2009年江苏高考数学试卷带详细讲解.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若复数 其中是虚数单位.则复数的实部为 .【测量目标】复数的运算.【考查方式】给出两个复数.根据复数的减法.乘法运算求目标复数的实部.【难易程度】容易【参考答案】 【试题解析】.= .所以实部为.2.已知向量和向量的夹角为,.则向量和向量的数量积 .【测量目标】向量的运算.【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角.求向量的数量积.【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】.3.函数的单调减区间为 . 【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查方式】直接给出函数解析式.利用导数求其单调区间.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】.由得单调减区间为. 4.函数为常数.在闭区间上的图象如图所示.则 . 第4题图 【测量目标】函数的图象的性质.【考查方式】观察函数图象.得到周期.【难易程度】容易【参考答案】3.所以 .5.现有5根竹竿.它们的长度（单位：m）分别为2.5.2.6.2.7.2.8.2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿.则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】给出等可能事件.直接求概率.【难易程度】中等【参考答案】0.2【试题解析】 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10.它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2.分别是：2.5和2.8.2.6和2.9.所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1.2.3.4.5的学生进行投篮练习.每人投10次.投中的次数如下表： 学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为 . 【测量目标】平均数.方差.【考查方式】将统计的案例放入实际生活中.根据表格中的数据计算平均数和方差.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】甲班的方差较小.数据的平均值为7.故方差 7.右图是一个算法的流程图.最后输出的 . 第7题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂程序框图.进行运算得到答案.【难易程度】中等【参考答案】22【试题解析】第一次循环:S=1, T=3第二次循环：S=8.T=5.第三次可以输出W=17+5=228.在平面上.若两个正三角形的边长的比为1：2.则它们的面积比为1：4.类似地.在空间内.若两个正四面体的棱长的比为1：2.则它们的体积比为 . 【测量目标】归纳推理中的类比推理.【考查方式】给出一个例子.通过类比.求体积比.【难易程度】中等【参考答案】1:8【试题解析】平面上面积比和边长比成平方.空间中面积比和棱长比成立方.所以体积比为1:8. 9.在平面直角坐标系中.点P在曲线上.且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2.则点P的坐标为 . 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出解析式.利用导数的几何意义.根据该点的切线的斜率.求点坐标.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】.又点P在第二象限内.点P的坐标为.10.已知.函数.若实数满足.则的大小关系为 . 【测量目标】指数函数的单调性.【考查方式】已知指数函数的底数.根据指数函数的单调性.判断自变量的大小.【难易程度】中等【参考答案】mn【试题解析】考查指数函数的单调性. .函数在上递减.由得：mn11.已知集合.若则实数的取值范围是.其中= . 【测量目标】集合间的关系.对数不等式.【考查方式】描述法表示集合.求出对数不等式.根据集合间的关系.求参数的范围.【难易程度】中等【参考答案】4【试题解析】由得.；由知.所以4.12.设和为不重合的两个平面.给出下列命题： 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线.则平行于；若外一条直线与内的一条直线平行.则和平行；设和相交于直线.若内有一条直线垂直于.则和垂直；直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中.真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 【测量目标】命题的基本关系.立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.【考查方式】通过两个不重合的平面.确定命题的真假.【参考答案】【难易程度】较难【试题解析】对于.根据面面的平行定理.平面内两条相交直线.互相平行于另一平面的两条直线.则两条直线平行;对于.根据线面平行的判断依据.显然成立.对于.当一条直线垂直两平面的相交直线.显然不一定使得.两平面垂直.所以为假命题；.对于.只满足充分条件.不满足必要条件.为假命题.故真命题为.13如图.在平面直角坐标系中.为椭圆的四个顶点.为其右焦点.直线与直线相交于点T.线段与椭圆的交点恰为线段的中点.则该椭圆的离心率为 . 第13题图 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.椭圆的基本性质.直线方程.【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系.利用椭圆的基本性质.求椭圆的离心率值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】直线的方程为：；直线的方程为：.（步骤1）二者联立解得：.（ 步骤2） 则在椭圆上. （步骤3）解得： （步骤4）14设是公比为的等比数列.令.若数列有连续四项在集合中.则 . 【测量目标】等比数列的通项【考查方式】给出构造的新数列.根据列举表示出的集合.利用通项求公比进而求值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】 有连续四项在集合.四项成等比数列.公比为二、解答题：本大题共6小题.共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15（本小题满分14分） 设向量 （1）若与垂直.求的值；（2）求的最大值;（3）若.求证：. 【测量目标】向量的运算.同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【考查方式】给出以三角函数表示的坐标向量.根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行.【难易程度】中等【试题解析】（1）由与垂直.（步骤1）即.；（步骤2）（2）（步骤3）.最大值为32.（步骤4）所以的最大值为.（步骤5）（3）由得.（步骤6）即（步骤7）所以.（步骤8）16（本小题满分14分）如图.在直三棱柱中.分别是的中点.点在上. 求证：（1）（2） 第16题图 【测量目标】线面平行的判定.线面垂直.面面垂直的判定. 【考查方式】直三棱柱中点.线位置关系.利用线线.线面.面面之间的位置关系和定理进行证明.【难易程度】容易【试题解析】（1）因为分别是的中点.所以.（步骤1）又.所以；（步骤2）（2）因为直三棱柱.所以.（步骤3）又.所以.（步骤4）又.所以（步骤5）17（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列.为其前项和.满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数.使得为数列中的项. 【测量目标】等差数列的性质.通项.前n项和.【考查方式】给出数列项数之间的关系.求出通项及前n项和；求满足条件的等差数列的项.【难易程度】中等【试题解析】(1)以.即.（步骤1）又由得.（步骤2）解得.（步骤3）所以的通项公式为.前项和.（步骤4）（2）.令.（步骤6）因为是奇数.所以可取的值为.当.时.是数列中的项；（步骤7）.时.数列中的最小项是.不符合. （步骤8）所以满足条件的正整数.（步骤9）18（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中.已知圆和圆（1）若直线过点.且被圆截得的弦长为.求直线的方程； （2）设P为平面上的点.满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线.它们分别与圆和圆相交.且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标. 第18题图 【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式.直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线和圆的位置关系.以及圆的方程.求直线方程给出两垂直直线与两圆 的位置关系.求满足条件的点坐标.【难易程度】较难【试题解析】(1)设直线的方程为： .即.（步骤1）由垂径定理.得：圆心到直线的距离.（步骤2）结合点到直线距离公式.得（步骤3）化简得：（步骤4）求直线的方程为：或.（步骤5）(2) 设点P坐标为.直线、的方程分别为：即（步骤6）因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等.两圆半径相等.由垂径定理.得：圆心到直线与直线的距离相等. 故有： .（步骤7）化简得：（步骤8）关于的方程有无穷多解.有： （步骤9） 解之得：点P坐标为或.（步骤10）19.(本小题满分16分) 按照某学者的理论.假设一个人生产某产品单件成本为元.如果他卖出该产品的单价为元.则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元.则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和.则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元.乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元.设产品A、B的单价分别为元和元.甲买进A与卖出B的综合满意度为.乙卖出A与买进B的综合满意度为(1)求和关于、的表达式；当时.求证：=；(2)设.当、分别为多少时.甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记（2）中最大的综合满意度为.试问能否适当选取、的值.使得和同时成立.但等号不同时成立？试说明理由.【测量目标】基本不等式的实际应用.【考查方式】给出实际例子.列出不等式.根据不等式性质.进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题.【难易程度】较难【试题解析】(1)（步骤1） 当时.（步骤2）显然（步骤3）(2)当时.（步骤4）由.（步骤5）故当即时.甲乙两人同时取到最大的综合满意度为（步骤6）（3）（方法一）由（2）知： 由得：.（步骤7）令则.即：.（步骤8）同理.由得：（步骤9）另一方面.（步骤10）（步骤11）当且仅当.即时.取等号. （步骤12）所以不能否适当选取的值.使得和同时成立.但等号不同时成立. （步骤13）方法二：由（2）知.因为 （步骤7）所以.当,时,有（步骤8）因此.不能取到的值.使得和同时成立.但等号不同时成立. （步骤9）20(本小题满分16分) 设为实数.函数.(1) 若.求的取值范围；(2) 求的最小值；(3)设函数.直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【测量目标】分段函数.解不等式.函数的值域.函数的最值.【考查方式】直接给出含参数的函数解析式.根据函数值的大小.求参数的取值范围;根据分段函数.分段讨论.得到函数的最值；定义新函数.解不等式.【难易程度】较难【试题解析】（1）若.则（步骤1）（步骤2）（2）当时.（步骤3） 当时.（步骤4） 综上（步骤5）(3) 时.得.（步骤6）（步骤7）当时.；（步骤8）当时.得（步骤9）1）时.2）时. 3）时.（步骤10）数学（附加题）参考公式:21.选做题在A、B、C、D四小题中只能选做两题.每小题10分.共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41：几何证明选讲如图.在四边形中.求证：.第21题 【测量目标】四边形、全等三角形.【考查方式】观察平面图形.根据全等三角形的性质进行证明.【难易程度】容易【试题解析】证明：由得.故四点共圆.从而.再由得.因此.所以.B. 选修42：矩阵与变换求矩阵的逆矩阵.【测量目标】矩阵初步.【难易程度】容易【考查方式】给出二乘二矩阵.根据矩阵的的基础知识求逆矩阵.【试题解析】设矩阵的逆矩阵为则（步骤1）即故（步骤2）解得：.（步骤3）从而的逆矩阵为.（步骤4）C. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数.）.求曲线C的普通方程.【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程.求出参数值.得到一般方程.【难易程度】容易【试题解析】因为所以（步骤1）故曲线C的普通方程为：.（步骤2）D. 选修4 - 5：不等式选讲 ,求证:.【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出不等式.利用不等式比较大小直接进行证明.【难易程度】中等【试题解析】证明：.（步骤1）因为,所以（步骤2）.从而.（步骤3）即.必做题第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中.抛物线C的顶点在原点.经过点A（2.2）.其焦点F在轴上.第22题图 （1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F.且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点.ME=2DM.记D和E两点间的距离为.求关于的表达式.【测量目标】两点距离公式.抛物线方程.直线方程.直线和抛物线的位置关系.【考查方式】已知一点过抛物线.求抛物线的标准方程;进而求出过抛物线焦点的直线方程；根据直线与抛物线的位置关系.利用两点间的距离公式.求表达式.【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意知.可设抛物线C的标准方程。（步骤1）因为点在抛物线C上.所以。（步骤2）因此.抛物线C的标准方程为.（步骤3）（2）由（1）可得焦点F的坐标是.（步骤4）又直线OA的斜率为.故与直线OA垂直的直线的斜率为.（步骤5）因此.所求直线方程是.（步骤6）(3) 解法一：设点D和E的坐标分别为和.直线DE的方程是.（步骤7）将代入.有.解得.（步骤8）由知.化简得.（步骤9）因此（步骤10）所以.（步骤11）第22题图 解法二：设.由点及（步骤7）得（步骤8）因此.所以.（步骤9）23. （本题满分10分）对于正整数.用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数.其中（可以相等）