2010暑假衔接班 快乐的数学世界.doc

数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来第1讲 快乐的数学世界 【知识目标】、体会、认识生活中的数学，数学知识来源于生活、应用于生活；2、通过动手操作、实验，体会学习数学的意义，感受学习数学的乐趣与价值；3、学习科学的思考方法，培养数学素养和健全人格、积极的处世态度和坚韧的性格；【趣题导航】 专题一、数学的趣味性【例1】我国著名数学家苏步青先生曾说过：学数学的最好方法，就是做数学当然，“做数学”先要从做数学习题开始同学们先学着做一些数学习题，通过正确地解答数学习题，学会和掌握解决数学问题的方法（甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了_千米）【例2】合作与交流（1）给出一个等式：，请你根据这个等式填一个成语（四个字） 。（2）如图：有长方体砖若干块，请设计一种方法测出、两点之间的直线距离。（不通过计算，直接测量）（3）如图，8根火柴拼成两个平行四边形，规定：只允许移动2根火柴，把它变成“一个平行四边形”。 变式议练一1、一对蚯蚓在一起，身体不能挨身体（打一数学符号） ；2、（猜字谜）2只小狗同戴1顶草帽。这个字是 。【例3】莱蒙托夫是俄国著名的诗人，爱好数学。有一次，他给一些军官表演猜数游戏。他请一名军官随便想好一个数，不要说出来，然后请这个军官将想好的这个数加上25，再加上125，减去37，再减去最初想好的这个数，把得到的数乘以5，最后再除以2，这时，莱蒙托夫说，我可以猜出你算出的结果，他问那个军官：“此数是282.5对吗？”那个军官非常吃惊，因为莱蒙托夫并不知道他想的是什么数，却得到了和他完全一样的结果。奥秘在哪里呢？请你用字母表示这个数，就能解开这个谜。 变式议练二小星和小月正在玩猜数游戏； 小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤计算：把第一个数乘以2；加上5；乘以5；加上第二个数；乘以10；加上第三个数。只要你告诉我最后的得数，我就能知道你选的三个一位数是什么。”小月不相信，但试了几次，小星都猜对了，你能破译其中的奥秘吗？ 专题二、生活中的数学【例4】1、由梅州到广州的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是：梅州兴宁华城阿源惠州东莞广州,那么要为这次列车制作的火车票有（ ）、6种 、12种 、21种 、42种2、钟表上的数学问题：时针与分针的夹角为 度；3、日历中的数学问题：图中给出的是2004年3月份的日历表,任意图出一竖列上相邻的三个数,请你运用方程思想来研究,发现这三个数的和不可能是( )、69 、54 、27 、404、棋盘中的数学：如图是跳棋盘,其中格点上的黑色点为棋子,剩余的格点上没有棋子,我们约定跳棋游戏的规则是:把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行,跳行一次称为一步,已知点A为己方一枚棋子,欲将棋子A跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最小步数为( )A、2步 B、3步 C、4步 D、5步 变式议练三1、小红每天早上起床要做许多事情,整理床铺5分钟，晨读10分钟，淘米1分钟，用电饭煲煮粥20分钟，洗脸刷牙3分钟，吃早饭3分钟，吃完早饭后上学，小红做这些事情，至少要 分钟；2、如图是一块稻田，根据图中数据计算这块地的周长。 专题三-动手做一做（数学实验）：【例5】如图“回”字形的道路宽为，整个“回”字形的长为，宽为，一个人从入口点沿着道路中央走到终点，他共走了（ ）、 、 、 、 变式议练四用六根等长的木棍最多可以拼成几个以木棍长为边长的等边三角形？ 专题四、探索数学规律【例6】找规律，在（ ）内填上适当的数：（1）2，4，8，16，（ ）； （2）1，4，9，16，（ ）；（3），（ ）（4），（ ），（ ），； 变式议练五1、找规律，在（ ）内填上适当的数：（1）1，3，6，10，（ ），21，（ ），（ ）；（2）1，3，7，15，（ ）；63，（ ）；（3），（ ），；（4）如图，根据其规律，“？”处的数字是 ；2、（1）计算1+3，1+3+5，1+3+5+7，找出规律，猜测1+3+5+7+99的结果（2）根据以上的规律，猜测11+13+15+17+99的结果。 专题五-解题方法比拼【例7】李白买酒歌问题：李白买酒歌李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，试问壶中原有多少酒？算术头脑分析：（倒推法） 代数头脑分析：【例8】托尔斯泰的割草问题：割草队要收割两块草地，其中一块比另一块大1倍，全队在大的一块草地上割了一上午，到了下午就分成两半，一半人继续留在大块草地上，到晚上正好把大块草地的草割完。另一半人转移到小块草地上，到了晚上还未割完，还剩下一小块。第二天，这剩下的一小块由一个割草队员花了一整天刚好割完。问这个割草队共有几人？算术头脑分析：数形结合分析：代数头脑分析：【思维大发散】计算：专题六、阅读科学家的故事哥德巴赫猜想与陈景润早在1742年6月7日数学家哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想发表一个猜想：任何一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。同年6月30日欧拉给他回信说：每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。我们可以验证这个结论，例如：6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=3+11；16=3+13=5+11；18=5+13=7+11；20=3+17=7+13；22=3+19=5+17=11+11；24=5+19=7+17=11+13；同学们也可自己试一试，任意取一个偶数（例如1000，1998），将它写成两个素数之和。有人对一个一个偶数都进行了验算，一直算到3亿多，都表明这个猜想是对的，但是这还不能说明哥德巴赫猜想对于全部大偶数都是正确的，它的正确性还有待于研究。欧拉和哥德巴赫一生都没能证明这个论断，以后的200年里，也没有哪位数学家给出证明。因此，直到今日，这只能称为一个猜想，这个猜想也就是著名的哥德巴赫猜想。这是一个世界上有名的难题，被誉为数学王冠上的一颗明珠。1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，提出了23个他认为最重要的没有解决的数学问题，这23个问题预示着20世纪数学研究的方向，许多数学家分别在解决这些问题方面作了巨大的努力，取得了丰硕的成果，哥德巴赫猜想问题就是希尔伯特第8问题（素数问题）的一部分。我国著名数学家陈景润潜心研究了一系列著名的数论问题，特别是在哥德巴赫猜想问题的研究上，得到了目前世界上最好的结果，1966年5月，他证明了：每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数和一个不超过2个素因子的积的和。这个结果就是国际上公认的以陈景润的名字命名的陈氏定理。陈景润写出的（1，2）的证明长达200页，他的证明引起国际数学界的关注，称他的论文是解析数论的名作，是筛法的光辉顶点，是对研究哥德巴赫猜想的重大贡献。至今为止，对哥德巴赫猜想的研究还没有结束，还有从（1，2）到（1，1）这最艰难的一步。英国数学家哈代（18771947）1921年在哥本哈根数学会上说：“哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中最困难的一个”。现在这颗皇冠上的明珠正在峰顶上闪耀，但她只属于那些勤奋踏实、不畏艰险、勇于攀登的攀登者。 快乐大比拼 组1、一个老人在公路上散步,从第1根电线杆走到第4根电线杆共用12min,这个老人走了36min,走到第_根电线杆；2、比较下列算式结果的大小：4232_243; 3222_232;2211_221; 1202_210.3、在下面几个算式中,每个算式都至少有一个奇数,也至少有一个偶数,那么在这些数中,偶数共有_个(都是整数)；、 、 、 、 4、法官断案：有两兄弟分得父亲留下的遗产，可老大总觉得父亲偏爱老二，给老二分得的财产比自己的多，老二也觉得是老大分的更多，为此两兄弟上诉至法庭。聪明的法官轻松断案，两兄弟高兴而归。你知道法官是如何断案的吗？5、小丽拿着两只桶到河边取水,一只桶可取水,另一只桶可取水,而老师为了考考她，要求她不借助其它任何工具，取水回来,请你帮小丽想想办法。 组1、将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 根据规律可知,2010应在第 行 列。123452、运用加、减、乘、除四种运算，如何由四个数2，7，10，4（每个数只能用一次）得到24，你能想出几个算式？写出来。3、如图，线与线的交点个数由1+2+3+4+5得15个，（1） 图中的三角形个数为多少个？（2） 是点多呢？还是三角形多？（3） 你能写出数三角形个数的方法吗？如果再增加一排，会有多少个三角形呢？4、小明同学准备五一随父亲、母亲参加旅游团外出旅游，甲旅行社告知：父母买全票,学生按半价优惠；乙旅行社告知:家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的八五折（）优惠，若这两家旅游社每人的原票价相同，那么，请你计算一下，看哪个旅行社更优惠？参考答案：【例7】 李白买酒歌李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒， 试问壶中原有多少酒？算术头脑分析：（倒推法）喝光壶中酒第三次见花前应有酒1斗第三次遇店前应有酒斗第二次见花前应有酒（+1）斗第二次遇店前应有酒（+1）斗第一次见花前应有酒（+1）+1斗第一次遇店前应有酒 （+1）+1斗，此即壶里原有的酒。解1： （+1）+1=(斗) 答：略说明：算术方法注重的是结论，运用例推的思维方法就可以解决李白买酒的数学问题，其实我们也有一些聪明的孩子已经掌握了代数的方法。代数头脑分析 代数方法是用字母来代替数，顺着读题的顺序把每次买酒的数量用一个含字母的式子来表示，下面我们具体用分析如下：设壶中原有酒x斗第一次遇店后，壶中酒变为2x斗第一次见花后，壶中酒变为（2x-1）斗第二次遇店后，壶中酒为2（2x-1）斗第二次见花后，壶中酒变为2（2x-1）-1=（4x-3）斗第三次遇店后为2（4x-3）斗第三次见花后为2（4x-3）-1=0解2：8x-7=0，得斗 答：（略）例8、托尔斯泰的割草问题割草队要收割两块草地，其中一块比另一块大1倍，全队在大的一块草地上割了一上午，到了下午就分成两半，一半人继续留在大块草地上，到晚上正好把大块草地的草割完。另一半人转移到小块草地上，到了晚上还未割完，还剩下一小块。第二天，这剩下的一小块由一个割草队员花了一整天刚好割完。问这个割草队共有几人？算术头脑分析：在大块草地上割草队全体割了半天，全队的一半人又割了半天，这就是，这一半人要花3个半天收割完这大块草地。也就是说，全队一半的人在半天时间内收割了大块草地的。由于大块草地比小块草地大一倍，所以在小块草地上，半队人割半天后剩下的草地为大块草地的。由于这剩下的一小块地正好由一个割草队员割完，即一个割草队员一天可割大块草地的。而全队人在一天中共割了大块草地的，所以割草队的总人数为。我们如果利用图解法也很方便，如右图：大块草地小块草地代数头脑分析：设割草队人数为x，每人每天割草面积为a，由题意可知：大块草地面积为：小块草地面积为：由于大块草地比小块草地大一倍，故有：两边都除以（0），解得x=8 答：割草队共有8人。【练习答案】B组5.（10-2）（7-4）； 24（10-7）； 7（42）+10；等6.（1）共计27个（2）此图中三角形的个数多（3）数三角形的个数要掌握规律，从小到大来数 有一个小三角形的有1+3+5+7=16个 由4个小三角形组成的有1+2+3+1=7个 由9个小三角形组成的有1+2=3个 由16个小三角形组成的有1个 如果再增加一排，会有48个第2讲 数怎么不够用了【新知讲解】1、 互为相反意义的量：在现实生活中，常会遇到这样一些问题：（1） 温度是零上5或零下5；（2） 盈利400元和亏损300元。它们描述的具体对象虽然不同，但其共同特点是：它们都是具有相反意义的量。生活中，具有相反意义的量无处不在，如：上升与下降，前进与后退。2、 负数的表示方法：像这样的数称为正数。它们都比零大。在正数前面加上“”号的数叫负数。如它们都比零小。正数大于零，负数小于零，正数大于负数。3、 有理数的概念：像这样的数称为正整数，像这样的数称为负整数。我们把正整数、零、负整数统称为整数。像这样的有限小数或无限循环小数称为正分数，像这样的数称为负分数。我们把正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。特别注意：是一个无限不循环小数，所以它不是正分数，当然也就不是有理数。4、 有理数的分类有两种方式：（1）； （2）0既不是正数，也不是负数；0是正数和负数的分界；0是最小的自然数；0是一个整数；0是我们在分类时很容易漏掉的数。所以，在学习这节内容时要特别注意。5、 几个重要的概念：（1） 非负有理数：正有理数和零统称为非负有理数。如 （2） 非正有理数：负有理数和零统称为非正有理数。如 （3） 非负整数：正整数和零统称为非负整数。如 （4） 非正整数：负整数和零统称为非正整数。如 【典例解析】【例1】下面两题是有关“正”和“负”的概念，怎样表示出来。（1） 在收入与支出两项目中，若把收入记为正，那么元表示什么？（2） 在前进和后退的军训操练中，若把后退记为负，那么米表示什么？【例2】若把向北的方向规定为正，则走千米，走千米，走0千米的意义各是什么？变式训练：1、 在小学地理图册的世界地形图上，可以看到亚洲西部地中海旁有一个死海湖，图中标着，表明死海的湖面与海平面相比的高度是怎样的？ 2、 如果元表示亏损50元，那么元表示 3、 河中水位比正常水位低0.2米记作米，则比正常水位高0.1米的水位应记作 4、 向北走的实际意义是 ；产品成本提高的实际意义是 。【例3】5袋30kg的面粉，在称得它们的重量后，依次有如下记录（单位：kg）：，你能指出其中装面粉最多和最少的吗？思路点拨：先由这些表示方法确定每袋面粉的重量，然后解答问题。【例4】某水文站记录一条河流的正常水位是28m，记录表上有6次记录分别为，这6次记录表示的实际水位分别是 。变式训练：5、 测量一座桥的长度，各次测得的数据是：。（1）求这5次测量的平均值；（2）如以求出的平均值为基准数，用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差。6、 某人在上周五股市收盘时以7元每股的价格购进甲种股票若干，本周内甲种股票的收盘价记录如下：星期一星期二星期三星期四星期五（1） 周三他的股票价格是多少？（2） 本周内他的股票最高价是多少？最低价又是多少？【例5】把下列各数分类，并填在相应集合的大括号里：整数集合； 分数集合；正整数集合； 负整数集合；正分数集合； 负分数集合；有理数集合。变式训练：7、 把下列各数填在相应的大括号里：正有理数集合； 非负有理数集合整数集合； 非负整数集合【思维拓展】【例6】某项科学研究以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：9:15记为，10:45记为1等，依次类推，上午7:45应记为（ ）A、B、C、D、【例7】在以下说法中，正确的是（ ）A非负有理数就是正有理数B零表示没有，不是有理数C正整数和负整数统称为整数D整数和分数统称为有理数【例8】冬季某天我国三城市的最高气温分别是，1，把它们从高到低排列正确的是（ ）A、，1B、，1C、1，D、1，变式训练：8、 下列语句：（1）所有整数都是正数；（2）所有正数都整数；（3）小学学过的数都是正数；（4）分数是有理数；（5）有理数中除了负数就是正数。其中错误的语句个数是（ ）A、0个B、1个C、3个D、4个【分层达标训练】A组1、 下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）A向东走5米和向西走2米 B收入100元和支出20元C上升7米和下降5米 D长大1岁和减少2公斤2、 在下表适当的空格里面画上“”号；有理数整数分数正整数负分数自然数703、 温度升高5，再升高，结果是（ ）A温度升高了10 B温度下降了5 C温度不变 D温度下降了104、 下列说法中正确的是（ ）A正整数、负整数统称为整数 B正分数和负分数统称为分数C零既可以是正整数，也可以是负整数D一个有理数不是正数就是负数B组5、 我市2008年元月某一天的天气预报中，宁城县的最低气温是22，克旗的最低气温是26，这一天宁城县的最低气温比克旗的最低气温高（ ）A4B4C8D86、 已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是50m,那么甲地比乙地高 m.。7、 按下列规律排列的一列数对（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），第5个数对是 。8、 下面的说法中,正确的个数是 ( )（1）一个有理数不是整数就是分数；（2）一个有理数不是正数就是负数；（3）一个整数不是正的,就是负的；（4）一个分数不是正的,就是负的。A1B2C3D49、 最小的自然数是_，最小的非负数是_，最大的负整数是_，最小的正整数_。10、 某零件的设计图纸上标明这样一个数据：mm，实际生产时，测得这个零件的实际长度是19.8mm，这个零件合格吗？11、 二中对初三男生进行了引体向上的测试，以能做七个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下表：21032310（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少各引体向上？第3讲 数轴【新知讲解】1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。2、 数轴的三要素原点、正方向和单位长度缺一不可。原点是数轴上有特殊意义的点，正方向一般规定是向右的方向，单位长度可视具体情况而定。3、 数轴的画法可分为四个步骤：（1）画一条水平的直线；（2）在这条直线上的适当位置取一点作为原点；（3）确定正方向，用箭头表示出来；（4）确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数。4、 正有理数用原点右边的点表示（在数轴上要画出实心的小圆点），负有理数用原点左边的点表示。所有的有理数都可以在数轴上找到它的对应点。5、 相反数的意义：（1） 代数意义：像与，与这样只有符号不同的两个数，把其中一数叫做另一个数的相反数。0的相反数是0。（2） 几何意义：在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。（3） 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号，如的相反数是。（4） 两个数互为相反数等价于这两个数的和为0。即若互为相反数，则。反之亦成立。6、 在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。【典例解析】【例1】 如图所画的数轴其中正确的是（ ）变式训练：如图，指出所画数轴中的错误。【例2】 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号把它们连接起来：变式训练：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号把它们连接起来：【例3】 指出数轴上A、B、C、D各点所表示的数：【例4】 数轴上表示的点与表示7的点之间的距离是多少？【思维拓展】【例5】 若数轴上的点A对应的数是，那么与A点相距1个单位长度的点B所对应的数是多少？变式训练：1、 在数轴上原点两边与原点距离相等的点中。（1） 若其中一个点表示，则另一个点表示的数是 ?（2） 若其中一个点表示，另一个点呢?（3） 若其中一个点表示，另一个呢?2、 若点A表示3，点B与点A的距离为4个单位长度，则B点表示的数是 。3、 如果数轴上的点A和B分别代表，P是到点A或者点B的距离为3的数轴上的点，那么所有满足条件的点P到原点的距离之和为多少？【例6】 写出下列各数的相反数：【例7】 观察数轴，回答下列问题：（1） 有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来。（2） 有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它指出来。（3） 有没有最大的分数？如果有，把它指出来。【例8】 已知点A表示，点A向右移动5个单位长度到点B，则点B表示 ；点B再向左移动1个单位长度到点C，则点C表示 。【例9】 从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B点表示的数是 ；变式训练：1、 已知A、B是数轴上的点：（1）若点A表示，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B点表示的数是 ；（2）若将点A向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A表示的数是0，那么点A原来表示的数是 ；2、 若点A表示，点B表示5，则点A和点B之间有 个点表示的数是整数。【例10】 利用数轴，找出不小于而不大于的所有整数。【例11】 数轴上表示整数的点称为整点，有一数轴的单位长度是1cm,若在这条数轴上随意画出一条长为1000cm的线段，那么这条线段盖住的整点有多少个呢？【例12】 化简下列各数的符号：变式训练：1、 数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数，且，则数轴上的原点应是 。2、 化简下列各数的符号：【分层达标训练】A组1、 下列说法正确的是（ ）A、数轴上的点只能表示有理数 B、一个数只能用数轴上的一个点表示C、在1和3之间只有2D、在数轴上离原点2个单位长度的点表示的数是22、 数轴上与原点距离为3的点表示的是 。3、 大于而不大于3的整数有 个。4、 用“”、“”把它们连接起来。第4讲 绝对值【新知讲解】1、 绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。记作：，读作的绝对值。如的绝对值记作，的绝对值记作2、 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即3、 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。4、 绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数。即5、 负有理数的大小比较：两个负数比较，绝对值大的反而小。6、 负数比较大小的步骤：（1）先分别求出两个负数的绝对值；（2）比较两个绝对值的大小；（3）根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，作出正确的判断。【典例解析】【例1】 求下列各数的绝对值：变式训练：求的绝对值。【例2】 已知,则 。变式训练：（1）若，则 。（2）若，则 。【例3】 小亮在学完绝对值后，总结出四条规律：有理数的绝对值一定是正数； 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；如果一个数是正数，那么它的绝对值是它本身； 如果一个数的绝对值等于它本身，那么它是正数。请你根据所学知识，判断这四条规律是否正确，并说明理由。【例4】 比较和的大小变式训练：比较下列每组数中两个数的大小：（1）；（2）【思维拓展】【例5】 已知，求值。变式训练：已知与互为相反数，求值。【例6】 计算：（1）； （2）【例7】 已知，且，求值。变式训练：已知，且，求值.【例8】 已知.如图.是有理数a、b、c在数轴上的位置，化简： 变式训练：你能求出()的所有可能值吗？【例9】 某车间生产一批圆形机器零件，从中抽出6件进行检验，比规定直径长的毫米数记为正数，比规定直径短的毫米记为负数，检查记录如下：（单位：毫米）123456你能用绝对值知识指出哪一个零件的质量最好，为什么?变式训练：正式比赛用的排球质量有严格的规定，选用了六个球，超过质量标准的克数记为正数，不足质量标准的克数记为负数，结果如下表(单位：克)：第一只第二只第三只第四只第五只第六只你能用绝对值知识指出哪一个球的质量最好吗?【分层达标训练】A组1、 的绝对值是 。2、 下列各数中，互为相反数的是( )A、和 B、和C、和 D、和3、 （1）若，则 。（2）若，则 。4、 计算：B组1、 绝对值不大于的整数的个数是 。2、 若，则的取值范围是 。3、 若，则与的关系是( )A、B、与不相等C、互为相反数 D、异号4、 若有理数在数轴上对应的点的位置如图,则下列结论正确的是（ ）A、B、C、D、 5、 下列说法正确的有( )若两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于本身的数是0；两个分别在原点两旁且到原点距离相等的点所表示的数一定互为相反数。A、1个B、2个C、3个D、4个6、 若，则 (填”或”)7、 绝对值大于5但不大于7的整数有_个，它们是_。8、 已知，且，求的值。9、 的绝对值是2，的相反数是，的负倒数是，求的值。10、 若，求的值。11、 你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗?（1）；（2）；（3）；（4）第5讲 有理数的加法（1）【新知讲解】1、 有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（3）互为相反数的两数相加得0。即：若互为相反数，则。（4）一个数同零相加，仍得这个数。即：。注意：加法法则指出，两个有理数相加的结果由两部分构成：先确定和的符号，再确定两数的绝对值相加或相减，以得到和的绝对值。在加法运算中，最容易错的就是符号问题，运算时要特别注意符号问题。有理数加法分三步进行： 确定类型； 确定符号； 确定绝对值。如：计算解：（确定类型为：同号两数相加）（取原来的符号，并把绝对值相加）（计算绝对值）（得出最后结果）再如：计算解：（确定类型为：绝对值不相等的异号两数相加）（取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）（得出最后结果）2、 加法运算律：（1）加法交换律；（2）加法结合律注意：（1）有理数的加法运算步骤：先确定和的符号，再确定和的绝对值；（2）在运用交换律时，应注意连同数的符号一起交换。【典例解析】【例1】 计算：（1）； （2）变式训练：计算（1）； （2）【例2】 计算：（1）； （2）； （3）【例3】 计算：（1）； （2）变式训练：1、 计算：（1）；（2）；（3）；（4）2、 （改错题）计算。下面是甲、乙、丙三同学的解题过程，他们谁对了？如果都错了，请给出正确答案。甲 生：乙 生：丙 生：【例4】 计算：（1）； （2）变式训练：计算（1）； （2）【思维拓展】【例5】 下列说法正确的个数为( )(1)两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数；(2)两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数.；(3)两个有理数的和可能等于其中一个加数；(4)两个有理数之和可能等于零。 A、1 B、2C、3 D、4变式训练：若，且。试比较的大小。【例6】 计算。你能判断下面解题过程是否正确吗？若正确，说明理由，若不正确，请给予改正。解：原式变式训练：（阅读理解）阅读（1）的计算过程，再计算（2）小题；（1）解：原式上述这种方法叫做拆项法。仿照上面的方法计算：（2）【例7】 小吃店一周中每天的盈亏情况如下（盈余为正，单位：元）：。一周总的盈亏情况如何？变式训练：8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：。8筐白菜的重量是多少？【分层达标训练】A组1、 下列计算错误的是（ ）A、B、C、D、2、 有理数在数轴上对应位置如图所示，则的值为（ ）A、大于0 B、小于0C、等于0 D、大于a3、 计算：（1）； （2）； （3）4、 计算：（1）； （2）B组5、 某天股票A开盘价18元，上午11:30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天收盘价为（ ）A、0.3元B、16.2元C、16.8元D、18元6、 如果，则= 。7、 甲、乙两数之和与甲数比较（ ）A、其和一定大于甲数B、其和的大小由乙数是正数,负数,0来决定C、其和一定小于甲数D、其和一定不小于甲数8、 最小正整数、绝对值最小的数与最大的负整数的和是_。9、 绝对值不大于3的整数有_个，它们的和是_。第6讲 有理数的加法（2） 有理数的减法【新知讲解】1、 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。2、数轴上两点之间的距离：在数轴上，如果点A表示数，点B表示数，则A、B两点之间的距离记为，则。【典例解析】专题一：有理数的加法【例1】 你能用两种比较简便的方法计算吗？方法1： 方法2：变式训练：在这一串连续整数中，前100个数的和是多少？【例2】 一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米，却下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了0.48米，问蜗牛有没有爬出井口？【例3】 学校物理兴趣小组某假日参加公益活动，乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，自A地出发到收工时走的路线（单位：千米）为：，。（1）问收工时距A地多远？（2）如果每千米耗油0.2升，则从A地出发到收工时共耗油多少升？【奥赛链接】【例4】 （澳门竞赛题）将这十六个数分别写在44的表格中，每格一个数字，分别将各横行和各竖列的四个数加起来，要求每个和相同，试写出各个格子里的数。变式训练：将这9个数分别填入下图方阵的9个空格中,使得横、竖、斜对角的所有3个数相加的和为6。【例5】 （希望杯）1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )A、至少有一个为0 B、至多有998个正数C、至少有一个负数 D、至多有1995个负数【例6】 （希望杯）计算：【例7】 （五羊杯）_。【例8】 （希望杯）计算： 。专题二：有理数的减法【例9】 填空： ； ； 。【例10】 计算：（1）； （2）； （3）【例11】 分别求出数轴上两点间的距离：（1） 表示数6的点与表示数2的点；（2） 表示数2的点与表示数的点；（3） 表示数的点与表示数的点。变式训练：1、 计算：（1）； （2）； （3）； （4）2、 15比5高多少？ 15比高多少？【分层达标训练】A组1、 能使成立的是（ ）A、任意一个数B、任意一个正数C、任意一个非正数D、任意一个非负数2、 若，则 。3、 一个水勘察队，第一天沿江向上游走了km，第二天又向下游走了km，第三天向上游走了km，第四天向下游走了km。这时勘察队在出发点的（ ）A、上游kmB、下游1kmC、上游kmD、下游km4、 已知一个数是8，另一个数比8的相反数大2，则这两个数的和为 。5、 如图的程序中，若输入的数是2，则输出的结果是 。6、 计算：（1）； （2）； （3）B组7、 小惠的牡丹卡上还有余额250元，小惠想买一件衬衣和一条连衣裙，衬衣的价格为80元/件，连衣裙的价格为180元/件，小惠用牡丹卡购买这两样物品会透支吗？请用有理数加说明理由。8、 小明在3秒钟之内竟能算出的结果，他有什么奇招妙术？你也试一试吧。9、 股民小张上星期五买进某公司的股票2000股，每股17元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元），根据此表解答下列问题：星期一二三四五每股涨跌（1） 星期三收盘时，每股是多少?（2） 本周内每股的最高价是多少元?最低价是多少元?（3） 如果小张本星期五收盘时将这2000股全部抛出，盈亏情况如何?（4） 你认为小张想获最大利润，应该在星期几将股票全部抛出？此时，他将盈利多少元?C组10、 （威海）若，则的大小关系是 。11、 （希望杯）两有理数和的绝对值与这两数绝对值的和相等，那么这两有理数( )A、都是正数B、都是负数C、同号D、不一定同号12、 （希望杯）有一串数：按一定的规律排列，那么这串数中前( )个数的和最小。A、500B、501C、502D、50313、 若，则的取值范围是_。14、 当时，比较大小：。15、 一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场。（1） 用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置。（2） 超市D距货场A多远?（3） 货车一共行驶了多少千米?第7讲 有理数的加减混合运算 【新知讲解】1、 代数和：（1） 几个正数或负数的和称为代数和。（2） 代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示。如，读作“负3、负5、负7、正10的和”或“负3减5减7加10”。（3） 在省略加号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的。有理数加减混合运算经常写成省略括号的和的形式，充分利用加法运算律，使运算十分简便。2、 有理数加减混合运算的方法步骤：（1） 在一个式子里，有加法也有减法，通常写成代数和的形式；（2） 如式中有相反数，先将它们合并为零；（3）