线性代数客观题技术.doc

客观题技术1. 选择题技术 选择题的目的是考查基础知识和基本概念(即考察所谓的常识)，因此没有繁杂或困难的题目。对付的办法自然是越简单越好；另外，选择题的特点是四选一，故只要知道其中一个是对的，其余就可以不管了。 例1 下列命题错误的是 。A.若A和B可交换,则AB10和BA10也可交换;B.若A-B和A+B可交换,则A和B也可交换;C.若A和B可交换,则AT和BT也可交换;D.若AB和BA可交换,则A和B也可交换. 解 若每个结论都去辨别真伪，则一道选择题就变成了4道证明题，大大亏本，故需要好办法：常识！当A和B可交换时，一切与A，B有关的矩阵就都可以交换了，因此A，C均正确，可以排除；要从B，D中选择，有两个办法：一是直接计算A-B与A+B的乘积，得(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2，而(A+B) (A-B)=A2-AB+BA-B2,于是A2+AB-BA-B2 =A2-AB+BA-B2，从而2AB=2BA，故B正确，所以选D，但此法显然较麻烦；二是继续发动你的常识：在上矩阵第一节课的时候，老师谆谆教导我们，两个非0矩阵A,B的乘积AB可能等于0，那时老师没说过AB=BA，可见，AB=0,但可能BA0，故D错，选D！ 注解：一般而言，当选择题的选项都是“若,则”之类的命题时，可以选择条件最复杂的选项作为突破口；而且，概率很大地，该选项就是最终的答案。例2 设A,B均为mn矩阵,且矩阵方程AX=B有解，则必有。A. r(A)r(B) B. r(A)r(B)C. r(A)0 D. r(B)0 解 正解(力敌)：由于r(B)=r(AX) minr(A),r(X), 故选B。 巧解(智取)：如果一时半会想不起来正解，可以从最简单处着手，同时取AB0，则方程显然有解，故C，D均错；而A0，B=0时方程依然有解，故A也错，不选B选什么？（不想得分都不可能！）回忆：此法称为排除法。 例3 已知 为三阶方阵，则 。 A.15 B. 9 C. 27 D.-171 解 正解: 巧解：令，则，于是,所以选B。此称为特殊值法。（启示：最简单的就是最漂亮的！） 例4 设 n阶方阵A的各行与各列之和均为0，则 .A. A的秩为0 B. A的代数余子式全相等C. A为对称矩阵 D. A的秩小于n-1 解 此题即使高手亦费思量。此时，A不可逆，故其秩rn-1.如果rn-1,则A的所有代数余子式均为0；如果r=n-1,则r(A*)=1，且向量(1,1,1)T是方程Ax=0的一个基础解系;由于AA*=0,A*的列向量均是方程Ax=0的解，因此A*的每一列中的元素均相等；同理，由于A*A=0,故A*的每一行均为方程yA=0的解，而(1,1,1)是该方程的一个基础解系，故A*的每一行中的元素均相等,从而A*的元素均相等；故应选B。 巧解：取可知A,D均错。满足条件的二阶矩阵均具有形式，此时B,C均正确。故考虑三阶矩阵。由上面的二阶矩阵，可令，它显然满足条件，但非对称矩阵，排除C，选B！ 例5 设为n维向量组，且 ，则 .A. B. C. D. 解 最错的是D(林子越大鸟越多，怎么可能减少呢？)。再错的是B(两片林子合在一起，鸟不会比各自的鸟加起来更多：因为有些鸟属于两片林子！)。于是C也错(两片林子合在一起，鸟可能真会比每一片的鸟都多)。所以选A。(启示：线性代数实际上是逻辑，是常识，是思想和智慧。)例6 设43矩阵A的秩r(A)=2, B=,则r(AB)= . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 正解:注意B是可逆矩阵，因此r(AB)=r(A)（可逆矩阵右乘一个矩阵,相当于对该矩阵实行一系列列初等变换,不改变秩），故选C. 巧解:你知道最简单的43矩阵吗？好，就令A是这个矩阵，即，计算AB可得，幸福！这个矩阵的秩是2！ 例7设是线性方程组Ax=0的解，则系数矩阵A可以取为 。 A B. C. D. 正解:该方程组有3个未知数，而a，b显然线性无关，故一个基础解系至少包含2个向量，从而知道系数矩阵的秩r 3-2=1.纵观四个选项，只有D的秩 1，故选D。 巧解:容易想到将两个解a与b代入,此时悲剧发生:因为a确实满足A(验证了四次!),b也满足前两个方程,此时若将A选定,则非常不幸.但注意到a和b的特殊关系,懒人可以用懒办法(此懒办法是思考的结果):也是方程的解,于是系数矩阵的第二列必须都是0!例8 设则的特征值之和为 . A.10 B.20 C.23 D.83 解 正解：特征值之和等于迹即对角线元素之和。如何求对角线元素之和呢？即使是老老实实做，也不至于去求AI以及乘积吧！如果必须要做乘法，我们当然愿意用0矩阵乘，但此处无0矩阵；所以我们愿意用单位矩阵乘或用一个矩阵去乘它的逆矩阵，这个愿望看来较为现实。改造，可得,幸福再次降临！选C。 巧解：要求对角线元素之和。故扔掉所用非对角元素试试：如此，而于是故美丽的线性代数！ 例9 设有三条不同的直线，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的行列式等于-3, 则这三条直线可能的位置关系是 。A. 两条重合且与另一条相交 B. 两两相交但不共点C. 均不重合且交于一点 D. 三条均平行但不重合 解 正解：系数矩阵的秩为2，表明三条直线至少有两条不平行，故D错；增广矩阵的秩为3，故三条直线均不重合，A错；另外，由于增广矩阵不等于系数矩阵的秩，故方程组无解，即三条直线不能相交于一点，故C错；选B. 巧解：按题意，选取最简单的三条直线如下：,此时,系数矩阵的秩为2,增广矩阵的秩为3,恰好对应选项B. 例10 若是齐次方程组的基础解系,则还有一个基础解系是 。A.B. C.D. 解 需要找到四个线性无关的解。显然四个选项中的向量全部为解向量。但A中的向量之和为0，故线性相关；向量组B与题目中的组等价，故为基础解系，选B.(继续下去有,C中的向量线性相关:前二者之差等于后二者之差;D中缺少,当然也线性相关.)总结: 对付选择题,尽可以八仙过海，各显神通.但基本概念与理论必须融会贯通方能达到美妙的境界。2. 填空题技术 首先要明白填空题的目的是考察基本计算能力，仅涉及简单的计算技巧，比选择题要求高，需要对整个课程的基本内容有较好的了解，方能取得理想的成绩。个别题目可以使用类似于选择题的特殊办法。但总体属于计算题的范畴，极易失分，须特别仔细。 对策:大多数填空题包含一个简单的技巧,通常可以通过恒等变形化成较为简单的形式. 例1 设44矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|= . 正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解：正解令人羡慕，但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的.于是,故AB6。 例2 设，是的代数余子式(i=1,2,3,4), 则 。 解：就是第二列的代数余子式的和，即将原行列式的第二列统统换为1所得到的行列式的值，从而 例3 已知则A= . 解 此题考查分块矩阵，正交矩阵以及逆矩阵，属于填空题中偏难的题目；但由于可以直接计算，故难度降低(应出一个四阶矩阵的题目)。分块变形可得则B是正交矩阵,C=(2),从而C1 =(1/2),因此. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|= . 解 此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解，你想到了吗？对！就让A是那个满足条件的最简单的矩阵！ 例5 设nm矩阵A的秩序为k(m),则齐次线性方程组AX=0中独立方程的个数有个,多余方程有个,其基础解系含个解向量。 解 此题好.我们平时所讨论的方程组AX=0中一般均假定A为mn矩阵,现在反过来了.因此概念要清楚:本题的方程组共有n个方程,m个未知数.故有k个独立的方程,n-k个多余的方程,m-k个解向量. 例6 若三阶方阵A的特征值为-1,0,1,则与方阵B=A3-A+2E相似的对角矩阵为 . 正解 需要知道方阵B的特征值.因为B是A的多项式,所以其特征值是A的特征值的相应的多项式的值,即B的特征值为(-1)3-(-1)+2=2,03-0+2=2,13-1+2=2,于是所求矩阵为2E. 巧解 取最简单的A，即Adiag-1,0,1,于是B=diag-1,0,1-diag-1,0,1+2E=2E, ok. 例9 设A，B，C均为n阶方阵且ABCE，则BT(CA)T = 。 正解 由矩阵的转置可知BT(CA)T =(CAB)T ,所以需要理解CAB:由条件知C是AB的逆矩阵,因此CAB=E,所以(CAB)T =E.(说实话,一眼便知此题和矩阵A，B，C没什么关系,因此除了E外,还有什么可填的?) 巧解 取ABCE。为什么不？！例10 若n阶方阵A满足A2-2A-E0，则(A-3E)-1= . 解 (A-3E)(A+E)= A2-2A-3E=-2E,所以(A-3E)-1=-(A+E)/2.(此种题目的答案显然与A有关，巧解不适合.)例11 设a1=(2,1,1)T, a2=(-1,2,7)T , b=(1,2,t)T. 若b可由a1, a2线性表示，则t= . 解 此时三个向量线性相关，故必有a1，a2，b= 0, 即,所以t=5.例12 设齐次线性方程组有非零解，则t满足的关系是 。解 此时系数行列式必为0，所