2007年湖南高考函数复习方向研究湘钢一中谷.doc

函数与三角函数专题复习湘钢一中 谷清华2007年是湖南省自主命题的第四年，前三年湖南高考数学试卷充分发挥了数学作为基础学科的作用，既重视考查中学基础知识的掌握程度，又注意考查学生的学习能力。做到了总体保持稳定，深入能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，形成并呈现出湖南卷的特色。函数是中学数学的核心内容，也是学习高等数学的重要基础。它包括的内容丰富，基础知识点多，几乎涉及到中学数学里所学的数学思想、方法。例如：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论的思想和化归的思想。函数问题的解答中常常用到数学中的典型的基本方法。例如：配方法、待定系数法、数学归纳法、换元法、消元法、反证法、比较法、代入法、基本不等式法等。试题注重函数性质的综合考查，除了常见的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数外，还经常会考到函数和三次函数以及由以上函数复合或运算构成的函数。当今高考更是注重在知识交汇点命题，与函数有关的考题经常与数列、不等式、解析几何的知识综合考查，函数应用题更是考查考生综合运用数学知识、分析和解决问题的能力的重要题型。一、细读考纲，把握方向 在复习迎考过程中，认真研究考纲是高三数学教学必须做的重要工作。一方面要求学生认真理解与函数有关的概念（符号语言、数学语言）；另一方面要求熟练掌握基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、函数图像等基础知识，同时要求学生有从以上几方面研究函数问题的自觉意识。导数可以看成是研究函数的有力工具，要掌握相关的基础知识和公式、法则。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与平面向量、解三角形相联系。复习时可作为学生重要得分点加以落实。二、研究考题，探求规律、关于函数的考查情况请看下面两个统计表。2005年高考函数部分解答题（含导数）卷别题次分值内容全国第六题12函数+导数+归纳法全国第一题12函数+不等式全国第六题12函数+导数+不等式北京第一、六题13/14函数(导数) 函数+不等式上海第五题16解析式、直线及探索性天津第四、六题12/14应用、导数+不等式重庆第三题13函数+导数+分类讨论浙江第二题14函数+不等式福建第三题12切线、性质湖北第一题12函数+导数湖南第六题14函数(导数)广东第五题14函数性质、方程根江苏第四题14函数(导数)最值、方程山东第三题12函数(导数)江西第一题12函数+不等式辽宁第六题12函数(导数)+不等式2006年高考函数部分解答题（含导数）类别题序分值内容全国卷第五题14导数+最值+不等式全国卷第四题12导数+最值+不等式北京卷第二题13导数+极值+方程天津卷第四题12导数+极值+不等式上海卷第六题18导数+值域（创新，类比）辽宁卷第五题第六题24导数+极值+解析几何导数+数列+二项式定理+不等式证明江苏卷第二题第五题30应用题+导数+最值最值+方程浙江卷第二题第六题28函数+不等式导数+数列福建卷第三题第五题24应用题+导数+最值导数+极值湖北卷第四题14导数+极值+不等式湖南卷第四题第五题28导数+数列+不等式应用题+不等式广东卷第六题函数+不等式另外:小题 (选择题与填空题)一般有13题,往往涉及到集合,反函数,函数的性质、连续性、极限、切线方程等基本知识。从表中可以看出以下一些信息:1、题量:大部分是一道解答题外加若干个小题,有时候也会出现两道大题,而分值从二十至三十多分不等。2、考查内容:几乎所有函数部分的知识点都考过,2006年湖南卷理科28分,文科22分,与函数有关的题分值是50多分。这也体现了函数在整个知识体系中的主导地位,但重点是以函数为背景,考察导数的工具性和应用。3、关于难度:从表中可以看出,函数解答题的位置从第16到第21题应有尽有,这也就从一个侧面可以看出,题目的难易程度变化之大,这也是其他知识块所没有的,一般来看,仅涉及函数自身内容如定义域、单调性与奇偶性、图象、反函数等知识点的以容易题居多,而中高档难度题多为与其他知识点的结合,如导数应用、不等式知识、参变量的讨论、向量、方程及数列等。或思想方法的渗透。需要提出的是湖南卷走的是高档题思路。例（2006年 湖南卷理19）已知函数,数列满足:证明:();().试题特点：本题涵盖了函数、导数、不等式证明、数学归纳法等多个知识点，综合性强，对于学生的思维能力、逻辑推理能力、综合运用知识的能力有较高要求，但运算量不大，体现了高考突出考查思维能力的命题思路。本题难度系数：0.158与本题的第一问得起点高有很大关系。4、特点: 函数是高中教学内容的知识主干，是高考考察的重点。函数问题更多是与导数相结合，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出新的综合热点。文科卷中函数与导数的解答题，其解析式只能选择多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及在三角函数中选取。湖南卷连续三年都是导数的应用,且难度较高。在选择题和填空题中更多地涉及函数图象、反函数、函数的奇偶性、函数的极值、函数的连续性和导数的几何意义等重要内容。命题虽然立足于课本,但对课本的知识点进行了深入拓展,如由特殊的对称到一般对称到非三角函数的周期性,由最值到变量分离而确定参数的范围与恒成立问题,等与不等的转换与相互印证。而另一特点:注意创设新情景,在新的背景下的函数思想的考查受到重视,加大了探索题、开放题、应用题的考查力度，对学生的多种能力，包括阅读理解、表述、信息处理及新背景下的学习能力的考查。卷别题次分值内容全国第一题12图象性质+导数全国第三题12三角形+向量+数列天津第一题12三角形内求值重庆第一题13求值浙江第一题14求值福建第一题12求值湖北第二题12解三角形湖南第一题12三角形中变形求角广东第一题12化简、求周期山东第一题12向量+三角江西第二题12三角+向量+导数辽宁第二题12应用、关于三角函数的考查情况请看下面两个统计表。2005年高考三角函数部分解答题2006年高考三角函数部分解答题类别题序分值内容全国卷第一题12三角形内的三角函数+最值全国卷第二题12理：向量+三角+最值文：解斜三角北京卷第一题12三角化简求值天津卷第一题12理：解斜三角形+求值 文：化简求值上海卷第一题12理：函数的性质文：化简求值辽宁卷第一题12三角函数的性质浙江卷第一题14三角函数图象+向量福建卷第一题12三角函数图象+性质湖北卷第一题12三角函数图象+向量平移湖南卷第一题12理：解斜三角形 文：化简求值广东卷第一题14化简求值 求最值注:有个别试卷没有单独解答题1. 从表中可以看出,一般地三角函数在试卷中基本上是一个大题加上一至二个小题,分值在十五至二十分左右,但个别时候没有独立的解答题。2. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去3. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。文科:偏重化简求值,三角函数的图象和性质。理科:偏重三角变换,解斜三角形,与向量相结合,考查运算和图形变换也成为了一个趋势。与函数相比,三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。解斜三角形为考查热点。、关于函数与三角函数近三年湖南高考函数与三角函数统计表年份函数三角导数2004年理19分文17分理13分文15分理19分文16分2005年理13分文18分理14分文16分理19分文14分2006年理12分文21分理21分文16分理11分文12分近年来的高考数学试题，始终坚持以考试说明作为高考命题的依据，从整体来说既有稳定的风格，又有新颖的创意，考查全面、深入改革、强化基础、突出能力。2007考试说明数学科考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养。从研究历届高考数学试题（考试说明具体化）得到的启示，高考试题的主要来自于五个方面：课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。课本与课程标准的交集成为新地带。湖北省2004年第12题，用三角函数模拟港口水深与时间关系，可以看做课程标准中“数学4”参考例案的改编，也可认为源于人教版教科书数学第一册（下）的阅读教材：潮汐与港口水深。高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提供背景。98年向水瓶注水，根据水量与水深的函数关系，判定水瓶的形状，2005年湖南高考填空题第15题是以积分为背景命制的。当新增内容常规化后，竞赛试题将成为一个来源。由此对于高中数学复习提出如下建议：1、切实抓好“三基”，牢固打好数学基础。 回扣课本，浓缩知识，巩固提高回扣课本是高考前的最后一次系统的复习，目的是迅速巩固原有复习效果，特点是速度快、记忆量大，准确度要求高。因此，在复习过程中，一定要要求学生会用自己的简练语言复述、概括课本内容，包括它们之间的一些横向和纵向联系，对于易混淆的问题、典型的例题和自己经验教训要整理出来，以备在需要时能迅速提取。越到最后复习阶段越要从一大堆书本、一大堆笔记中解脱出来，完成由多到少的转变。基本训练要以课本的习题为主要材料,一定要克服”眼高手低”的毛病,在没有扎实抓好基础知识和基本训练之前就去攻难题、搞综合提高,肯定不会有好的效果。在进行解较难题目的训练时,也要不断联系基础知识和基本训练,充分体会基础数学的通性通法在解题目的作用,做到基本知识和基本训练常抓不懈。事实上高考数学试卷中有相当多的试题是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的,其目的在于引导师生重视基础,切实抓好基础知识和基本训练。例：（2006年湖南卷理1）函数的定义域是( )A.(3,+) B.3, +) C.(4, +) D.4, +)例：（2006年湖南卷理4）“a=1”是“函数在区间1, +)上为增函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例：（2006年湖南卷理13）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 . 建立知识结构体系通过对反映相关数学理论的本质属性的许多重要的例题和习题类比、延伸、迁移、拓广,提出新的问题并加以解决,能有效地掌握基础知识,发展数学能力。对基础知识和基本训练的复习,不只是简单重复、加强记忆,重要的是要深化认识,从本质上发现数学知识之间的关系和联系。从而加以分类、整理、综合、构造,形成一个较为完整的知识结构体系。例题:求曲线在点处的切线方程 _。变式一: (全国卷文 （12）)过点作抛物线的切线,则其中一条切线为_(A) (B) (C) (D) 变式二:过点且与相切的直线方程为_。通过比较可以让学生掌握求曲线切线方程的各种情况，准确体会过与在的差别。 重视数学思想方法的渗透基本数学思想方法是在知识的形成的过程中发展,数学能力是在知识、方法和技能的学习过程中提高, 函数部分用函数与方程思想解决取值范围问题，方程是否有解问题。用数形结合思想解决函数图象的运动变化规律及位置关系问题。用分类与整合解决含参函数的单调性问题。用转化与化归思想解决恒成立问题。2、强化重点专题的研究和训练(1)、函数部分求函数的解析式；函数的性质；三个”二次”。(2)、导数部分 高考对导数的要求是淡化理论,注重应用,强化其工具作用。基础知识；单调性；求极值、最值。(3)、三角部分 三角函数的图象与性质； 化简和求值； 三角形中的三角函数； 最值。对高考重点、常考题型进一步总结，强化规律。解法定模，便于考试中迅速提取，自如运用。3、突出函数与不等式，函数与数列，函数与解析几何的融合 高考数学强化了”从科学的整体高度考虑问题,在知识网络交汇点设计试题” 例(2006年湖南卷,理科第8题) 设函数,集合,若,则实数的取值范围( )。A。 B。 C。 D。试题特点:本题是一道考查不等式、导数及集合运算的综合性题目,以选择题呈现探求参数的取值范围,拓宽了解决问题的思路,也体现了对学生理性思维能力的考查。例 (2006年辽宁卷,理科第21题) 已知函数,其中是以为公差的等差数列,且。设为的极小值点,在上,在处取的最大值为,在处取得最小值为,将点依次记为A,B,C。(1) 求的值;(2) 若有一边平行轴,且面积为,求的值。试题特点:本题以三次函数为载体,考查学生利用导数确定函数的极值、闭区间上二次函数的最值、等差数列等基础知识的综合应用,同时也考查了学生运用数形结合的数学思想、解决问题的能力。巧妙地确定B、C两点的坐标是本题的关键所在。4、突出多元联系,培养创新意识让学生养成善于将一个对象以数字的、符号的、式子的、图形的形式表示的习惯,这将有助于将头脑中想到的信息显示和验证。并启发思维,开拓思路,通过主动积极的观察分析和探索活动进行学习和发现。例 (2006年北京卷,理科第16题) 已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像经过点,如图2所示。yxo12(1) 的值; (2) 的值试题特点:本题是以一元三次函数为载体考查函数极值的逆向思维问题,两步设问又相互独立,求解的关键是能根据导函数的图像建立导函数和原函数之间的关系。其主要策略是进行数学中的图形语言、文字语言、符号语言的互译,正确利用数形结合的思想与待定系数法解题。5、突出应用。解答数学应用问题,是创新意识和实践能力的重要表现。学会将实际问题抽象为数学问题例(2006年湖南卷,理科第20题)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0。8,要求洗完后的清洁度是0。99。有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3)。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度。()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。试题特点：本题主要考察实际问题转化为数学问题的能力，以及综合运用函数、不等式、导数等基础知识解决实际问题的能力，试题先给出一个新的概念清洁度，要求学生正确理解新信息并在在新的情景中运用数学知识来分析问题和解决问题，考察学生的知识迁移能力和进入高校后的学习潜力，是一道优秀的应用性试题。总之函数复习要解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示函数与其他知识的内在联系；把握数形结合的方法；认识函数的实质，强化应用意识。考试大纲要求命题者精心设计好三种题，考查数学主题内容，体现数学素质的试题；反映数形运动变化的试题；研究型、探究型、开放型试题。基础知识的问题要靠夯实基础的办法来解决，开放性试题必须用开放性教学来应对。“没有复杂的问题和简单的问题，只有思考过的问题和没有思考过的问题”。因此，一定要学生经历探究的过程，见识必要的题型。四、2007年高考命题趋势：1、函数（1）图象变换，由图象研究得到函数性质研究，如讨论方程根的个数，及解不等式。（2）“三个”二次，可能涉及求变量范围及恒成立问题等（3）三次函数的导数为二次函数，以三次函数为载体考察