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2 3 2双曲线简单的几何性质 二 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b F1 c 0 F2 c 0 关于x轴 y轴 原点对称 A1 a 0 A2 a 0 渐进线 无 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 关于x轴 y轴 原点对称 渐进线 F2 0 c F1 0 c 1 共渐近线 的双曲线 0表示焦点在x轴上的双曲线 0表示焦点在y轴上的双曲线 2 共焦点 的双曲线 1 与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为 2 与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为 复习练习 3 求以椭圆的焦点为顶点 以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程 例1 双曲线型自然通风塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小半径为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高55m 选择适当的坐标系 求出此双曲线的方程 精确到1m A A 0 x C C B B y 例题讲解 例2 点M x y 与定点F 5 0 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 求点M的轨迹 y 0 d 引申 点M x y 与定点F c 0 的距离和它到定直线的距离比是常数 c a 0 求点M的轨迹 解 设点M x y 到l的距离为d 则 即 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 设c2 a2 b2 a 0 b 0 故点M的轨迹为实轴 虚轴长分别为2a 2b的双曲线 b2x2 a2y2 a2b2 即 就可化为 点M的轨迹也包括双曲线的左支 双曲线的第二定义 平面内 若定点F不在定直线l上 则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 定点F是双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率 对于双曲线 是相应于右焦点F c 0 的右准线 类似于椭圆 是相应于左焦点F c 0 的左准线 点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义 想一想 中心在原点 焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的 相应于上焦点F c 0 的是上准线 相应于下焦点F c 0 的是下准线 由已知 解 a 4 b 3 c 5 双曲线的右准线为l 作MN l AA1 l 垂足分别是N A1 N A1 当且仅当M是AA1与双曲线的交点时取等号 令y 2 解得 归纳总结 1 双曲线的第二定义 平面内 若定点F不在定直线l上 则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 定点F是双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常
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