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概率与不确定性四评波普尔的概率理论谭天荣青岛大学 物理系 青岛 266071内容提要：本文证明：表现统计规律的“统计分布”是一种现实的分布，而“概率分布”则是它的观念映像；“统计分布”是一种客观的分布，而“概率分布”则依赖于观察者。在量子力学中，人们因为混淆“统计分布”与“概率分布”而造成两个误解，第一，把“概率分布”误解为一种现实的分布。第二，把主观上的“不确定性”误解为客观上的“不确定性”。波普尔指出：统计分布是系综的性质，而不是系综的元素的性质，并从此出发建立了“量子力学的统计系综诠释”。这一工作实际上澄清了第一个误解。但是，由于他坚持概率分布的客观性，这就使得他仍然被第二个误解所困扰，不能把自己对量子力学远见卓识贯彻到底。关键词：卡尔波普尔；测不准原理；不确定性；概率分布；薛定谔猫；概率的倾向性诠释中图分类号：O21；B561.51. 引言在科学研究的逻辑一书的对量子论的若干意见一章中，波普尔提出如下论点：量子力学中有一些概率公式被海森堡用追溯到他的测不准原理 xph；这些公式应解释为形式上单称的概率陈述，从而测不准原理必须用统计学来解释：x和p乃是统计学上的“方差”，测不准原理则表明它们之间有一定的统计学的离散关系。海森堡把测不准原理理解为我们在测量时达到的精确性的限制：电子的位置x和动量p不可能同时精确加以测量，两个误差域的积至少是h的数量级。海森堡的这一结论并不是从理论公式中演绎出来的逻辑推断，而是一个孤立的或附加的假定。这个假定实际上与波恩对波函数的统计诠释相矛盾，正是这个矛盾引起了现代量子物理学所有的困难，它的令人赞叹的结构就被这些困难所困扰。本文将考察波普尔的这一论点。2. 预告不确定性与回溯不确定性如果波普尔问一位哥本哈根学派的物理学家，在什么情况下他能放弃他对测不准原理的诠释，回答想必会因人而异。但如果波普尔问：如果实验证明了“电子的运动是轨道运动”，你会不会放弃你对测不准原理的诠释，我想这位物理学家一定会回答：“是的，我会放弃。”在科学研究的逻辑一书中，波普尔曾经提出过一个他认为能间接证明“电子的运动是轨道运动”的“判决性实验”，但不久就认识到自己弄错了。然而，这一历史事实并不意味着波普尔所期望的判决性实验不存在。这里我们提出一个，它能直接证明“电子的运动是轨道运动”。我们知道，“不确定性”是量子力学最主要的特征之一。不幸的是，“不确定性”有多种含义，这些含义在量子力学中彼此混淆了。在概率与相对频率一文中，我们曾指出主观的不确定性与客观的不确定性之间的混淆，这里我们将指出另一种概念混淆。以电子的小孔衍射过程为例，根据经典物理学的观点，人们原来期望在这一过程中所有通过小孔的电子都落在屏幕上的同一位置（最多有实验误差允许的小偏差），但实验结果不是这样，这些电子落在屏幕上不是集中于一个位置，而是分散成为衍射图形。正是在这种意义下，人们说“单个电子落在屏幕上的位置是不确定的”，这种不确定性可以追溯到测不准原理。但是，在这一实验中不确定性还有另一种含义：单个电子落在屏幕上，留下一个痕迹，这个痕迹的线度远远大于电子的线度，因此，某一电子在屏幕上留下的痕迹没有给出这个电子落在屏幕上的确切位置。在这种意义下，我们也可以说“单个电子落在屏幕上的位置是不确定的”。这种不确定性并不是什么量子现象，它与测不准原理无关。按照海森堡的用语，第一种不确定性来源于预告性测量的误差，我们称它为“预告不确定性”；第二种不确定性来源于回溯性测量的误差，我们称它为“回溯不确定性”。海森堡一再强调：回溯性测量是没有意义的；而波普尔却认为回溯性测量极为重要，回溯性测量不达到一定的精确度，就无法检验对预告性测量的预言。在判定波普尔与海森堡的上述争论谁是谁非之前，我先提出一个问题：怎样划分预告性测量的误差与回溯性测量的误差，即怎样划分预告不确定性和回溯不确定性？我想，人们会异口同声地说：“多么幼稚的问题”。尽管如此，我还是要为这一幼稚的问题提供一个或许是更加幼稚回答：以电子小孔衍射过程为例，如果设想整个实验装置的线度（包括装置本身的大小和装置之间的距离）增加一倍而各种部件的材料的性能保持不变，则有，第一，屏幕上任意两个电子的距离增加了一倍，从而Dx这一预告性测量的误差增加了一倍；第二，屏幕只改变大小而不改变性能，从而回溯性测量的误差保持不变。一般地说，当实验装置的线度改变时，与距离有关的预告不确定性将随着改变，而回溯不确定性则保持不变。我们知道，当电子经过威尔逊云雾室时，将留下一条径迹。由于有某种不确定性，这条径迹不能确切地给出电子的轨道。现在我们问，这里的“某种不确定性”是预告不确定性还是回溯不确定性。让我们设想，把威尔逊云雾室的线度增加一倍，但不改变云雾物质颗粒的大小，结果会怎么样？我们立刻会回答：第一，如果大量电子进入云雾室，则根据测不准原理，这些电子各自留下的径迹将更加分散，从而预告性测量的误差增加了一倍；第二，每一条径迹的粗细保持不变。从而回溯不确定性则保持不变。海森堡说的是什么不确定性呢？他说的是：由于云雾室的雾珠太大，不能精确确定电子的轨道，这分明说的是回溯不确定性，它与海森堡原理无关。在电子衍射过程中，由于回溯不确定性，单个电子在屏幕上留下的痕迹不能给出该电子的确切位置，但是这个痕迹足以表明，该电子在屏幕上有一个“位置”；同样是由于回溯不确定性，单个电子在云雾室中留下的径迹不能给出该电子的确切轨道，但是这条径迹足以表明，该电子在云雾室中有一条轨道。这样，单个电子在云雾室中留下一条径迹，就是表明“电子的运动是轨道运动”的判决性实验。有一个流传很广的传说，年轻的海森堡通过玄思冥想，从单个电子在云雾室中留下的径迹的不确定性领悟出测不准原理。这个传说是许多科普作者津津乐道的话题。如果这些作者知道这种不确定性其实与测不准原理完全无关，不知他们作何感想。我们看到，怎样划分预告不确定性和回溯不确定性，诚然是一个幼稚的问题，但由于没有弄清这一问题而造成如此重大的失误，那就不仅是幼稚而已。3. 概率分布的观念性在概率的相对频率一文中，我们曾经指出，概率分布与统计分布是不同的概念，统计分布是一种客观的分布，而概率分布依赖于观察者。现在我们指出概率分布与统计分布的另一个区别。为此，让我们考察一个或许是最简单的表现统计规律的经验事实。事实1：如果把某一硬币一再地随手一掷，则它一会出现正面，一会出现反面；但是，当掷的次数增多时，出现正面的次数与出现反面的次数将趋于相等；在任意给定的场合，当掷的次数足够多时，就可以认为出现正面的次数与出现反面的次数是相等的（即可以忽略出现正面的次数与出现反面的次数之间的微小差别）。一枚硬币掷出并落定以后，可以拾起来再掷，这种情形使得事实1作为统计规律的例子有一定特殊性。为了适用于更一般的情形，我们把它改述为如下形式：事实2：如果把大量硬币随手一掷，则其中的有些出现正面，有些出现反面；但是，当掷的硬币足够多时，就可以认为出现正面的个数与出现反面的个数是相等的。用G表示在事实2 中的“掷出并落定以后的大量硬币”的集合，用(1/2, 1/2)表示“正面占1/2；反面占1/2”这一分布，把“正面”或者“反面”称为硬币落定以后的“状态”，则事实2可表成：(a) G中诸硬币的状态的统计分布是(1/2, 1/2)。如果观察者知道而且也仅知道“a是G的一个元素”，则事实2也可表成：(b) a的状态的概率分布是(1/2, 1/2)。现在我们问：分布(1/2, 1/2)所表现的到底是G的特征还是a的特征？在这里，所谓“分布(1/2, 1/2)表现G的特征”，是指“G中的诸硬币，有一半出现正面，一半出现反面”。而所谓“分布(1/2, 1/2)表现a的特征”，则是指“a出现半个正面半个反面”。经验事实是：G的诸硬币确实有一半出现正面，一半出现反面；但a或者出现正面，或者出现反面，不会出现半个正面半个反面。因此，分布(1/2, 1/2)所表现的是G的特征而不是a的特征，这一点是丝毫不能含糊的。但是，分布(1/2, 1/2)作为G的特征，乃是G中的诸硬币的状态的统计分布，而不是它们的概率分布。但是，根据概率的频率定义，事实2只能表成：“将一个硬币随手一掷，它出现正面的概率是1/2。”或者说：“将一个硬币随手一掷，它落定以后的状态的概率分布是(1/2, 1/2)。”在观察者恰好知道“a是G的一个元素”的前提下，这种陈述乃是用“概率”这一用语表现事实2时唯一可能的方式。如果在命题(b)中用G取代a，它就不再是对事实2的陈述了。因此，作为概率分布，(1/2, 1/2)实际上被看作是a的状态分布。换句话说，命题(a)一旦表成概率陈述就只能是“形式上单称的”。这一点也是丝毫不能含糊的。于是，分布(1/2, 1/2)是G的特征，它是G的统计分布，但它却是a的概率分布。这是“概率”这一用语所固有的语义上的错位：从语义上看，命题(a)中的概率分布似乎描写了a的特征，但事实上a不会出现半个正面半个反面，从而并不具有分布所描写的特征。现在，我们用另一种方式表达“概率”这一用语所固有的语义上的错位。在G的诸硬币中实实在在有一半是正面、一半是反面，在这种意义下，统计分布是一种“现实的分布”。而a的状态并非实实在在有一半是正面、一半是反面。当我们说“a的状态的概率分布是(1/2, 1/2)”时，心里想的却是“G中诸硬币的状态的统计分布是(1/2, 1/2)”，在这种意义下，单个硬币的状态的概率分布是大量硬币的状态的“统计分布”在单个硬币身上的“观念映像”；反过来，大量硬币的状态的“统计分布”则是单个硬币的状态的“概率分布”的“现实原型”。在这种意义下，我们说“概率分布”是一种“观念上的分布”。或许，某些读者会不习惯“现实的分布”和“观念上的分布”这一对用语，觉得它们“语焉不详”。对于这部分读者，不妨把这一对用语理解为如下硬性的规定：命题“(1/2, 1/2)作为a的概率分布是一种现实的分布”是指“a出现半个正面半个反面”；反之，命题“(1/2, 1/2)作为a的概率分布是一种观念上的分布”的意思是“它是G的统计分布在a身上的观念映像”，或者更简单地把命题(b)理解为命题(a)的观念映像。像概率分布这样的观念上的分布无疑比现实的分布难以掌握，但它来自“概率”这一用语所固有的语义上的错位。因此，只要我们应用“概率陈述”，就不得不接受这种较为曲折的概念。其实，像“概率陈述”这样的语义上的错位并不是数理科学所特有的，政治经济学也有类似的情形。按照马克思的劳动价值论，一个商品的价值乃是某一商品的集合的“社会平均必要劳动时间”。大家知道，平均值乃是某一数值的集合的特征，因此，“价值”这一时间的平均值也只能是某一“商品的集合”的特征，而不是该集合的一个“元素”的特征。但这个平均值却是该集合的一个“元素”的价值，而不是该“商品的集合”的价值。这种语义上的错位也是“价值”这一用语所固有的。4. 薛定谔猫我们已经看到，统计分布是现实的，与观察者无关；而概率分布则是观念的，还依赖于观察者。由于有这两种区别，我们千万不能把概率分布与统计分布混淆起来。不幸的是，这种混淆却在物理学，特别是量子力学中出现了。为了考察这种概念混淆而又避免深入量子力学的细节，让我们先考察“薛定谔猫”这一关于量子力学的哥本哈根诠释的一个比喻。“薛定谔猫”的大意是：把一只猫和一个扳机同置于一个钢箱中，扳机的构造如下：放入盖革计数器中的少量放射性物质在一个小时内有原子衰变和没有原子衰变的概率相等，如果它有原子衰变，计数器就产生反应，并作用于一个连着一个小锤的继电器，使小锤打碎一个装有氢氰酸的瓶子，从而毒死关在箱中的猫。猫不能直接接触扳机，因此，如果一小时之内没有原子衰变，猫就还活着；如果有原子衰变，猫将被氢氰酸毒死。按照量子力学的哥本哈根诠释，从上述系统将得出结论：(c) 一个小时以后，钢箱中将有半只活猫与半只死猫混合在一起，或者模糊不清。这一结论显然不成立：一个小时以后，箱中的猫要么还活着，要么已经死去，不可能半死半活。换句话说，上述系统中的这只猫的状态要么是“活”，要么是“死”，不可能“模糊不清”。那么，为什么人们会得出命题(c)呢？用m表示在钢箱中的那只猫，那么，恰好度过了一个小时之后，它还活着的概率和它已经死去的概率各占1/2。将这一分布表成，则我们得出结论：(d) 一个小时之后，m的状态的概率分布是。怎么理解这一命题呢？按照概率这一用语本来的含义，m的状态的这一概率分布乃是一种观念上的分布，它是某一“猫的集合”的状态的统计分布的观念映像。而这一“猫的集合”，记作M，可描述如下：如果有数量足够多的钢箱，每一个钢箱都在同一时刻置入一只猫和一个扳机，在一个小时以后，诸扳机中的放射性物质有一半有原子衰变、另一半没有。则这些钢箱中的猫就构成M。命题(d)乃是如下命题的观念映像：(e) 一个小时以后，M中诸猫的状态的统计分布是。说白了就是：在一个小时以后，在M中有一半活猫、一半死猫。如果有人误解了概率分布的含义，把命题(d)中的概率分布理解为一种现实的分布，他就会丝毫不差地得出命题(c)。由此可见，“薛定谔猫”这一比喻所揭示的乃是对“概率”这一用语的误解：把概率分布误解为一种现实的分布了。这种误解是由于“概率”这一概念所固有的语义上的错位引起的，本来和“宏观物理学”与“微观物理学”的对立完全无关。但是，十分明显，这种误解决不可能发生在看得见的事情上，比方说，不可能发生在一只猫的“活”与“死”之类的事情上，从而也就不可能发生在宏观物理学中。不幸的是，由于一系列极为复杂的历史原因，这种误解却在量子力学的哥本哈根诠释中发生了。这种误解导致许多“不可思议”的结论。当然，人们十分巧妙地把这种误解限制在看不见的微观世界。由于量子力学在应用方面的辉煌成功，而量子力学的基础又始终处在暧昧不明的状态，人们越来越相信，微观世界本来就是“不可思议”的。因此，大多数物理学家欣然接受这种误解和从它导出的结论。于是出现了如下古怪的情况：概率分布在宏观世界是一种观念上的分布，而在微观世界却是一种现实的分布，这种情况在逻辑上能不能贯彻到底呢？“薛定谔猫”给出了否定的回答。这个比喻巧妙地把“原子衰变”这一微观过程与“猫的死亡”这一宏观过程“等价”起来（指要么都发生，要么都不发生）。这就迫使原来只发生在微观世界的对“概率”的误解在宏观世界亮相。让人们看到量子力学的哥本哈根诠释的荒谬的一面。5. “人眼的一瞥”从薛定谔猫这一比喻还可以得出更古怪的结论：既然在被关进钢箱中一个小时以后的那一时刻猫m处于半死半活的状态，如果这时打开钢箱，则我们立刻能看到：m的状态或者是已经死去，或者还活着。总之，m的状态将发生突变，或者从半死半活的状态变成死亡状态，或者从半死半活的状态变成活的状态。在这两种情况下，都是从“不确定”状态突变为“确定”的状态，导致这一突变的乃是我们的观察。于是，我们的观察引起了猫的状态的突变。一言以蔽之，猫的死活决定于“人眼的一瞥”。这一结论是针对冯诺伊曼的测量理论的一个比喻。冯诺伊曼认为，观察者在测量终结时看到仪器指针的读数，是导致被测量的对象从不确定状态过渡到确定状态的决定性因素。因此，如果不提到人类意识，就不可能表述一个完备的、前后一贯的量子力学测量理论。冯诺伊曼的这种观点导致哲学上的“为我论”，这是一个大题目。在这里，我们只能就事论事，指出导致这种观点的一个主要的概念混淆。在猫被关进钢箱之后刚刚过了一个小时的那一时刻，猫的状态在客观上是确定的：要么已经死去，要么还活着。但是，在钢箱还没有打开时，我们作为观察者不知道它是死是活，即我们对猫的状态的主观认识还不确定。因此，箱中的猫处于已经决定但还不明确的状态，即处于“暧昧状态”。如果这时打开钢箱，猫从钢箱中一跃而出，则虽然猫的客观状态保持不变，但我们对它的状态的认识却改变了，从不明确变成明确，或者说，猫的状态从暧昧状态突变为已知状态。于是，“人眼的一瞥”所改变的，不是猫的客观状态，而是我们对猫的状态的主观认识。在打开钢箱、猫一跃而出这一过程中，事件“猫还活着”的概率从1/2突变为1，概率的这种突变，我们称它为“观察效应”。“人眼的一瞥”所引起的概率的突变，就是这种观察效应。总之，我们对猫的观察引起了我们对猫的状态的认识的突变，这实在是一件最最平凡的事情，只有把这种突变误解为猫的客观状态的突变，它才会成为“不可思议”的。在未决状态或已知状态中，“决定”与“明确”是一致的。虽然它们含义不同，你不去划分也不会引起麻烦。但是在暧昧状态中，“决定”与“明确”不再一致，这时混淆这两个概念就难免得出“不可思议”的结论了，“猫的死活决定于人眼的一瞥”就是这种结论之一。6. 概率的倾向性诠释回到海森堡的测不准原理，波普尔正确地指出，这一原理描写的是系综的某种物理属性，是一种统计学的离散关系。例如，从量子力学可以得出结论：(f) 如果一个电子的动量取某值的概率为1，它在全空间任何一点出现的概率（密度）相等；反之亦然。这一命题乃是如下命题的观念映像：(g) 如果一个电子束的动量一致（即它的诸电子的动量取同一值），则这些电子的位置分布在全空间均匀分布；反之亦然。海森堡的错误在于把命题(f)中的概率分布理解为一种现实的分布，这才得出“电子的运动不是轨道运动”的结论来。按照波普尔的意见，命题(f)乃是一种“形式上单称的概率陈述”，这就可以把“概率分布”直接理解为我们说的“统计分布”，于是也得出命题(f)表现了统计学的离散关系的结论。因此，统计分布乃是系综的一种物理属性，或者说，系综的行为决定统计分布。不幸的是，波普尔混淆了相对频率与概率，从而也混淆了统计分布与概率分布，这样就不能反驳哥本哈根诠释由于这种混淆而导致的各种“不可思议”的结论。更糟糕的是，波普尔后来还改变了统计分布乃是系综的一种物理属性的观点，提出了“概率的倾向性诠释”：统计分布是由“全部实验装置”确定的，它表现了在给定的实验条件下出现各种结果的倾向性。显然，波普尔的这种“概率的倾向性诠释”不适用于我们在日常生活中遇到的概率问题。例如，如果我们说“张三得肺结核的概率”是0.02，那么，在这一命题有意义的限度内，它是指观察者知道张三属于某一人群，该人群有2的人得了肺结核。如果经过透视，查明张三没有得肺结核，那么张三得肺结核的概率就是零。这样，在透视前后，张三得肺结核的概率发生了突变，从0.02突变为0。按照我们的理解，这是观察者对张三的健康状态的认识的突变。在这里，很难设想有什么实验条件的改变，导致了什么样的“倾向性”的改变，而这种“倾向性”的改变又会引起张三的健康状态的概率分布的突变。波普尔也认为他的“倾向性诠释”不适用于“张三的健康状态”这种日常生活的例子，他认为概率在物理学中的含义与它在日常生活中的含义是不同的。实际上，波普尔的“概率的倾向性诠释”更像是专门为物理学，特别是量子力学提出的概率理论，这使人不禁想起“特设的”这一波普尔常用的哲学用语。另一方面，即使在量子现象中，统计分布未必是由“全部实验装置”确定的。例如，当我们在实验室里制备一个动量一致的电子束时，实验条件只能控制诸电子的动量取同一值，不能控制诸电子的位置均匀分布，可见这种均匀分布乃是电子束的一种性质，不能归结为发射电子束的实验装置。更能说明问题的是：系综的统计分布的改变并不一定伴随着实验装置的改变，这里举一个例子。动量一致的电子束称为“单色电子束”。但实验室制备的单色电子束只能是有限的，诸电子在某一有限的空间均匀分布。根据命题(f)，这种电子束不可能严格地动量一致，从而其“单色性”只能是近似的。下面我们把这种近似单色的电子束称为“准单色电子束”。设有两个单色电子束一前一后的运动着，后面的电子束运动速度较快，终于赶上了前面的电子束，两个准电子束合而为一。合成的电子束有两种动量，从而其动量不再一致，根据命题(g)，这一电子束诸电子的位置分布不再是均匀的。再过一段时间，合成的电子束重新分开，根据命题(g)，分开后的两个电子束都重新恢复均匀分布。在这一过程中，电子束诸电子的位置分布的变化，并未伴随着实验装置的改变。即使在系综的统计分布伴随着实验装置的改变而改变的场合，波普尔的“概率的倾向性诠释”也是不能令人满意的，电子的双缝衍射就是一个例子。大家知道，在电子的双缝衍射中，人们预期当两条缝同时打开时的诸电子在屏幕上的衍射图形，乃是两条缝轮流打开时的两个衍射图形的迭加，但事实上并非如此。波普尔这样解释这一出人意外的实验结果：在双缝实验中，衍射图形由电子落在屏幕上的概率分布决定，而这种概率分布即电子落在各种位置的“倾向”，则由全部实验装置给出。当试验装置改变，例如关闭一条缝时，电子落在各种位置的倾向从而衍射图形将随着改变。这种情况同把普通的弹球戏中的钉板弄倾斜，因而使滚落的小球的分布发生变化没有原则性的不同。波普尔并且批评了“双缝衍射表明电子具有波粒二象性”的说法是无益的空论。在双缝衍射实验中，电子的在屏幕上的位置分布诚然伴随着实验装置的改变，但是这一实验结果令人困惑之处不在于电子的位置分布有了改变，而在于这种位置分布改变的方式。电子的双缝衍射图形与光的衍射图形的相似性强烈地暗示电子束伴随着某种未知的波。“电子具有波粒二象性”的说法诚然只是无益的空论，但从“概率的倾向性诠释”我们也没有得到更多的认识。综上所述，我们看到物理学中的主观主义以及各种“不可思议”的结论，原来都起源于对“概率”的误解。波普尔为解决这些问题而重点考察概率问题，方向无疑是找对了。但是，波普尔对概率的倾向性诠释，却在另一方向误入迷途。7. 双缝衍射提出的问题然而，波普尔还是提出了一个极为重要论点，在双缝实验中，两条缝同时打开时与两条缝轮流打开是不同的实验条件，这种实验条件的改变将导致单个电子通过某一条缝落在屏幕上的位置的概率分布的改变。这一论点实际上已经揭开了双缝衍射的神秘面纱，虽然波普尔并未把自己的这一工作进行到底。我们将在下一篇文章中考察这一问题。Probabilities and Uncertainty PrincipleAnother Comment on Poppers Interpretation for ProbabilityTAN Tianrong(Department of Physics, Qingdao University, Qingdao 266071, P.R.China.)Abstract: It is proved that a statistic distribution charactering a statistic law is a realistic one, while the corresponding probabilistic distribution is an image of it; also, a statistic distribution is objective, while a probabilistic distribution is dep