2002年北京市东城区中考数学试卷.doc

2002年北京市东城区中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）（2002东城区）在实数，0，3.14，无理数有（）A1个B2个C3个D4个2（4分）（2002东城区）我国某年石油产量约为170 000 000，用科学记数法表示为（）A1.7107吨B1.7107吨C1.7108吨D1.7109吨3（4分）（2002东城区）下列运算中，正确的是（）Aa2a3=a6Ba2a3=aCD4（4分）（2011乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a1）x2+x+|a|1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A1B0C1D1或15（4分）（2002东城区）下列银行标志中，是轴对称图形的个数为（）A1个B2个C3个D4个6（4分）（2002东城区）不等式组的最小整数解为（）A1B0C1D47（4分）（2002东城区）若梯形中位线长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）A6cmB6cmC3cmD3cm8（4分）（2002东城区）方程的解为（）A1，2B1，2C0，D0，39（4分）（2002东城区）下列说法中错误的是（）A一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B每组邻边都相等的四边形是菱形C四个角都相等的四边形是矩形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形10（4分）（2002东城区）点P是ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A2条B3条C4条D5条二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）11（4分）（2002东城区）函数的自变量的取值范围是_12（4分）（2002东城区）2002年5月份，某市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31这组数据的中位数是_13（4分）（2002东城区）分解因式3x312x2y+12xy2=_14（4分）（2002东城区）如图，AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知BAC=80，那么BDC=_度15（4分）（2002东城区）如图，在一段坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（即相邻两株树之间的水平距离）为6米，那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为_米16（4分）（2002东城区）在RtABC中，C=90，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面积是_17（4分）（2002东城区）已知O1、O2的半径都等于1，有下列命题：若O1O2=1，则O1与O2有两个公共点若O1O2=2，则O1与O2外切若O1O23，则O1与O2必有公共点若O1O21，则O1与O2至少有两条公切线其中正确命题的序号是_（把你认为正确命题的序号都上）18（4分）（2002东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：_三、解答题（共6小题，满分48分）19（6分）（2006烟台）计算：sin60+（）020（7分）（2002东城区）如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC21（8分）（2002东城区）在RtABC中，C=90，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2mx+2m2=0的两个根，求RtABC中较小锐角的正弦值22（8分）（2005天水）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的；零售票每张16元，共售出零售票的一半如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？23（9分）（2002东城区）已知如图P是O直径AB延长线上的一点，割线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于点E（l）求证：PAPB=POPE；（2）若DECF，P=15，O的半径为2，求弦CF的长24（10分）（2002东城区）已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=，tanDOB=（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A的横坐标为m，ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当OCD的面积等于，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由2002年北京市东城区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）（2002东城区）在实数，0，3.14，无理数有（）A1个B2个C3个D4个【分析】由于无限不循环小数叫无理数，利用无理数的定义进行判断即可求解【解答】解：在实数，0，3.14，中，根据无理数的定义，则其中的无理数有故选A【点评】此题考查了无理数的概念注意：=2，是有理数2（4分）（2002东城区）我国某年石油产量约为170 000 000，用科学记数法表示为（）A1.7107吨B1.7107吨C1.7108吨D1.7109吨【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便【解答】解：170 000 000=17107=1.7108吨故选C【点评】把一个数写成a10n的形式，叫做科学记数法，其中1|a|10，因此不能写成17107而应写成1.71083（4分）（2002东城区）下列运算中，正确的是（）Aa2a3=a6Ba2a3=aCD【分析】根据同底数幂乘法、负整数指数幂、同底数幂除法性质和分式的加法运算等知识点进行排除法求解【解答】解：A、a2a3=a5，错误；B、a2a3=a1，错误；C、分式相加应先通分，不能直接相加，错误；D、负整数幂是正整数幂的倒数，正确故选D【点评】同底数幂相乘指数相加，同底数幂相除，指数相减，负整数幂是正整数幂的倒数4（4分）（2011乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a1）x2+x+|a|1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A1B0C1D1或1【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去【解答】解：把x=0代入方程得：|a|1=0，a=1，a10，a=1故选：A【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项5（4分）（2002东城区）下列银行标志中，是轴对称图形的个数为（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：观察图形可知第三个图形不是轴对称图形故选C【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形6（4分）（2002东城区）不等式组的最小整数解为（）A1B0C1D4【分析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到最小整数解【解答】解：化简不等式组得，所以不等式组的解集为x4，则符合条件的最小整数解为0故选B【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，再确定最小整数解求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了7（4分）（2002东城区）若梯形中位线长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）A6cmB6cmC3cmD3cm【分析】根据梯形的中位线定理，知梯形的面积=梯形的中位线高根据这一面积公式，列方程求解【解答】解：设高为xcm，则梯形的中位线是2xcm根据梯形的面积公式，得2x2=18，解得x=3（取正值）故选D【点评】本题应用的知识点为：梯形的面积=中位线高8（4分）（2002东城区）方程的解为（）A1，2B1，2C0，D0，3【分析】方程的两个分式具备平方关系，设y=，则原方程化为y2y2=0用换元法解一元二次方程求y，再求x【解答】解：设y=，则原方程化为y2y2=0解得，y1=1，y2=2，当y1=1时，=1，解得x=0，当y2=2时，=2，解得x=经检验0，都是原方程的根故选C【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧9（4分）（2002东城区）下列说法中错误的是（）A一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B每组邻边都相等的四边形是菱形C四个角都相等的四边形是矩形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：A正确，一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形；B正确，每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形；C正确，四个角都相等，四个角的内角和为360，可得到每个内角为90所以为矩形；D不正确，应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分；故选D【点评】本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点10（4分）（2002东城区）点P是ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A2条B3条C4条D5条【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条【解答】解：（1）作APD=CA=AAPDABC（2）作PEBCAPEABC（3）作BPF=CB=BFBPABC（4）作PGACPBGABC所以共4条故选C【点评】本题考查相似三角形的判定的运用二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）11（4分）（2002东城区）函数的自变量的取值范围是x3【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知：3x0，可求x的范围【解答】解：根据题意得：3x0，解得：x3【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数12（4分）（2002东城区）2002年5月份，某市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31这组数据的中位数是31【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数【解答】解：按从小到大顺序排列30，31，31，31，32，34，35，第4个数据即为所求故中位数为31故填31【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数13（4分）（2002东城区）分解因式3x312x2y+12xy2=3x（x2y）2【分析】先提取公因式3x，再运用完全平方公式继续分解【解答】解：3x312x2y+12xy2，=3x（x24xy+4y2），=3x（x2y）2【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止14（4分）（2002东城区）如图，AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知BAC=80，那么BDC=50度【分析】先用切线的性质得出BAD=ACD=90，再用四边形内角和定理得出BOC，BDC可求【解答】解：连接OB、OC，则ABO=ACO=90，BAC+BOC=360（ABO+ACO）=360180=180，BOC=180BAC=18080=100，故BDC=BOC=100=50【点评】本题考查的是切线的性质及圆周角定理，四边形内角和定理，比较简单15（4分）（2002东城区）如图，在一段坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（即相邻两株树之间的水平距离）为6米，那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为米【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可【解答】解：坡度为1：2，=，且株距为6米，株距：坡面距离=2：坡面距离=株距=3（米）另解：CB：AB=1：2，设CB=x，AB=2x，AC=x，=，AB=6，AC=6=3【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决要注意坡度是坡角的正切函数16（4分）（2002东城区）在RtABC中，C=90，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面积是3【分析】易得几何体为圆锥，那么圆锥的侧面积=底面周长母线长2【解答】解：C=90，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=2，侧面积=23=3【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解17（4分）（2002东城区）已知O1、O2的半径都等于1，有下列命题：若O1O2=1，则O1与O2有两个公共点若O1O2=2，则O1与O2外切若O1O23，则O1与O2必有公共点若O1O21，则O1与O2至少有两条公切线其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都上）【分析】本题已知两圆为等圆，当圆心距=1时，两圆相交；当圆心距=2时，两圆外切；当圆心距3时，两圆有外离、外切、相交、内切、内含5种情况需要考虑；当圆心距1时，两圆有外离、外切、相交3种情况需要考虑【解答】解：由题意可得若O1O2=1，则两圆相交，O1与O2有两个公共点，正确；若O1O2=2，则O1与O2外切，正确；若O1O23，则O1与O2有外离、外切、相交、内切、内含5种情况需要考虑，而两圆外离时，是没有公共点的，故错误；若O1O21，则O1与O2有外离、外切、相交3种情况需要考虑，公切线的条数分别是：4、3、2，故至少有两条公切线，正确故正确的是【点评】可以根据圆心的距离判断两个圆的位置关系两圆心距离小于两半径之和，则两圆相交；两圆心距离等于两半径之和，则两圆外切；两圆心距离大于两半径之和，两圆外离18（4分）（2002东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：y=（x3）（x5）【分析】由对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数，可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0），又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3，可得与y轴的交点的坐标为（0，3）利用交点式y=a（xx1）（xx2），求出解析式【解答】解：此题答案不唯一对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0）又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3可得与y轴的交点的坐标为（0，3）设解析式y=a（x3）（x5）把点（0，3）代入得a=解析式y=（x3）（x5）【点评】此题是开放题，解题的关键理解题意还要注意利用待定系数法求函数解析式，当题目中出现二次函数与x轴的交点坐标时，采用交点式比较简单三、解答题（共6小题，满分48分）19（6分）（2006烟台）计算：sin60+（）0【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=2【点评】考查对零指数幂、特殊角的三角函数值的掌握情况及运算能力20（7分）（2002东城区）如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC【分析】首先角平分线的性质得到OD=OE，然后利用其他已知条件可以证明BODCOE，从而不难得到结论【解答】证明：CDAB，BEAC，AO平分BAC，OD=OE，BDO=CEO=90BOD=COE，BODCOEOB=OC【点评】此题主要考查了角平分线的性质，利用它构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质与判定解决问题21（8分）（2002东城区）在RtABC中，C=90，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2mx+2m2=0的两个根，求RtABC中较小锐角的正弦值【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值【解答】解：a，b是方程x2mx+2m2=0的解，a+b=m，ab=2m2，在RtABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，而a2+b2=（a+b）22ab，c=5，a2+b2=（a+b）22ab=25，即：m22（2m2）=25解得，m1=7，m2=3，a，b是RtABC的两条直角边的长a+b=m0，m=3不合题意，舍去m=7，当m=7时，原方程为x27x+12=0，解得，x1=3，x2=4，不妨设a=3，则sinA=，RtABC中较小锐角的正弦值为【点评】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解22（8分）（2005天水）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的；零售票每张16元，共售出零售票的一半如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？【分析】本题的等量关系为：五月份票款数=六月份票款数，但此题的未知数较多，有总票数、团体票数、零票票数、六月份零售票的定价又此题文字量大，数量关系复杂设总票数为a元，六月份零票票按每张x元定价，则团体票数为a，零票票数为a，根据等量关系，列方程，再求解【解答】解：设总票数a张，六月份零售票按每张x元定价，根据题意得：12（a）+16（a）=16（a）+ax，化简得：a+a=a+ax因为总票数a0，所以+=+x，解得x=19.2答：六月份零售票应按每张19.2元定价，才能使这两个月的票款收入持平【点评】拓展：有多个未知数的问题要抓住所求问题设为主元，问题中所涉及的其他未知量设为参量在解方程中必然能消去参量，求出主元x的值同学们掌握了这个方法，就不必再惧怕有多个未知量的问题了23（9分）（2002东城区）已知如图P是O直径AB延长线上的一点，割线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于点E（l）求证：PAPB=POPE；（2）若DECF，P=15，O的半径为2，求弦CF的长【分析】（1）欲证PAPB=POPE，而这四条线段根本构不成相似三角形，因此需要转化，根据切割线定理，PDPC=PAPB，所以原题可转化为证明POPE=PDPC，即证DPOEPC，而这两个三角形现在共用一个角P，且根据弧AD=弧AF=弧DF，可证AOD=DCF即POD=PCE，因此得出相似，从而找出比例线段，得到等积式；（2）由图可知，CF=CE+EF，而由垂径定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通过证明DHODEC，运用比例线段进行求解，至于DE，则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形，而DH和HE则可通过勾股定理求出，从而求出CF的值【解答】（1）证明：连接ODAB是O的直径，且DFAB于D点H，=AOD=DCFPOD=PCEDPO=EPC，DPOEPC即POPE=PDPC又PDPC=PAPB，PAPB=POPE（2）解：由（1）知：AB是弦DF的垂直平分线，DE=EFDEA=FEADECF，DEA=FEA=45FEA=CEP=45P=15，AOD=60在RtDHO中AOD=60，OD=2，OH=1，DH=DHE是等腰直角三角形，DE=又AOD=DCF，DHO=DEC=90，DHODECEC=CF=CE+EF=CE+DE=【点评】此题考查比较全面，相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂径定理，难易程度适中24（10分）（2002东城区）已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=，tanDOB=（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A的横坐标为m，ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当OCD的面积等于，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由【分析】（1）根据tanDOB=可知RtOHB中两直角边的比，又因为OB=10，所以可根据勾股定理求出点B的坐标，进而求出解析式；（2）已知A点横坐标m，代入反比例函数解析式，可求出A点坐标，根据OB=和tanDOB=，可利用勾股定理求出B点坐标；把A、B两点坐标分别代入一次函数y=k2x+b的解析式，解方程组得到k2和b的值（用m表示），然后根据一次函数的性质，求出C点坐标，即得出OC的长，再求出以OC