2.平面几何解题的基本方法——分析法.doc

数学2012级 初等几何研究 第一章 中学几何证明第一节 分析法与综合法 在逻辑学中，所谓分析，就是把思维对象分解为各个组成部分、方面和要素，分别加以研究的思维方法它在思维方式上的特点，在于它从事物的整体上深入地认识事物的各个组成部分，从而认识事物的内在本质或整体规律；所谓综合，是在思维中把对象的各个组成部分、方面、要素联结和统一起来进行考察的方法它在思维方式方面的特点是在分析的基础上，进行科学的概括，把对各个部分、各种要素的认识统一为对事物整体的认识，从而达到从总体上把握事物的本质和规律的目的 在数学研究及学习中，把分析与综合的思维方法运用到几何的逻辑证明或推导中，就形成了求解几何问题的分析法与综合法 分析法是由命题的结论入手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程 综合法则是由命题的题设人手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。 无论是分析法还是综合法，都要经历一段认真思考的过程分析法先认定结论为真，倒推而上，容易启发思考，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，了解思维的过程；综合法由题设推演，支路较多，可以应用的定理也较多，往往不知应如何迈步，这是它的缺点，而优点在于叙述简明，容易使人理解解题的步骤1 分析法在由结论向已知条件的寻求追溯过程中，由于题设条件的不同，或已知条件之间关系的隐蔽程度的不同等，寻求追溯的形式、程度有差异，因而分析法常分为选择型分析法、可逆型分析法、构造型分析法、设想型分析法等几种类型1.1 选择型分析法选择型分析法解题，就是从要求解的结论B出发，希望能一步步把问题转化但又难以互逆转化，进而转化为分析要得到结论B需要什么样(充分)的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向择优假设有条件C就有结论B，即C就为选择找到的使B成立的(充分)条件(CB)；同样地，再分析在什么样的条件下能选择得到C，即DC，最终追溯至此结论成立或原命题的某一充分条件(或充分条件组)恰好是已知条件或已知结论A为止在运用选择型分析法解题时，常使用一系列短语：“只需即可”来刻画。具体来说，若可找到DB，而题目欲证“A B”，则只需证“AD”即可例1 如图1，四边形ABCD的一条对角线BD平行于两对对边之交点的连线EF，求证：AC平分BD. 分析 欲证的是线段等量关系，可试运用成比例线段转化为探讨，但又不易直接证(若作辅助线证另当别论)，从而运用分析法来求解证明：设AC交BD于M，交EF于N，则要证明BM=MD，作为方向猜测，只须证明EN=NF或即可.但是这并不容易，调整方向：欲证BM=MD，只须证明BM2=MD2或即可.而，从而，从而只须证明即可.这又只须证明即可，而EF，故结论获证.注：在寻找追溯中间环节的充分条件时，若某一环节的充分条件不止一个，常表明这道题的证法不止一种.例2 如图2，已知ACE=CDE=90，点B在CE上，CA=CB=CD，过A，C，D三点的圆交AB于F. 求证：F为CDE的内心. 分析 要证F为CDE的内心，只需要证（1）DF平分CDE；（2）CF平分DCB.对于（1）比较容易：由于A，C，F，D四点共圆，则CDF=A，而题设知A=45，即可得证；对于（2）只须证明DCF=FCB，要证明这两个角相等，你有几种思路？1） 只需证明DCFBCF即可.因为CD=CB，FDC=FBC=45，还需证明DF=BF.BDF=DBFBDC=DBCCB=CD是已知的. 故结论获证.2）只需证明DCF=DCB即可. 而DCF=180CDFCFD=135CFD，即CFD=135DCF，只需证明CFD=135DCB即可.由于A，C，F，D四点共圆，有CFD=180CAD=180（90ACD）=90+ACD=90+（90DCF）=135DCF. 故结论得证.3）设BC交圆于M，则只需证明弧DF=弧FM即可. 这又只需证明DF=FM即可，而又只需证明FM=FB，且DF=FB即可.由1）已证得DF=BF. 要证明FM=FB，只需证明FMB=FBM=45即可，因为FMB=MCF+MFC=MAF+MAC=45=FBM，所以结论得证.4）由三角形内角平分线性质定理的逆定理，只需证明（其中G为CD与AB的交点）即可.而由ACGDGF，有，则只需证明AC=AB，且BF=DF这些或已知，或已证.故结论获证.1.2 可逆分析法如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都是推求的等价（充分必要）条件，那么这种分析法又叫做可逆分析法. 因而，可逆分析法是选择型分析法的特殊情形，运用可逆分析法证明的命题运用选择型分析法一定能证明，反之用选择型分析法证明的命题，用可逆型分析法则不一定能证明.可逆型分析法的证明中，常用符号“”来表示，或用一系列“则需证”来表示，并最后指出“上述每步可逆，故命题成立”.例3 直角ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长. 求证：.证明：由于.欲证不等式（1）而在直角ABC中，则（1）这最后的不等式显然成立，故命题得证.例4 凸四边形的四边边长分别为a，b，c，d，两对角线长为e，f，则四边形的面积为.证明：欲证，则需证.注意计算四边形的另一种形式的面积公式（由三角形面积公式推导而来）两对角线夹角为时，则需证明.即 .再注意到三角形中的余弦定理，对于图6有，则 .当两对角线夹角为的补角时， .注：此例的结论称为布瑞须莱德尔公式.1.3 构造型分析法如果在从结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需采取相应的构造型措施：如构造一些条件，作某些辅助图形等，进行探讨、推导，才能追溯到原命题的已知条件（或稍作变形处理）的分析法又叫做构造分析法.例5 如图7，AD是ABC的中线，任意引直线CF交AB于F，交AD于E，求证：.分析：注意到题设中有中点，而求证式是一个比较特殊的比例式，需要转化来求解.证法1 欲证，只需证明即可. 若延长ED至H使得DH=ED，则只须证明FEBH.而由题设可知BC与EH互相平分，所以BHEC，即BHFE. 故命题得证.证法2 欲证，只需证明即可. 若取FB的中点N，则只需证明DNEF.因为D是BC的中点，所以DNCF，即DNEF. 故命题得证.例6 设凸四边形ABCD的边长分别为a，b，c，d，两条对角线长为e，f.求证：.分析：欲证 ，只需证明.与例4类似，这种形式符合三角形中的余弦定理的形式，只是需要对原图形分析比较，在构造出一个顶角大小为A+C的三角形，且这个角的两夹边应等于，.而这只需作相似三角形即可. 如图8，在BC，CD边上向外作BECCDA，作CFDABC，则有FCE=A+C，且，于是，此时，只需证明EF=BD即可. 这又只需证明DBEF是平行四边形即可.而由BECCDA，CFDABC可得到另外还需证明BEDF，这又只需证明EBD+BDF=180即可.因为EBD+BDF=EBC+CBD+BDC+CDF=ACD+ACB+CBD+BDC=BDC+CDB+CBD=180.故原命题得证.注：（1）此例是布瑞须莱德尔发现的“四边形余弦定理”；（2）由此定理可得托勒密定理：在四边形中，并且等号当且仅当四边形内接于圆时成立.1.4 设想型分析法在向已知条件追溯的过程中，借助于有根据的设想、假定，形成“言之成理”的新构想，再进行“持之有据”的验证，逐步找出正确途径的分析法又称为设想型分析法.在求解一些关于位置关系、轨迹、作图等问题时，常采用这种方法. 例7 在一个已知锐角三角形的三边上各找一点，使以这三点为顶点的三角形周长最小.分析：我们设想所求的三点组成的周长最小的DEF是一个特殊的三角形，即D，E，F是ABC三边上的特殊点，比如三边的中点，三高的垂足，三条角平分线与对边的交点等. 又从题设条件ABC是锐角三角形，那么应该是三高的垂足（因为三边的中点、三条角平分线与对边的交点对于三角形没有特殊的要求），因为只有锐角三角形，才能保证三高的垂足在三边上.（这种思路常常又称为从特殊出发）从而设想这DEF是一个ABC的垂足三角形. 事实上，当EF固定，要使FD+ED最小，必须且只须FDB=EDC=（光行最速原理），同理DEC=FEA=，EFA=BFD=，则，从而.所以 ，从而可得，.于是 DBFDECAEFABC. 不难验证，只有当D，E，F恰为三高的垂足时才能满足条件.为此进行下列验证：再设BC=a，CA=b，AB=c，AF=z，BD=x，CE=y，由DBFABC，有；同理 ，再由余弦定理可得，同理可得 ，所以D，E，F确为ABC三边上的高的垂足.例8 已知两边求作三角形，使这两边上的中线互相垂直.分析：假定符合要求的ABC已经作出，如图10所示，AB，AC为已知的两条边，BD与CE分别为AC与AB上的中线，且BDCE.现在我们来追溯这个三角形的成图线索. 作出三角形的一条已知的边，例如AC，这较容易，问题在于第三个顶点B的确定. 要确定B点，只需先确定AB的中点E.