基于平面四分之一车辆模型的麦弗逊悬架的运动学及动力学分析.docx

基于平面1/4车辆模型的麦弗逊悬架的运动学及动力学分析麦弗逊悬架的非线性非对称问题成为了其系统模型建立过程中的一个具有挑战性的问题。本文提出了一种平面1/4车辆模型，不仅考虑了簧上质量（底盘）的竖向振动，同时也包括了：i簧下质量（车轮总成）的滑动和转动；ii纵向的车轮质量及其转动惯量；iii轮胎阻尼和侧向挠度。此动态运动学模型为传统1/4车辆模型的两个重要缺点提供了一个解决方案：它解释了几何造型和轮胎建模。本文提供了该平面模型的系统发展以及完整的数学方程。这种分析模型可以适用于硬件在环应用的快速计算中。除此之外，该模型还给出了一种可重复的Simulink仿真实现。该模型已经与实际的Adams/View仿真进行了对比，以分析车轮的振动和回弹运动、以及两个相关运动参数：外倾角和轮距变化的动态特性。关键词：悬架，建模，麦弗逊悬架，多刚体系统，非线性模型，仿真1.引言底盘支承车轮总成控制臂图1 麦弗逊悬架由于麦弗逊悬架具有重量轻、体积小、成本低的特点，因此被广泛应用于中小型车辆。1这种悬挂系统（图1）包括一个悬挂臂或者控制臂、以及一个稳固地连接在车轮总成上的支柱。根据这样的几何结构，道路路面扰动引起外倾角和轮距的大而不对称的变化使车轮产生竖向振动，这也与产生轮胎磨损和方向不稳定性的密切相关。2,3当前对于主动或半主动悬架的系统的广泛研究主要集中在对控制策略的分析，以提高乘坐舒适性、操纵稳定性以及行驶品质。4-9尽管如此，开发高性能的悬架控制系统仍然需要可靠的悬架模型。即便有着这样的重要性，也很少有产品是着重于研究动态运动学悬架建模的。10,11麦弗逊悬架的可变几何结构导致了它在运动学和动力学上的非线性特性，这种非线性特性是不能用传统1/4车辆线性模型12-14进行分析的，因为它忽略了悬架的实际结构的影响。15对于线性模型的一些改进可以通过把包含几何特征的刚度等效参数和衰减系数作为车轮位置的函数来实现。16,17此外，在大多数采用线性模型的产品中，在建模时轮胎动态被视为一个单轴弹簧，同时忽略了纵向阻尼和侧向挠度。4,18二维模型可以捕获到麦弗逊悬架的非线性几何效应。19-22此外，轮胎垂直阻尼和横向偏转已经被一个系统响应明显的双横臂悬架平面模型所包含。11在麦弗逊悬架中，这有着更加特殊的联系。悬架的几何参数的微小变化，将会极大地影响运动学和动态响应。23,24然而，在麦弗逊悬架的二维动态模型中，还没有考虑由悬架机构引起的轮胎阻尼和横向偏转。20-22数学的三维模型已经被提出并用于研究麦弗逊悬架的运动学。1,10,24-26然而，三维动力学模型是一个复杂的问题，并且根据估计，建模也会变得非常昂贵。27在这种意义上讲，解析平面模型能够为硬件在环应用提供一个更简单、更快速的实现方式。在以前的工作中，作者为二维麦弗逊悬架模型提出了一个初步的分析开发，以计算几何结构以及轮胎侧向刚度。28该模型考虑了簧下质量（车轮总成）在实验中的二维的转动和滑动。此外，该模型采用的是纵向车轮的转动惯量。本文以以下成果拓展了28：提供了平面模型的系统发展以及完整的数学方程。一种可重复的Simulink仿真实现。对悬架不同关键点和参数的新的实验结果，并与实际的Adams/View仿真进行对比，以分析车轮的振动和回弹运动、以及两个相关运动参数：外倾角和轮距变化的动态特性。本文的其余部分组织如下：第2章为基于运动学-动力学方程组的平面模型的建立；第3章为对于本模型的Simulink仿真以及将用Adams/View开发的验证模型进行对比作为一个案例进行研究；第4章为结论。2.麦弗逊悬架的平面模型图2(a)为该模型的一个示意图，图中麦弗逊悬架系统的主要组成有：底盘（簧上质量），控制臂，支承，车轮总成（簧下质量）。簧上质量的位移为Zs，簧下质量的位移为Zu，路面扰动为Zr，其他符号的意义见表1。表1 模型参数Ks/Nm-1悬架刚度Bs/Nsm-1悬架阻尼Kt/Nm-1轮胎垂直刚度Ktl/Nm-1轮胎侧向刚度Bt/Nsm-1轮胎阻尼图2 非线性模型的示意图(a)及其机构运动简图(b)相应的机构运动简图见图2(b)，该机构为一个四杆机构。其中悬架关键点为M、Q、P、C、T和N。参考坐标系的原点为Q，并且它的Y轴和Z轴分别与水平方向和竖直方向对齐。对应于系统的自由度，机构的这种状态可以定义为两个广义坐标（Zs和Zu）。如果作以下考虑，可以认为该模型是合理的：底盘承受的是垂直运动。除车轮外，悬挂系统的其他所有组成元件都刚性的。控制臂和支承的质量可以忽略不计。车轮总成运动形式为转动和滑动。所有接合处都是理想的。弹簧和阻尼具有线性特性。以下部分是对该模型进行的运动学和动力学分析。2.1运动学分析对该模型的运动学分析采用的是位移矩阵法。29通过以下的矩阵，车轮总成在平面内的有限位移就可以看成是由转动和滑动组成的：Dwheel=a11a12YC-a11YC0+a12ZC0a21a22ZC-a21YC0+a22ZC0001(1)其中YC与ZC是车轮中心C的瞬时坐标，YC0与ZC0是它们的初始平衡位置的值。系数a11=a22=sin，a12=-a21=cos，其中是车轮总成绕X轴的转角，即外倾角。初始平衡状态由M、Q、P、C、T和N的坐标确定，且外倾角为0。图2b中的悬架点N、T、P点的瞬时坐标YN,ZN，YT,ZT和YP,ZP可由方程(1)结合初始平衡坐标YN0,ZN0，YT0,ZT0和YP0,ZP0得到：YNYTYPZNZTZP111=DwheelYN0YT0YP0ZN0ZT0ZP0111(2)方程(2)可以用于解决强加于悬架机构的约束。考虑到很小（即cos1，sin），并且已知ZC=ZC0+Zu，将方程组(2)线性化后就可以得到：YN-YC-b=a(3)ZN+a=ZN0+Zu(4)YT-YC-d=c(5)ZT+c=ZT0+Zu(6)YP-YC-f=e(7)ZP+e=ZP0+Zu(8)其中a、b、c、d、e和f是从初始平衡坐标系中得到的常数：a=YN0-YC0，b=ZN0-ZC0，c=YT0-YC0d=ZT0-ZC0，e=YP0-YC0，f=ZP0-ZC0方程(3)-(8)描述了车轮总成（即点C、P、N和T）的运动学特性，并在与Zu间建立起了联系。但是它们没有考虑到点Q和M。图3 机构运动图解（虚线表示初始平衡位置，实线表示瞬时位置）考虑到Zr是负的，系统运动如图3所示。图中的L1和L2分别是控制臂的长度和点Q、M的距离。L3是支承的有效长度。控制臂的角的初始值由0和0分别相对于Y轴和QM方向确定。控制臂的角度变化为。注意，这个运动将会使车轮横向偏转Ytl（即轮距变化）和垂直方向分支的Zt的变化。由该图所示的几何结构可以得到以下三个方程：YP=L1cos0+(9)ZP=L1sin0+Zs(10)YP-YQ2+ZP-ZQ2=n(11)其中常数n=L12，且方程(9)(10)可改写为：YP=L1cos0cos-sin0sin(12)ZP=L1sin0cos+cos0sin+Zs(13)考虑到角度非常小（即cos1，sin），上式可简化为：YP+p=-m(14)ZP+m=p+Zs(15)其中常数p和m的定义为：p=L1sin0，m=-L1cos0根据两个函数：f1YP,YQ=YP-YQ2和f2ZP,ZQ=ZP-ZQ2，方程(11)可以改写为：f1YP,YQ+f2ZP,ZQ=n(16)对函数f1YP,YQ作一阶泰勒展开以线性化：f1YP,YQ=f1YP0,YQ0+f1YPYP=YP0YP-YP0+f1YQYQ=YQ0YQ-YQ0(17)求f1对YP和YQ的微分，则f1YPYP=YP0=2YP0-YQ(18)f1YQYQ=YQ0=-2YP-YQ0(19)将方程(18)(19)代入方程(17)，并考虑到f1YP0,YQ0=YP0-YQ02，则可得到线性化表达式：f1YP,YQ=YP0-YQ02+2YP0-YQYP-YP0-2YP-YQ0YQ-YQ0f1YP,YQ=YP0-YQ02+2YP0YP-YP0(20)上述线性化过程同样适于用函数f2ZP,ZQ，并考虑到ZQ=Zs、ZQ0=0，则：f2ZP,ZQ=ZP0-ZQ02+2ZP0-ZQZP-ZP0-2ZP-ZQ0ZQ-ZQ0f2ZP,ZQ=ZP0-ZQ02+2ZP0-ZsZP-ZP0-2ZPZs(21)将方程(20)(21)代入方程(16)，可得最终表达式：YP0-YQ02+2YP0YP-YP0+ZP0-ZQ02+2ZP0-ZsZP-ZP0-2ZPZs=n(22)上式可简化为线性方程(11)的形式：YP0YP+ZP0-2ZsZP=n-ZP0Zs(23)方程(3)-(8)(14)(15)(23)定义了包含11个未知变量的线性系统，该系统可由Zs和Zu求解（其中两个附加方程可由系统动态学中获得）。使用Matlab的“Symbolic Math Toobox”并根据S=pYP0+mZP0-2mZs对该线性系统进行求解，可以得到描述悬架各个关键点运动学特性的特性方程：YN=-1eSm2bYP0-fYP0+eZP0-2eZs-n-ZP0Zsep-bm+fm+pp+ZsbYP0-fYP0+eZP0-2eZs+ZP0+Zub-f+a-e(24)ZN=1eSaYP0m2+amn-ZP0Zs+apYP0(p+Zs)-aZP0+Zue+ZN0+Zu(25)YT=-1eSm2dYP0-fYP0+eZP0-2eZs-n-ZP0Zsep-dm+fm+pp+ZsdYP0-fYP0+eZP0-2eZs+ZP0+Zud-fe+c-e(26)ZT=ceSYP0m2+mn-ZP0Zs+pYP0(p+Zs)-cZP0+Zue+ZN0+Zu(27)YP=-1Sm2ZP0-2Zs-pn-ZP0Zs+p(p+Zs)ZP0-2Zs(28)ZP=1Sm2YP0+mn-ZP0Zs+pYP0(p+Zs)(29)YC=1eSep+fmn-ZP0Zs+m2fYP0-eZP0+2eZs+pp+ZsfYP0-eZP0+2eZs-fZP0+Zue-e(30)=-1eSm2YP0+mn-ZP0Zs+YP0p+Zs+ZP0+Zue(31)=-1Sn-ZP0Zs+mYP0-p+ZsZP0-2Zs(32)为了简化方程(24)-(32)，定义以下参数：a=pYP0+mZP0，b=-2m，c=-fZP0e-e，f=2pd=np+fme+m2+p2fYP0e-ZP0e=ZP0p+fme+pfYP0e-ZP0+2m2+p2于是，S也可表示为S=a+bZs。对方程(30)进行上述常数的替换后，就可以得到车轮中心位置坐标YC的简化表达式：YC=c-feZu+1Sd+eZs+fZs2(33)进一步地，定义：j=ae-db，l=a2f-bj，A=f+2afZs+bfZs2S2并计算方程(33)对时间的一阶和二阶导数，则车轮中心YC的速度和加速度为：YC=-feZu+AZs(34)YC=-feZu+AZs+2lS3Zs2(35)相似地，在方程(31)中定义常数：g=ZP0e，h=mn+m2+p2YP0，i=-mZP0+pYP0悬架支承的角度位置可以写成：=g+Zue-1eSh+iZs(36)将上式对时间求导即可得角速度：=Zue-keS2Zs(37)其中k=ai-bh，并且其角加速度为：=Zue-keS2Zs+2bkeS3Zs2(38)考虑到轮胎中心的初始位置11，则由于麦弗逊悬架机构导造成的轮胎侧向偏转Ytl可表示为：Ytl=Yu-R(39)Ytl=YC-YC0-R(40)然后将方程(33)(36)代入(40)：Ytl=s+f+ReZu+ES(41)其中E的定义为：E=t+uZs+fZs2(42)对方程(41)求Zs的偏导：YtlZs=m+2afZs+bfZs2S2=FS2(43)其中：F=m+2afZs+bfZs2(44)以及对Zu的偏导：YtlZu=-f+Re(45)2.2动力学分析悬架系统的动能T、势能V和瑞利耗散函数D由以下公式给出：T=12msZs2+12muYC2+Zu2+12IC2(46)V=12Ksl2+12KtZt2+12KtlYtl2(47)D=12Bsl2+12BtZt2(48)其中ms和mu分别为簧上质量和簧下质量，IC是绕X轴的转动惯量，R是轮胎的有效半径，l是支承的挠度，且：l=L3-L03(49)根据图3，L3满足：YP-YM2+ZP-ZM2=L32(50)进一步地，应用余弦定理并考虑小角度，则：L32=L032+k(51)其中常数k的定义为：k=-2L1L2sin0联立方程(49)(51)，悬架的挠度l可写成：l=L032+k-L03(52)Zt=Zu-Zr(53)根据拉格朗日方法，其涉及的悬架系统的动能和势能可运用拉格朗日算子将L写成动力学方程：L=12msZs2+12muYC2+Zu2+12IC2-12Ksl2-12KtZt2-12KtlYtl2(54)对第一个广义坐标Zs应用欧拉-拉格朗日方程：ddtLZs-LZs+DZs=0(55)将方程(48)(54)代入(55)，得到一个关于Zs和Zu的函数的非线性微分方程：msZs+muYCYCZs+ICZs+KsllZs+KtlYtlYtlZs+BsllZs=0(56)其中，微分余项已经忽略不计。11用方程(34)(36)(41)(52)对(56)中的偏导数进行求解可以得到：ms+muA2+ICk2e2S4Zs-fmuAe+ICke2S2Zu+kC2Bs4BS4Zs+kCKs2S21-L03L3+KtlFES2+KtlFS2s+f+ReZu=0(57)对第二个广义坐标Zu应用欧拉-拉格朗日方程：ddtLZu-LZu+DZu=0(58)将方程(48)(54)代入(58)，并忽略衍生项，得到一个关于Zs和Zu的函数的非线性微分方程：muZu+muYCYCZu+ICZu+KtlYtlYtlZu+KtZu-Zr+BtZu-Zr=0(59)将偏导数代入方程(59)：mu+f2mue2+ICe2Zu-fmuAe+kICe2S2Zs-KtlEf+Re+KtlEf+R2e2Zu-Ktlsf+Re+KtZu-Zr+BtZu-Zr=0(60)3.模型的对比分析本章介绍了使用仿真实现上述模型的细节。此外，还将该模型与由Adams/View软件得到的实际动力学响应作了对比。3.1仿真模型的建立由方程(57)(60)所给出的平面麦弗逊悬架的动力学特性可以由一个仿真框图模型实现，见图4。图4 仿真系统框图为了简单起见，令方程(57)中的簧上质量加速度：Zs=1ss1ss2Zu-ss3Zs+ss4-ss5-ss6(61)其中各个辅助系统的定义为：ss1=ms+muA2+ICk2e2S4，ss2=fmuAe+ICke2S2，ss3=kC2Bs4BS4ss4=kCKs2S21-L03L3，ss5=KtlFES2，ss6=KtlFS2s+f+ReZu相似地，令方程(60)中的簧下质量加速度：Zu=1ss7ss8Zs-KtlEf+R2e2Zu+ss9+Ktlsf+Re-KtZu-Zr-BtZu-Zr=0(62)其中各个辅助系统的定义为：ss7=mu+f2mue2+ICe2，ss8=fmuAe+kICe2S2，ss9=Ktlsf+Re3.2麦弗逊悬架在Adams软件中建立与分析Adams/View软件可以作为模型验证工具使用，因为它提供了多体动力学的真实模拟。11,22,23,30图5 麦弗逊悬架的Adams模型：(a)动力学模型 (b)运动学模型在这项工作中，已经建立了如图5(a)所示的1/4平面汽车模型的麦弗逊悬挂系统。下列运动约束已经被确定：底盘运动由移动副引导；控制臂与底盘由转动副连接、而与车轮总成由球副连接；支承被建模为一个移动副，在它的上端通过一个转动副与底盘相连接，其底端固定的是车轮总成；车轮被建模为一个移动副的垂直偏转和横向弹簧的水平偏转。用于运动学分析的模型如图5(b)所示，其中假设底盘是固定的（即Zs=0），车轮中心的位移是竖直方向的。11表2 麦弗逊悬架初始状态的参数值YC0=0.3721ZC0=0.0275YQ0=0.0000ZQ0=0.0000YM0=0.1074ZM0=0.5825YP0=0.2490ZP0 =0.06083.3对比分析用于悬架系统实验分析的参数值为：ms=453kg，mt=71kg，Ks=17658Nm1，Bs=1950Nsm1，Kt=183887Nm1，Ktl=50000Nm1，Bt=2500Nsm1，R=0.29m，IC=0.021kg2m。这些数据已经存入了Adams中麦弗逊悬架的数据库中。此外，悬架关键点的参数如表2所示。22图6 路面扰动引起的位移在模拟实验中所用的路面扰动如图6所示。该方波信号Zr的振幅为50mm，对应在15s的位置是凸缘、在35s的位置是坑洼。该实验模拟时间为50s，是由型号为Intel(R)core(TM)i5 CPU M 460的处理器在2.53GHz的频率下完成。在Matlab中，执行该平面模型的计算用时为0.725s，而Adams模型则用时127.577s。这些结果证明了，分析模型的计算速度要快得多，因此更适合于硬件在环应用。两种模型对路面凸缘和坑洼的动态响应如图7(a)和图7(b)所示。这些差异主要是因为围绕平衡位置的运动方程的线性化（如第2节所述）。此外，该模型是一个简化近似模型。它既没有考虑路面接触损耗，也没有考虑轮胎与路面间的横向与纵向滑移。尽管如此，它的实验结果与更复杂的Adams模型相比也基本一致。因此，平面模型精确地复现了振荡频率。此外，所提供的实验结果表明，相比于凸缘，坑洼的振动幅度更小。这是由麦弗逊悬架的不对称特性引起的。此外，由于与乘客的乘坐舒适性有关，常用簧上质量加速度来评判悬架动态特性的好坏。图8 Adams模型与平面模型簧上质量加速度：(a)t=15s时凸缘 (b)t=35s时坑洼图7 Adams模型与平面模型簧上质量位移：(a)t=15s时凸缘 (b)t=35s时坑洼图8(a)8(b)表明，簧上质量加速度的两个瞬态之间已经建立起了可靠的相关性。表3 簧上质量的位移和加速度的特征响应值峰值建立时间 (s)Adams平面Adams平面Zsm凸缘0.07720.07042.312.12坑洼-0.0235-0.01852.302.02Zsm/s2凸缘5.8454.1912.752.66坑洼-8.782-3.8802.282.24此外，表3归纳了簧上质量的位移和加速度的特征响应值。其中，“峰值”是响应曲线的最大值，“建立时间”是值曲线到达终值2%带的时间。两种模型的加速度的建立时间十分接近，而位移则是平面模型相比稍短。尽管如此，在凸缘和坑洼的扰动下，平面模型的建立时间保持了与动态响应相对应的差异。图9 车轮垂直位移-外倾角曲线图10 车轮垂直位移-轮距曲线关于运动学方面，该模型分析了线性简化模型没有考虑的外倾角和轮距Ytl的变化。图9和图10展现了对于振幅为0.1m车轮垂直运动的实验结果。实验结果表明了在线性化点附近，外倾角和轮距Ytl都具有非常好的一致性。在车轮位移较大时，该模型将产生一定偏差，这在近似模型中是正常现象。11,18,22。尽管如此，该模型对于颠簸运动非常准确（如车轮竖直运动），并且成功地再现了麦弗逊悬架的不对称特性。此外，该平面模型在上述实验中取得的实验结果作为一个取不同几何及动力学参数的麦弗逊悬架的案例研究，证实了28中所述。4.结论即使商业多体动力学仿真软件可以根据物理模型来分析车辆悬架，但是硬件在环应用的快速计算仍需要精确的分析模型。目前广泛使用的麦弗逊悬架因为它的非线性不对称性使建模成为一个难题。本文提出的平面1/4车辆模型，不仅考虑了簧上质量（底盘）的竖向振动，同时也包括了：i簧下质量（车轮总成）的滑动和转动；ii纵向的车轮质量及其转动惯量；iii轮胎阻尼和侧向挠度。这些改进使得可以分析运动学参数的变化，如外倾角和轮距；而这些是不能用传统的1/4车辆模型来解决的。31本文以以下成果拓展了28：提供了平面模型的系统发展以及完整的数学方程。一种可重复的Simulink仿真实现。对悬架不同关键点和参数的新的实验结果，并与实际的Adams/View仿真进行对比，以分析车轮的振动和回弹运动、以及两个相关运动参数：外倾角和轮距变化的动态特性。该模型已经与实际的Adams/View仿真进行了对比，以分析车轮的振动和回弹运动、以及两个相关运动参数：外倾角和轮距变化的动态特性。实验结果已经表明该平面模型与Adams模型之间良好的一致性，以及平面模型成功地再现了麦弗逊悬架的不对称特性。在未来的工作中，该模型将被应用于实时悬架控制系统。此外，将外倾角和轮距的变化与垂直控制逻辑相联系起来也将会变得十分有趣。5.参考文献1 Mantaras D, Luque P, Vera C. Development and validation of a three-dimensional kinematic model for the McPherson steering and suspension mechanisms. Mech Mach Theory. 2004;39:603619.2 Deo H, Suh N. Axiomatic design of automobile suspension and steering systems: proposal for a novel six-bar suspension. Detroit, MI: SAE World Congress; 2004.3 Mntaras DA, Luque P. Virtual test rig to improve the design and optimisation process of the vehicle steering and suspension systems. Veh Syst Dyn. 2012;50:15631584.4 Choi SB, Lee HS, Park YP. H-infinity control performance of a full-vehicle suspension featuring magnetorheological dampers. Veh Syst Dyn. 2002;38:341360.5 Biglarbegian M, Melek W, Golnaraghi F.A novel neuro-fuzzy controller to enhance the performance of vehicle semi-active suspension systems. Veh Syst Dyn. 2008;46:691711.6 Abu-Khudhair A, Muresan R, Yang S. Fuzzy control of semi-active automotive suspensions. International Conference on Mechatronics and Automation; 2009 Aug 9-12; Changchun, China. p. 21182122.7 Kashani R, Strelow JE. Fuzzy logic active and semi-active control of off-road vehicle suspensions. Veh Syst Dyn. 2010;32:409420.8 Dong XM, Yu M, Liao CR, Chen WM. Comparative research on semi-active control strategies for magnetorheological suspension. Nonlinear Dynam. 2010;59:433453.9 SunJ,SunY.Comparativestudyoncontrolstrategyofactivesuspensionsystem.ProceedingsoftheInternational Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation. Vol. 1; 2011 Jan 6-7; Shanghai, China. p. 729732.10 Sancibrian R, Garcia P, Viadero F, Fernandez A, De-Juan A. Kinematic design of double-wishbone suspension systems using a multiobjective optimisation approach. Veh Syst Dyn. 2010;48:793813.11 Balike K, Rakheja S, Stiharu I. Development of kineto-dynamic quarter-car model for synthesis of a double wishbone suspension. Veh Syst Dyn. 2011;49:107128.12 Hrovat D. Survey of advanced suspension developments and related optimal control applications. Automatica. 1997;33:17811817.13 Akcay H, Trkay S. RMS performance limitations and constraints for quarter-car active suspensions. 16th Mediterranean Conference on Control and Automation; 2008 June 25-27; Ajaccio, France. p. 425430.14 Dean K. How significant are transfer function relations and invariant points for a quarter car suspension model? Veh Syst Dyn. 2009;47:457464.15 Kim C, Ro P, Kim H. Effect of the suspension structure on equivalent suspension parameters. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering. Vol. 213; 1999 May 1; London: Sage Publications. p. 457470.16 Siau G. Equivalent spring and damper for conceptual suspension modeling Masters thesis. Eindhoven: University of Technology; 2008.17 Dixon JC. Suspension geometry and computation. Chippenham, UK: First Antony Rowe Ltd.; 2009.18 Fallah M, Bhat R, Xie WF. H robust control of semi-active MacPherson suspension system: new applied design. Veh Syst Dyn. 2010;48:339360.19 Stensson A, Asplund C, Karlsson L. The nonlinear behavior of a MacPherson strut wheel suspension. Veh Syst Dyn. 1994;23:85106.20 Andersen ER. Multibody dynamics modeling and system identification for a quarter-car test rig with McPherson strut suspension Masters thesis. Faculty of the Virginia Polytechnic Institute; 2007.21 BasariA, SamY, Hamzah N. Nonlinear active suspension system with backstepping control strategy. 2nd IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications; 2007 May 2325; Harbin, China. p. 554558.22 Fallah M, Bhat R, Xie W. New model and simulation of MacPherson suspension system for ride control applications. Veh Syst Dyn. 2009;47:195220.23 Kim C, Ro P. Reduced-order modelling and parameter estimation for a quarter-car suspension system. Proceedings of the Institution of