物理竞赛第网络课习题讲解.pdf

清北学堂物理竞赛网络课程清北学堂物理竞赛网络课程 清北学堂金牌助教 顾志勇 2013年12月29日 物理竞赛 Outline 物理物理竞赛提高班入学测试题讲解 下 竞赛提高班入学测试题讲解 下 物理竞赛集训二入学测试题讲解 下 物理竞赛集训二入学测试题讲解 下 物理竞赛提高班入学测试题讲解 五 五 如图所示 有两平行金属导轨 相距 l 位于同一水平面内 图中纸面 处在磁感应强 度为 B 的匀强磁场中 磁场方向竖直向下 垂直纸面向里 质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放在导轨上 与导轨垂直 初始时刻 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x x0和 x 0 处 假设导 轨及金属杆的电阻都为零 由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L 今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量 使它获得初始 v0 设导轨足够长 x0也足够大 在运动过程中 两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x0 因而可以认为在杆运动过程中由 两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的 杆与导轨之间摩擦可不计 求任意 时刻两杆的位置 xab和 xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时间 t 的变化 关系 物理竞赛提高班入学测试题讲解 需要注意 本题中所有导体电阻为零 而给出了自感系数 无电 阻电路中电动势必然为零 否则将出现无穷大电流 因此导体棒切割 磁感线产生的动生电动势由自感电动势抵消 另一方面 导体棒ab和cd的回路中两棒电流大小相等方向相反 因此所受安培力大小相等方向相反 整个系统在水平方向不受外力 动量守恒 把握以上两点我们即可着手解题 物理竞赛提高班入学测试题讲解 设在任意时刻t ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2 相对地面参考系 S 当v1 v2为正时 表示速度沿x轴正方向 若规定逆时针方向为回路 中电流和电动势的正方向 则因两杆做切割磁感线的运动而产生的感 应电动势为 设回路中任意时刻电流为i 则回路中的自感电动势为 由之前的分析 自感电动势抵消动生电动势 即有 t i LvvBl d d 21 t i L L d d 21 vvBl 物理竞赛提高班入学测试题讲解 由之前的分析我们知道两棒动量守恒 即两棒质心做匀速直线运 动 由初始时刻动量守恒我们可以得到 取质心为参考系 设ab棒在质心系中的速度为u 由于系统动量守 恒 因此质心系中ab棒与cd棒相对质心对称运动 即cd棒在质心系中的 速度为 u 由伽利略速度变换公式 有 代入上页公式可得 t i LBlu d d 2 uvvuvv CC 21 2 2 0 0 v vmvmv CC 记任意时刻ab棒在质心系中的位移为x dx udt可得 iLxBldd2 物理竞赛提高班入学测试题讲解 这是一个很简单的微分方程 两边同时积分可解的 Cx L Bl i 2 这里C为积分常数 由初始条件 t 0时 x x0 2 i 0 解得 C Blx0 L 即 很显然 式中x x0 2是ab偏离起始位置的位移 记为X X 0表示在起始位置右侧 由此前规定的电流方向 X 0时安培力向左 即 到这里我们可以看到 ab棒在质心系中受的安培力为线性回复力 ab棒在质心系中作简谐振动 k 2B2l2 L X L lB F 22 2 2 2 0 x x L Bl i 物理竞赛提高班入学测试题讲解 振动周期为 其振动位移 速度方程为 由初始条件 t 0时X 0 u v0 2得 22 2 22 lB mL k m T 2 cos t T AX 2 sin 2 t TT Au 224 2 3 00 mL Bl v T v A 这样我们确定了ab棒偏离起始位置的位移X 随时间的变化关系 而 ab棒在质心系中的位置则为 t T mL Bl v xx 2 sin 222 1 0 0 物理竞赛提高班入学测试题讲解 cd棒与ab棒对质心对称运动 因此有cd棒对质心的位置为 对地面参考系 两棒运动为对质心简谐振动与质心匀速直线运动 的合成 注意质心的起始位置为x0 2 因此 t T mL Bl vx x 2 sin 222 00 t mL Bl mL Bl v tvxxab 2 sin 222 1 0 00 将结果代入前面得到的i与x 的关系可得 t mL Bl L m vi 2 sin 2 0 t mL Bl mL Bl v tvxcd 2 sin 222 1 0 0 物理竞赛提高班入学测试题讲解 以质心为参考系求解的方法常规易懂 当然 由式 21 vvBl 也可想到以cd棒为参考系 其分析方法与质心参考系类似 但需注意cd 棒为非惯性参考系 在cd系中需要考虑惯性力 这里不再深入讲解这 种方法 有兴趣的同学可以自己尝试一下 答案会随课件一起发布 物理竞赛提高班入学测试题讲解 六 六 0 1mol 的单原子分子理想气体 经历如图所示的 A B C A 循环 已知的状态图中 已经标出 试问 1 在此循环过程中 气体所能达到的最高温度状态在何处 最高温度是多少 2 在 C A 过程中 气体的内能增量 做功情况 吸放热情况怎样 3 整个循环的效率为多少 物理竞赛提高班入学测试题讲解 1 在p V图上等温线为一簇双曲线 且越远离坐标原点代表的温度越 高 由此可判断温度最高点应位于B C段 由理想气体状态方程pV nRT易知 一定量的气体 最高温度对应 最大的pV值 B C段方程为 2 2 1 Vp 因此很容易得到当V 2时 pV取最大值 此时p 1 105Pa 解得最 高温度 K7 240 max T 物理竞赛提高班入学测试题讲解 2 C A的过程为等压压缩过程 外界对气体做功 温度降低 内能 减少 因此气体对外放热 TncE V A C两点的温度由理想气体状态方程确定为TA 60 1K TC 180 4K 内能变化量为 对单原子气体 cV 3R 2 代入上式得 J150 E 外界对气体做功 J100 VpW 因此气体吸放热 J250 WEQ 负号表示气体对外放热 物理竞赛提高班入学测试题讲解 3 计算整个循环的效率需计算循环的放热与吸热量 由于B C阶段 分两部分 一部分吸热 另一部分放热 需分开计算 J150 1 TncQ VAB A B过程气体等体积加热 外界对气体不作功 气体同样不对外 作功 气体内能增加量等于气体从外界吸热量 由理想气体状态方程 得到B点温度为TB 180 4K 气体吸热量为 B C过程 取一微元过程 即p p dp V V dV 这一过程气体 内能变化为 VpWdd 气体与外界的吸放热为 dd 2 3 d 2 3 ddpVVp nR pV RnTncE V 气体膨胀对外作功为 VppVWEQd 2 5 d 2 3 ddd 物理竞赛提高班入学测试题讲解 代入B C的直线方程可得 J225d 3 3 105 2 101 1 VpTTncQ BxVBC 整个B C过程体积增大 及dV 0 因此当V0 系统吸热 当V 2 5 10 3m3时 dQ 0 系统放热 当V 2 5 10 3m3时 系统温度为Tx 225 6K 吸热过程 气体吸热量为 7 26267 0 225150 25250 11 1 2 Q Q 循环效率为 J25 3 3 103 105 2 2 pdVTTncQ xCVBC 放热过程 气体放热量为 VVQd 52 d 物理竞赛提高班入学测试题讲解 七 七 折射率 n 1 50 半径为 R 的透明半圆柱体放在空气中 其垂直于柱体轴线的横截面如 图所示 图中 O 点为横截面与轴线的交点 光仅允许从半圆柱体的平面 AB 进入 一束足够 宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角 i 射至 AB 整个平面上 其中有一部分入射 光束能通过半圆柱体从圆柱面射出 这部分光束在入射到 AB 面上时沿 y 轴方向的长度用 d 表示 本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形 1 当平行入射光的入射角 i 从 0 到 90 变化时 试求 d 的最小值 dmin和最大值 dmax 2 在如图所示的平面内 求出射光束与柱面相交的圆弧对 O 点的张角与入射角 i 的关 系 并求在掠入射时上述圆弧的位置 物理竞赛提高班入学测试题讲解 1 以Z轴为界 分别考察上下两条平行入射光线 显然 两条光线入 射角相等 记为i 经AB折射后的折射角也相等 记为r 如图1所示 R r y i R r y i cc 90sin sin 90sin sin 22 解得 R r i yR r i y cc cos sin cos sin 22 在球面上 上下两条光线的入射角分别为i2 和i2 则由正弦定理得 c y c y i 2 i 2 i O C A B D C D z r r 图 1 在入射角i变化过程中 i2和i2 也在变化 但能射出球面的光线i2和 i2 必须小于临界角 对确定入射角i 也即第一次的折射角r yc与yc 与i2和i2 正相关 因 此当i2和i2 为临界角时yc与yc 取最大值 也即能射出光线的入射范围 物理竞赛提高班入学测试题讲解 当r 0时 即垂直入射 i2和i2 为临界角时的yc与yc 为最小 即 RR nn n d58 0 1 2 2 max 当r为临界角时 即掠入射 i 90 i2和i2 为临界角时的yc与yc 为最 大 即 RR n d 3 42 min 物理竞赛提高班入学测试题讲解 2 如图2所示 上下两条入射光线与Z轴的夹角分别记为 和 由几 何关系很容易得到 riri 2020 因此出射点边界对O的张角为 6 83 1 arcsin22 20 n i 可见 张角与入射角i无关 但上下出射点边 界与入射角i有关 当掠入射时 有 i 20 i 20 i O C D C D z r r 图 2 0 6 83 即出射圆弧全部位于Z轴之上 物理竞赛提高班入学测试题讲解 八 八 两惯性系 S 与 S 初始时刻完全重合 前者相对后者沿 x 轴正向以速度 v 高速运动 作 为光源的自由质点静止于 S 系中 以恒定功率 P 向四周辐射 各向同性 光子 在 S 系中观 察 辐射偏向于光源前部 即所谓的前灯效应 1 在 S 系中观察 S 系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以 x 轴为轴线的圆锥内 求该圆锥的半顶角 已知相对论速度变换关系为 2 1 x x x u u uc v v 式中 ux与 ux 分别为 S 与 S 系中测得的速度 x 分量 c 为光速 2 求 S 系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量 物理竞赛提高班入学测试题讲解 1 自由质点辐射的是光子 光子速度为光速 狭义相对论的一条基 本假设是光速不变 解答第一题需要把握这一概念 cos coscucu xx cv cv cos1 cos cos 设 和 分别为S系与S 系中某一束光子与x方向的夹角 由于光速 在两参考系中不变 均为c 故 上式两速度应满足相对论速度变换 即 2 1cvu vu u x x x 解得 物理竞赛提高班入学测试题讲解 在S 系中 前半部分辐射位于0 2范围内 在S系中对应的范围 是 c v c v c v arccos 2 cos1 2 cos arccos0 即向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内 物理竞赛提高班入学测试题讲解 2 在S 系中 质点静止 t 时间内辐射的光子能量来自质点能量的 减少 即 2 0c mtP 22 1cv t t 在S系中 t 时间膨胀 即 在S系中 质点以速度v运动 其辐射光子的能量也来自质点能量 的减少 即 22 2 02 1cv cm mctP S 因此在S系中的辐射功率为 PP S 物理竞赛提高班入学测试题讲解 在S系中 运动质点与辐射出的光子构成的系统动量守恒 即 mvp 2 c vP t p 因此动量的辐射功率为 由于质点匀速运动 速度v为常数 因此辐射出的光子的动量为 22 0 1cv vm mvp 物理竞赛集训二入学测试题讲解 1 如图所示 一根竖直的弹簧支持着一倒立气缸的活塞 使气缸悬空而静止 设活塞与缸壁间 无摩擦 可以在缸内自由移动 缸壁导热性良好使缸内气体的温度保持与外界大气温度相同 则下列结论中正确的是 A 若外界大气压增大 则弹簧将压缩一些 B 若外界大气压增大 则气缸的上底面距地面的高度将增大 C 若气温升高 则活塞距地面的高度将减小 D 若气温升高 则气缸的上底面距地面的高度将增大 物理竞赛集训二入学测试题讲解 1 将气缸 气缸内气体和活塞当做整体 则整体处在大气环境中 无论气压如何 有对称性 可知气压作用在整体上的合力为零 因而弹簧弹力等于整体重力 由此 外界环境如何变化 都不影响弹簧长度 即活塞位置不会变化 2 将气缸隔离 气缸受重力 大气压力和气缸内气体压力而平衡 气缸重力显然是不变的 外界环境变化将影响大气压力或气缸内气体压力 大气压增大 气缸内气体压力也增大 由 状态方程可知气体体积减小 气缸下降 气温升高 缸内气体温度升高 但压强不变 由状 态方程可知气体体积膨胀 气缸上升 D 物理竞赛集训二入学测试题讲解 2 图中 a b 和 c d 分别是两个平行板电容器的极板 E 为电池 彼此相距较远 用导线将 E 的正极与 a c 相连 将 E 的负极与 b d 相连 待电容器充电后 去掉导线 这时已知 a 带 的电荷量大于 c 带的电荷量 称此状态为原始状态 现设想用两根导线分别都从原始状态出 发 进行以下两次连接 第一次用一根导线将 a c 相连 用另一根导线将 b d 相连 第二 次用一根导线将 a d 相连 用另一根导线将 b c 相连 每次连接后都随即移去导线 下面 哪种说法是正确的 A 经过第一次连接 a b 间的电压下降 c d 间的电压上升 B 经过第一次连接 a b 间和 c d 间的电压都不变 C 经过第二次连接 a b 间的电压和 c d 间的电压中有一个上升 一个下降 D 经过第二次连接 a b 间的电压和 c d 间的电压都下降 物理竞赛集训二入学测试题讲解 BD 1 第一次连接 由于原始状态两电容器端电压相同 并连后不影响原来的电荷分布 因此两 电容器电压都不变 2 第二次连接 连接前仍处于原始状态 连接后 两电容器串联且形成闭合电路 回路总电 势降为 0 而连接前两电容器上电压均大于 0 且 ad 极板 bc 极板存在电荷中和 中和后总 电荷减少并重新分配 分配结果是 ad 带正电 bc 带负电 显然每个基板上带电量均减少了 两电容器上电压必然均下降 物理竞赛集训二入学测试题讲解 6 He Ne 激光器产生的波长为 6 33 10 7m 的谱线是 Ne 原子从激发态能级 用 E1表示 向能 量较低的激发态能级 用 E2表示 跃迁时发生的 波长为 3 39 10 6m 的谱线是 Ne 原子从 能级 E1向能量较低的激发态能级 用 E3表示 跃迁时发生的 已知普朗克常量 h 与光速 c 的 乘积 hc 1 24 10 6m eV 由此可知 Ne 的激发态能级 E3与 E2的能量差为 eV 能 级 能 量 差 为 释 放 的 光 子 能 量 即 12 1 hc EE 13 2 hc EE 因 此 23 21 1 59eV hchc EE 1 59 物理竞赛集训二入学测试题讲解 7 给无穷网络的一端加上UAB 10V的电压 已知奇数号电阻均为5 偶数号电阻均为10 则 R2消耗的功率 W 无穷网络问题 减掉一个单元不影响网络电阻 从左侧减掉一个 R1和 R2构成的单元后的仍 为无穷网络 电阻为 Rx R2与 Rx并联后与 R1串联 总电阻仍为无穷网络电阻 Rx 2 1 2 x x x R R RR RR 解得 Rx 10 易得 R2两端电压 5V 功率 2 5W 2 5 物理竞赛集训二入学测试题讲解 2 4 2 8 一伞状太阳灶的半径为 R 使用时调节到正对太阳光的方向 已知太阳的辐射功率 太阳 每秒辐射出的能量 为 p 太阳中心到地面的距离为 L 由于大气层的反射和吸收 太阳能 只有 1 k 光的到达地面 设太阳光的频率为 普朗克常量为 h 则这个太阳灶每秒钟可接收 的光子数为 太阳辐射出的能量到达地球后剩余为 k p 这部分能量可认为均匀分布在以太阳中心到地球 表面距离为半径的球面上 单位面积的辐射能量为 2 4 kL p 太阳灶吸收的能量为 2 2 4kL pR 每 个光子的能量为 h 所以太阳灶每秒接收光子数为 2 2 4Lhk pR 物理竞赛集训二入学测试题讲解 10 如图所示 一电阻可以忽略的水平放置的足够长的导体线框 线框两平行导线的间距为 L 线框通过开关与一带电为 Q 的电容器 C 以及电阻 R0串联 在导体框上有一可以自由移动 的质量为 m 电阻为 R 的导体棒 设整个系统处于均匀的磁场 B 中 磁场与线框平面垂直 如图所示 若把开关置于连通位置 电容器将通过回路放电 导体棒将在磁场中开始运动 则 导体棒运动的最大加速度为 最终速度值为 忽略各接触点的电阻 物理竞赛集训二入学测试题讲解 0 导体棒在运动过程中 极板间电荷逐步通过导体棒和电阻 R0放电 电压 t q u 不断减小 导体棒上的电流不断减小 由BILF 可知 I 最大时导体棒加速度最大 即 maxmax maLBI I 的最大值出现在刚接通电源时 RC Q I max 带入得 mRC BLQ a max 电路中存在电阻 R0 最终电容器释放所有电荷 导体棒必然处于静止状态 物理竞赛集训二入学测试题讲解 13 两块厚度均为 d 的无限大平面带电层紧靠在一起 两带电层各带有体密度为 和 的电 荷 一质量为 m 电量为 e 的粒子 以初速度 v0 沿与平面成 角的方向向正电荷层运动 试问 1 为使粒子进不了负电荷层 则 v0应小于何值 2 若 v0满足 1 中的条件 则粒子从进入正电荷层到出正电荷层共需多少时间 并求出 进 出点之间的距离 l 物理竞赛集训二入学测试题讲解 本题的关键在于求得均匀分布电荷厚平板的电场强度 类似无限大均匀带电平板的电场求 法 由高斯定理求得在正电荷层中任意位置 x 0 x d 的电场为dx x E 0 方向向 左 因此 对负电荷 e 受到向右的电场力dx ex F 0 这个力是变力且与位移成 正比 粒子在水平方向将作简谐振动 物理竞赛集训二入学测试题讲解 1 为使粒子不能进入负电荷层 则粒子在运动到正负电荷层边界时水平速度为零 由动能定理 得 2 0 2 0 2 1 cos 2 1 mvvmWF 求变力做功需要使用微积分相关知识 即 2 2 00 ed dx ex FdxW dd F 带入动能定理公式得 m ed v sin 0 即当 m ed v sin 0 时粒子不能进入负电荷层 0 sin 物理竞赛集训二入学测试题讲解 0cos 2 粒子受力为变力 则粒子作变加速运动 竖直方向上粒子不受力 忽略重力 作匀速直线 运动 水平方向粒子受与位移 x 成正比的变力 F 类比弹簧振子的受力可知 振子水平方向 作初速度为 v0sin 的简谐振动 初位置为平衡位置 到达正负电荷层边界时为最大振幅位 置 之后粒子向右运动 所以出正电荷层位置仍在正电荷层右侧 整个过程时间应为 T 2 这一简谐振动中 m e m k 所以所需时间 e mT t 2 2 1 2 竖直方向匀速 直线运动 运动距离为 e m vtvl coscos 00 物理竞赛集训二入学测试题讲解 14 一氧气瓶的容积是 32L 其中氧气的压强为 130atm 按规定瓶内氧气的压强降到 10atm 时 就得重新充气 以免混入其他气体而洗瓶 今有一玻璃室 每天需要用 1 0atm 的氧气 400L 若使用过程中温度 T 不变 问一瓶氧气能用多少天 1 0atm 110 325kPa 本题是典型的热力学问题 关键在于正确使用理想气体状态方程 理想气体状态方程为nRTpV 设氧气瓶初始压强为 p0 容积为 V0 氧气物质的量为 n0 氧气瓶允许的最低压强为 pl 氧气物质的量为 nl 每天使用