类变系数常微分方程通解的求法 例2 求 x 2yd xyc x 2 1 4 y 2x 3 2ex 的通解 解 原方程可化为 yd 1 xyc 1 1 4x 2y 2x 1 2ex 所以 p x 1 x q x 1 1 4x 2 因为 I x 1 1 4x 2 1 4 1 x 2 1 2 1 x 2 1 为常数 令 y e 1 2Q 1 xdxu 1 x u 原方程可化为常系数齐次方程 ud u 2e x 7 易得方程 7 的通解为 u C1cosx C2sinx e x 其中 C1 C2为任意常数 代回原变量 得原方程的通解为 y C1 cosx x C2 sinx x e x x 进一步的 我们还可以考虑下面的二阶变系数线性非齐次微分方程 a x yd p x yc q x y f x 8 结论 3 若存在常数 c1 c2使得 p x 2ac x c1a x q x ad x c1ac x c2a x 则方程 8 在线性变换 u a x y 下也可以化为常系数线性微分方程 ud c1uc c2u f x 所以方程 8 可解 应用举例 例3 求 ydcosx 2ycsinx 3ycosx e x 的通解 解 因为存在常数 c1 0 c2 4使得 2sinx 2cosc x 0 cosx 3cosx cosd x 0 cosc x 4cosx 令 u ycosx 原方程化为 ud 4u e x 9 易得方程 9 的通解为 u C1cos2x C2sin2x 1 5 e x 其中 C1 C2为任意常数 代回原变量 得原方程的通解为 y C1 cos2x cosx 2C2sinx 1 5cosx e x 解法 3 引进中间变量法 在第二类可解的变系数微分方程中 我们是用线性变换 y a x u 把原方程化为常系数的微分方 程 下面 我们通过复合变换 引进中间变量的方法把一部分变系数的微分方程化为常系数微分方程 具体做法是 把y 看成是关于中间变量u 的函数 再把 u看成是关于变量x 的函数 则由复合函数求 导公式可得 478 淮阴师范学院学报 自然科学 第 10 卷 dy dx dy du du dx 10 d 2 y dx 2 d 2 y du 2 du dx 2 dy du d 2u d 2x 11 在 10 和 11 式中 通过寻找适当中间变量 u u x 把变系数的微分方程化为常系数微分方程 考虑下面的二阶变系数微分方程 a x yd b x yc y f x 12 将 10 11 代入 12 得 a x uc 2d2y du 2 a x ud b x uc dy du y f x 令dy du 的系数a x ud b x uc 0得 uc e Q x x 0 b x a x dx 这样我们可以得到下面的结论 结论 4 若方程 12 的系数 a x b x 满足 a x e 2 Q x x 0 b x a x dx S K 13 是非零常数 则方程 12 在变换 u Q x x0e Q x x0 b x a x dxdx 14 下化为线性常系数方程 Kd 2 y du 2 y f x u 所以原方程 12 可解 注 方程 12 的形式具有一般性 对于一般形式的二阶变系数线性微分方程 yd p x yc q x y f x 当 q x X 0时 方程两边同时除以 q x 就可以化为形如 12 的微分方程 应用举例 例4 求 x 2 1 yd xyc y 2ln x x 2 1 的通解 解 因为 x 2 1 e 2 Q x 0 x x2 1 dx x 2 1 e ln x2 1 S 1 令 u Q x 0 e Q x 0 x x2 1 dx dx Q x 0 1 x 2 1dx ln x x 2 1 则在变换 u ln x x 2 1 下 原方程化为 d 2y du 2 y 2u 15 易得方程 15 的通解为 y C1cosu C2sinu 2u 代回原变量 得原方程的通解为 y C1cosln x x 2 1 C2sinln x x 2 1 2ln x x 2 1 其中 C1 C2为任意常数 解法 4 降阶法 479 第 6 期王小才等 几类变系数常微分方程通解的求法 在前面讲的几大类可解的变系数微分方程解法中 主要想法是通过一个变换化原方程为常系数微 分方程求解 最后 我们再介绍一种常用处理的方法 降阶法0 这里我们考虑二阶变系数非齐次线 性微分方程 yd p x yc q x y f x 16 若存在一个形如 u yc A x y 17 的变换 把方程 16 化为一阶线性微分方程 uc B x u f x 18 则方程 16 是可解的 此时系数 p x q x 满足下面的条件 p x A x B x q x Ac x A x B x 19 消去 B x 得 Ac x A 2 x p x A x q x 20 那么关键问题就转化为能否从 20 式中解出A x 如果我们可以从 20 式中解出 A x 代入 19 式 就可以得到 B x 当 B x 确定下来 我们可以 18 式中解出 u x e QB x dx Q f x eQ B x dxdx C 1 21 再把 21 代入 17 式 可得方程 16 的通解为 y x e QA x dx Q u x eQ A x dxdx C 2 其中 C1 C2为任意常数 所以我们有下面的结论 结论 5 如果方程 20 有解 A x 则方程 16 有通解 y x e QA x dx Q u x eQ A x dxdx C 2 其中 u x e Q p x A x dx Q f x eQ p x A x dx dx C1 这里 C1 C2为任意常数 一般而言 一阶非线性方程 20 很难求解 事实上 20 是著名 Riccati 方程 Liouille 早在 1841 年就 证明了在一般情况下Riccati 方程不能通过初等积分法求解 但这并不是说所有Riccati方程都不可用初 等积分法求解 当 p x q x 有特定关系时 方程 20 是可解 例如 结论6 如果方程 16 的系数p x q x 满足下面5个条件中的任何一个条件 则方程 16 可解 1 存在常数 K使得 K 2 K p x q x 0 2 存在常数 K使得pc x K 2 K p x q x 22 特别的当 K 0 时 条件 22 变为 pc x q x 3 p x xq x 4 I q x 1 4 p 2 x 1 2 pc x 是常数 5 存在常数 K使得 q x K e 2 Q x x0p t dt 23 特别的 当 K 0 时 条件 23 变为 q x 0 证明 1 若 p x q x 满足 K 2 K p x q x 0 其中 K是常数 则方程 20 有特解 A x K 480 淮阴师范学院学报 自然科学 第 10 卷 2 若 p x q x 满足 pc x K 2 K p x q x 其中 K是常数 则方程 20 有特解 A x p x K 3 若 p x q x 满足 p x xq x 则方程 20 有特解 A x 1 x 4 若 I q x 1 4 p 2 x 1 2 pc x 是常数 则令 z A x 1 2 p x 方程 20 可以化为变量可 分离方程 zc z 2 I 24 从 24 式中取一个特解记为 z x 则方程 20 有特解 A x z x 1 2 p x 5 令 A x e Q x x0 p t dtz 代入 20 得 dz dx e Q x x0 p t dt z2 K 25 方程 25 是一个变量可分类方程 取它的一个特解记为 z x 则方程 20 有特解为 A x e Q x x0 p t dtz x 再由结论 5 如果方程 20 可解 则方程 16 也可解 所以结论6 得证 应用举例 例5 求d 2 y dx 2 1 x dy dx 1 x 2y e x x 1 的通解 解 显然 p x 1 x q x 1 x 2 满足 p x xq x 所以方程 20 有特解 A x 1 x 代入 式 19 可得 B x 0 从 18 式解出 u x e x C1 所以原方程通解为 y x e QA x dx Q u x eQ A x dxdx C 2 eQ 1 xdx Q xe x C1 eQ 1 x dxdx C 2 x e x C1lnx C2 2 结束语 由于求变系数常微分方程的通解相当困难 本文给出了一些特殊形式的变系数常微分方程的通解 求法 并且用实例说明求解方法可行 对研究变系数微分方程求解问题有一定参考价值 参考文献 1 东北师范大学数学系 常微分方程 M 北京 高等教育出版社 1982 2 丁同仁 李承志 常微分方程教程 M 北京 高等教育出版社 2004 3 方辉平 叶鸣 二阶变系数齐线性常微分方程的求解 J 重庆工商大学学报 2011 2 14 17 4 方书盛 变系数线性微分方程算子解法的推广 J 汕头大学学报 2011 2 18 26 5 赵玉海 一类变系数线性微分方程初值问题的连续解 J 数学学习与研究 2011 2 102 103 6 李中平 用观察法求二阶变系数齐线性方程的非零特解 J 高等数学研究 2010 3 24 25 7 杜庆 二阶变系数线性非齐次微分方程的通解 J 天津工程师范学院学报 2010 4 49 50 8 顾建吾 张亭 二阶变系数线性微分方程求解的几点研究 J 南通职业大学学报 2010 3 76 78 下转第 486 页 481 第 6 期王小才等 几类变系数常微分方程通解的求法 Research the Principal Ideal and Quotient Ring of Gaussian Integral Domain WANG Xiao juan XinJiang Mechano Electrical Vocational and Technical Insititute Urumqi Xinjiang 830011 China Abstract The definition and some properties of the quotient ring the unit and the simple element of Gauss inte gral ring are discussed element numbers of the quotient ring of Gauss integral ring is researched and proves one of the two conjectuires of Arch with a new and elementary method In light of the Gaussian integral domain the num ber of elements of its ring of quotients is m 2 n 2 Key words gauss integral ring id