高中数学第四章导数应用4.2.2最大值最小值问题学业分层测评北师大版选修.docx

4.2.2 最大值、最小值问题(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件【解析】因为yx281，所以当x9时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值【答案】C2(2016黄山高二检测)函数y()A有最大值2，无最小值B无最大值，有最小值2C最大值为2，最小值为2D无最值【解析】y.令y0，得x11，x21，且当1x1时，y0；当x1或x1时，y0，最大值是f(1)2，最小值是f(1)2.【答案】C3函数y的最大值为()A. BeCe2 D.【解析】令y0.解得xe.当xe时，y0；当0x0.y极大值f(e)，在定义域内只有一个极值，所以ymax.【答案】A4已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()A5B11C29D37【解析】由f(x)6x212x0，得x2，由f(x)0，得0x2，f(x)在2,0上为增加的，在0,2上为减少的，f(x)maxf(0)m3.又f(2)37，f(2)5，f(x)min37.【答案】D5以长为10的线段AB为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()A10 B15C25 D50【解析】设内接矩形一边长为x，则另一边长为，内接矩形的面积Sx(0x10)Sx()x.令S0，得x5.0x10，当x5时，S有最大值，最大值为550.【答案】D二、填空题6函数yx2cos x在区间上的最大值是_【解析】令y12sin x0，得x，比较0，处的函数值，得ymax.【答案】7某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，x(40,60)时，V(x)1或x0；当1x1时，f(x)0恒成立，即函数f(x)在区间1,1上单调递增，故当x1时，函数f(x)取得最小值f(1)20；当x1时，函数f(x)取得最大值f(1)6.10一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【解】设船的速度为x(x0)时，燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k103可得k，Qx3.总费用yx2，yx，令y0得x20.当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增，当x20时，y取得最小值此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小能力提升1已知函数f(x)axln x，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1C(1，) D1，)【解析】f(x)axln x，f(x)1在(1，)内恒成立，a在(1，)内恒成立设g(x)，x(1，)时，g(x)0，即g(x)在(1，)上是减少的，g(x)g(1)1，a1，即a的取值范围是1，)【答案】D2设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h.则a2hV，h.则表面积S(a)3aha2a2.S(a)a.令S(a)0，得a.当0a时S(a)时，S(a)0.当a时，S(a)最小【答案】C3已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_【解析】函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可【答案】(，2ln 224已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围【解】(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.令f(x)0，得x1或x3.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)