波利亚解题思想中的灵感思维探究.doc

波利亚解题思想中的灵感思维探究摘要数学中的灵感思维是人们在数学活动中由于思想高度集中、情绪空前亢进而突然领悟事物并得到新成果的思维方法，是一种非逻辑思维形式。波利亚解题思想的核心就是解题过程中怎样诱发灵感，纵观高考命题规律，数学直觉和数学灵感已发展成为一种极为有效的解题方法，这就要求我们要重点培养学生在数学解题中的创造性思维能力。关键词灵感思维；数学灵感；创造性思维能力；解题思想 数学中的灵感思维是人们在数学活动中由于思想高度集中、情绪空前亢进而突然领悟事物并得到新成果的思维方法，是一种非逻辑思维形式。唯物主义认为灵感是客观存在的一种精神状态，是一种思维，并有着自己的规律，灵感（又称为直觉）同抽象思维、形象思维一样，都属于人脑的高级反映形式。钱学森先生早在1980年就指出：“灵感思维不同于形象思维和逻辑思维，是思维的又一种形式”。 波利亚的解题思想集中体现在他的怎样解题一书中，该书的中心思想就是谈解题过程如何诱发灵感的。波利亚把“解题”当作培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。我们可以将数学一分为二的看：一方面，数学是一门系统的演绎科学。中学数学在揭示客观事物量与形式及关系时，主要是通过严格的逻辑推理来实现的。教材是按照逻辑顺序编写的，教师是按照逻辑顺序来讲课的，学生是按照逻辑要求来学习和练习的，这对培养和发展学生的逻辑思维能力是非常有利的。另一个方面，数学又是一门实验性的探究学科。波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个方面，也就是看到“处于发现过程中的数学”。波利亚崇尚探索法解题，波利亚的“探索法”的主要特点就是变更问题、诱发灵感。一、数学直觉和数学灵感 一种极为有效的解题方法现代数学认知过程在某些方面体现出对逻辑分析思维局限性的超越。猜测的、直觉的、经验的因素日益引起人们的关注，台湾数学家李国伟教授等曾译美国数学家Keith Devin所著的Descartes Goodbye!形象地展现了这一趋势的特点。怎样解题是对波利亚的探索法解题这种新的解题方式的大胆尝试，书的开头是一张“怎样解题表”，其中收集了一些典型的问题及其解决的建议。“怎样解题表”就是尝试诱发灵感的“智力活动表”。如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表。”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问题和建议都与它有关。”“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾解题过程。波利亚说：“弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它。”波利亚所讲的好念头，就是指灵感。纵观近几年的高考，其命题趋势充分说明了上述分析，我们举例如下：从近几年开始，填空题成为高考题型改革的一块“试验基地”，先后在这块试验田中产生了若干新题型，这使得填空题在考查学生对数学的基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握情况和是否具有灵活多变的思维品质方面发挥得淋漓尽致。高考选择题的解决也是如此，做选择题，能够抓住题目所给条件以及结论所涉及的数学知识进行直接思考是最低层次的考察要求，更重要的还要学会考虑运用间接思路，抓住四个选项带给我们的信息，运用学习过程中培养出来的数学直觉和数学灵感使自己快速准确地解决问题。从大胆猜想到推理证明之间不免会有一段距离，但这种直觉猜想却足以帮助我们临时求解一些选择题或填空题，随着命题的考查功能发展到对数学直觉与数学灵感进行考查这样一个深层次的深度上，“凭直觉”也就发展成为一种极为有效的解题方法。波利亚说：“直观的洞察和逻辑的证明是感知真理的两种不同方式直观的洞察可能远远超前于形式逻辑的证明。”直觉已经撩开她那神秘的面纱，逐渐被世人承认为人类思维活动的一种基本形式。科学发现中有顿悟，数学解题中有灵机一动、豁然开朗以及“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”，这些都不再是迷信，更不再是遥不可及的东西。费马的直觉产生了费马大定理：“当n2时，方程 无正整数解”，其思维的跳跃性人类足足花了300多年才将其填平。平日的数学学习中，我们的“心头一亮”、“忽然开窍”，其中就包含了数学直觉和数学灵感。二、数学解题中的能力创造性思维能力我们考虑这样一个问题：在数学学科中，能力指的是什么？波利亚说：“这就是解决问题的才智我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神。”数学能力的归宿是思维能力的提高，不能够把学生的思维限定在教师所设定的框架内，波利亚探究性学习就是打破这个框架的最好方法和途径。我们对于学生独创性的结论和方法应积极加以推广，有时即便是有一定的错误或者存在不够完善的地方都应加以肯定，保护他们思维的创造性。从现代教育学、心理学角度来看，波利亚的“怎样解题表”是可取和有效的，利用这张表，教师可以行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和进行创造性活动的能力。因为，在数学方法的策略创造和数学结论的天才发现中，不仅有显露的、可证实的逻辑推理，而且还有大量的非逻辑的、潜意识的思维活动，其中不乏直觉猜想、直觉预见和直觉顿悟。“数学王子”高斯反复强调，他的数学发现主要来自经验，“证明只是补行的手续”。三、解题过程中灵感思维能力培养的方法和途经波利亚解题思想的核心就是解题过程中怎样诱发灵感，我们自然会问：解题过程中，培养灵感思维能力的途径是什么？要形成较强的灵感思维能力，平时的功夫要做到细处，丰富的知识素养是产生灵感的基础，结合经验我想对解题环节谈以下几点：（1）首先，要使学生掌握基础知识、基本技能和基本思想方法。其中要把重点放在学生对基本概念的发生过程、基本定理发现和证明的思考过程、基本公式推导过程的理解上来，使学生掌握知识的来龙去脉。 （2）其次，讲解例题的过程中，要给学生做出探索应用知识网络交汇点解决问题的示范，力求使学生明确问题的实质是什么，难点是怎样突破的。（3）再次，培养学生良好的解题习惯。从已知信息中探索知识，养成解后反思的良好习惯，不断实现对知识的理解和积累，提高分析解决问题能力。（4）最后，培养学生独立思考习惯和创新精神。教师要以“导演”的身份出现，“戏”让学生去演，给学生发表独立见解和展示思考过程的机会，教师的恰当点评也就成了学生要学的东西。四、用唯物主义辩证法观点看待灵感思维在解题中的作用灵感思维在人类的思维活动中具有先导和催化的重要作用，能导致突破性的发现，但我们不能由此而认为，凡灵感思维下的产物都是正确的现代科学哲学家和科学创造心理学家仔细地研究了灵感的缺陷邦格认为，灵感有三个缺点：第一， 灵感没有论证的力量；第二， 部灵感分的是普通常识，而常识又常常是保守的；第三， 灵感不够精细。苏联心理学家卢克也曾经专门分析过灵感可能出现的三种错误，他认为灵感忽视了统计学规律，忽视了选择事实的范围并且灵感有时会把两个偶然巧合的事物当作一种必然的联系来看待，从而导致错误结论的得出。 因此，个人的灵感思维能力确实可以经过学习、教育和锻炼得以提高，但灵感思维还需要同逻辑思维相结合，灵感思维的结果需要接受严格的数学逻辑推证的验证，因为只有实践才是检验真理的唯一标准。美籍匈牙利数学家和数学教育家乔治波利亚(Geoge Polya,1887-1985)从思维科学、数学方法论和数学哲学的角度，对数学自身的特点和数学教育的规律与原则进行了深入的研究，形成了自己独特的数学教育思想，对现代数学教育产生了极其深远而持久的影响.尤其是他对数学解题的研究，堪称解题教学的行动纲领.波利亚认为，解题过程就是一个运用探索法诱发学生灵感的过程.“解题表”实际上就是一个在解题中典型有用的“智力活动表”.波利亚在“怎样解题表”中将解题分为4个步骤：弄清问题，即对问题的感知与认识；拟定计划，找出已知数与未知数之间的联系；实施计划，检验每一步骤；回顾，即在头脑中建构新的认知结构的过程.波利亚提出的解题思想在一定层面上反映了认知结构理论的观点，因而我们有必要从认知科学的角度来分析一下波利亚解题思想.1、 “怎样解题表”的认知分析1.1解题的基础外部表征Bruner认为数学对象的表征有三类：活动性表征、图像性表征和符号性表征:活动性表征是通过适当的活动，表示过去事件的表征方式，它具有具体性、物质性的特点；图像性表征是指脱离原有的具体性，利用图形或象征性的东西来表示运算或操作；符号性表征是记号和词语，具有一定的抽象性.Lesh在此基础上将表征的方法发展为5种，即书面符号、口头语言、操作性模型、图形和实物,体现在具体的解题过程中即为读懂题目的条件，并能进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征.“怎样解题表”的前两个步骤是弄清问题及拟定计划，即对问题进行恰当的外部表征，这是与解题直接相关的认知环节.如表中：“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？把条件的各个部分分开，你能否用不同的方法重新叙述它？”这样的问句有效促进了书面语言向口头语言的转化，有助于学生对题目的字面理解.又如表中“画张图，引入适当的符号”，便是用符号或图形的形式将问题的外部表征充分显现，加强解题者对问题的理解.再如“你是否知道此类有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？”这些语句能引导解题者通过适当的活动反应，表示过去事件的表征方式，并且利用自身的知识结构，寻找未知与已知之间的联系，并结合一定的方法构思解决当前问题的步骤.1.2解题的核心心理表象了解题目内容之后，通过思考、领会、加工、运用，需要在思维中再现它们，这时的表征就是内部表征了，内部表征涉及认知理论的许多方面：人在思维过程中所采用的思维形式是怎样的？人是如何利用思维形式来对知识、信息进行加工处理的？等等，这些问题即心理表征的过程，是思维运算的动态性反映.Piaget就曾将表象划分为不同层次的三种类型：最初的表象是由内化的模仿活动形成的，例如根据例题方法或步骤求解相类似题型；第二种表象是通过基本的思想实验来建立的，这时它不仅代表对象，而且表示了心理上操作活动的发展阶段或结果；第三种表象已经是思维运算的动态的符号，利用它能够支持和推进思想实验和推理.心理表象的过程主要表现在波利亚解题表的拟定计划，实现计划两个阶段，是解题的核心部分，不仅需要解题过程的不断反思：“你能否解决这个问题的一部分？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？”、“你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？”，而且需要寻求思路，拟定方案，进行合情推理，最后把想好了的解题过程，具体用术语、符号、图形、式子表述出来，“实现你的求解计划，检验每一步骤”.1.3解题的深化结构图示如果说整个解题过程是一个心理上的组织过程，那么学习中更为重要的是心理上的再组织过程，这是一个对数学来说至关重要的过程.学生要能够在理解过程中进行结构的再组织，其必不可少的机制是心理上的反省思维.Dubinsky等人认为，反省抽象有两类基本形式，一类是通过几个结构，反省到更一般的高一水平结构，即波利亚解题表中所说的“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？”；另一类是通过对已有结构的反省，构造出不同于原来的新结构，即“你能不能把这结果或方法用于其它的问题？”这样将问题中包含的知识同化进头脑中原有的知识体系，形成稳定的“图示”，从而实现新知识的形成与掌握.“回顾”实际上是在头脑中建构新的认知结构的过程，在数学的学习和研究中起着重要的作用.2、 认知结构的培养是深化波利亚解题思想的重要手段波利亚指出，解题的过程主要包括动员与组织、辨认与回忆、充实与重组、分离与组合这8种思维活动方式，而且它们密切相关，相辅相成，共同构成了一个连续的过程.具体地说，当问题出现时，解题者看到的问题是一个未经剖析的没有细节或只有很少细节的整体.此时就要通过辨认已给的元素，并回忆与之相关的元素，把与问题有关的材料从记忆中提取出来，这就是动员.但仅有这些材料还不够，还必须对解题材料进行认真的挑选和分类，把一个一个特殊的细节从整体里挑出来，再把零散细节重新合成一个有意义的整体，这就是分离与组合.在对细节进行重新评价后，需要进一步充实和调整对问题的构思，这就是组织.如图1所示，波利亚解题思想是合情推理和演绎推理交替作用的模式，并且呈分步线性排列.认知观点认为解题时应根据一定的问题情境呈现出结构性的特点（如图2），结构性构思方式不仅能使已学的知识得到完整的组织，而且是学习新知识的智力工具.认知结构的整体性主要体现在：一方面，结构是按一定依赖关系将必要的元素组织起来的，元素将服从于结构组成的规则，共同组成整体，另一方面，元素被组织之后，元素也必然会受益于整体意义，其内涵得以丰富.与此同时，结构性构思方式还具有一定的动态转换性，同层次知识的组织，高低层次间的递进，顺向、逆向、横向、纵向知识的转换，都为问题的解决提供了多种可能的途径.当然这种转换并非随意，需要发挥结构的自我调节作用，使转换更为协调和谐，促进数学学习中好的认知结构的建立.比较两种证法可以发现，图示的方法将思考过程更简洁地明确为层次结构，由此可清晰思路，完整展现解题过程.由于学生认知水平存在差异性，学生对解题活动中探索目标的意识和领悟程度不同，每个解题者所具有的解题策略数量、水平也不同，根据学生的这一特点，认知结构分析的图示具有压缩和延伸的空间，不仅体现了解题活动中思维的灵活性、深刻性和独创性，而且更有利于培养学生数学解题能力.因此，认知结构的培养是深化波利亚解题思想的重要手段.徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教 材 和教学方法目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教 学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入 校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏 认识为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加 大力度传播波利亚思想 有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是 客 观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的的确，“题海”是客观存在，波利亚也强 调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”但波利亚的解题训 练与题海战术有很大区别波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。这本书的核心他分解解题的思维过程得到的一张怎样解题表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。一、训练的目的不同 “题海战术”的目的明显表现为应考。而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学 素质。波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面。对于数学，能力比起仅仅具有 一些知识来重要得多。因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传 授知识”。波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾 越的鸿沟。他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中 ，也都会有点滴的发现”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题。 数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在 创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。波利亚指出，通过研究解题方法，我 们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”。 因此，波利亚 把 “解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径这种思想得到了国际数 学教育界的广泛赞同。1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度。波利亚的解题思想集中反映在他的怎样解题一书中，该书的中心思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与建议。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用 的 智力活动。他说怎样解题这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表。”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问 题和建议都与它有关。”“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾。波利亚说：“ 弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回 顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它”波利亚所讲的好念头，就是指灵感。怎样解题书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的 4/5。“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题 过程中典型有用的智力活动做进一步解释。全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能。二、训练的方式不同 “题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法。波利亚反对让学生做大量的题他认为一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼 杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内 容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地。比如，“证明是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中。过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法。然而，“学生熟悉了解答个别 类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解决新问题的本领。”波利亚的怎样解题就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题 的一般方法。今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的贡献。“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性。不仅适用于“不太能独立工作”的人，而且适用于那些独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科例如，未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果。波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径试 图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律这与“题海战术”的“题型解法”的训练方式 是绝然不同的。波利亚高度重视解题过程中的合情推理。数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是 归纳与类比。”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理 ；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法。波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要。怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法。波利亚说，教学中最重要的就是选取一些型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在学 生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想。“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”。波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发 ，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力。这种训练方式与“题型解法”的做法也是完全不同的。三、能力培养的效果不同 应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的。在数学学科中，能力指的是什么波利亚说：“这就是解决问题的才智我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神”波利亚致力于培养学生的独立探索能力从教育心理学角度看，“怎样解题表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和 进行创造性活动的能力。如果我们提出一个“波利