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手机“套餐”优惠几何问题黄陈 叶建军 吴炜摘 要本文从经济学理论入手，运用线性规划，二级价格歧视等数学模型从各个方面详细比较了几种收费方式的优劣，并结合实际提出了自己的设想，得到了较为科学的结论。对于问题1，我们对比了套餐与标准资费之间的差异，合理的忽略了未作优惠的项目和一些不具普遍性的项目。在此基础上建立数学模型，通过Matlab作图求出临界点，根据图像得出各个套餐适应于的消费者类型。对于问题2，我们分别站在消费者和移动公司两方面提出评价准则。消费者方面，我们建立“平均价模型”，用每分钟通话的价格来衡量套餐的好坏；移动公司方面，引入“消费者剩余”的概念，用二级价格歧视模型来分析移动公司的收益。最后权衡两方面做出评价。对于问题3，我们理论上用比较法详细分析了实行“被叫全免费计划”对消费者带来的影响，并且从实际情况下阐述了实行该计划的现实意义。对于问题4，我们在设计方案的时候考虑到了价格，客户的个性化需求，促销手段等比较重要的因素。以“全球通68套餐”为模板，结合实际分析了该套餐所存在的两个严重问题无适合高端用户的子套餐以及优惠项目过于单一。据此我们引入288元的子套餐和IP长途资费这一优惠项目。从优惠率入手，依据约束条件建立一个线性规划模型，最终提出一个切实可行的套餐方案。关键词： 线性规划 二级价格歧视 消费者剩余 优惠率 Matlab作图一、 问题重述手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长 (见附件1) 。手机资费问题一直是人们关心的热点问题， 多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”-各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。人们不禁要问：手机“套餐”究竟优惠几何？请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型分析研究下列问题：(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。(3) 北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。(4) 如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。附件1 2006年中国通信业的统计资料附件2 中国移动手机的资费方案二、 模型假设（1）、对于某一通信服务，客户在一个月之内使用该服务的各个时刻等可能的，也即不集中于月初、月末或者该月的任何一段时间。（2）、各种资费（包括不使用套餐和使用套餐）都以月为单位进行计算。（3）、按分钟计算的项目，超出一分钟的多余部分按一整分钟计算资费。（4）、各套餐包含的本地主叫免费通话时间当月有效，不累计到下月。（5）、在特定时间段和特定地区的优惠不考虑。（6）、呼叫转移产生的资费不考虑。（7）、忽略接听12590*、12586*及拨打12590*、12586*、12588、1253012121的通话。（8）、“神州行”和“动感地带”业务在模型中不予考虑，只在评价全球通套餐的好坏时作一些参考。三、 符号说明t00 当地主叫一个月内通话总时间t01 当地被叫一个月内通话总时间t11 直播国内长途一个月内通话总时间t12 直播其它国家一个月内通话总时间t13 直播港澳台地区一个月内通话总时间t21 用移动IP播打国内长途一个月内通话总时间t22 用移动IP播打其它国家一个月内通话总时间t23 用移动IP播打港澳台地区一个月内通话总时间t99 使用北京“畅听99套餐”时一个月内通话总时间t68 使用上海“全球通68套餐”时一个月内通话总时间 使用北京“畅听99套餐”时国内IP长途通话时间占总通话时间的权重 使用上海“全球通68套餐”时主叫通话时间占总通话时间的权重 全球通用户在不使用套餐时的月总资费 使用北京“畅听99套餐”中月基本费为99元的套餐时的月总资费 使用北京“畅听99套餐”中月基本费为139元的套餐时的月总资费 使用北京“畅听99套餐”中月基本费为199元的套餐时的月总资费 使用北京“畅听99套餐”中月基本费为299元的套餐时的月总资费 使用上海“全球通68套餐”中月基本费为68元的套餐时的月总资费 使用上海“全球通68套餐”中月基本费为128元的套餐时的月总资费 使用上海“全球通68套餐”中月基本费为188元的套餐时的月总资费 实行“被叫全免费计划”后且用户不办套餐是的月总资费 未办理套餐时顾客平均每分钟需支付的单价 使用北京“畅听99套餐”时各子套餐平均每分钟需支付的单价 使用上海“全球通68套餐” 各子套餐平均每分钟需支付的单价四、 模型的建立与求解问题一给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？1.1 分析针对北京全球通“畅听99套餐”，该套餐分为月基本费99元、139元、199元和299元四种，其优惠项目包括本地主叫、本地被叫、国内IP长途资费以及部分GPRS、短信等部分数据业务，而其余资费与现行全球通资费相同。由于用户使用短信、GPRS、拨打国外长途以及漫游等事件发生的平均概率较小且不具普遍性，建立模型可将这些因素忽略，只考虑本地主/被叫和国内IP长途。由于套餐优惠分“套餐内”和“超出套餐部分”，故（i=1,2,3,4）是分段函数，要求各套餐适合何种用户，即要根据不同用户的通话时间来确定此时的最小资费。此时需注意到“畅听99套餐”中优惠的分钟数是针对本地主叫而言的，本地被叫无论何时都是免费的，因此讨论此套餐用户的通话时间实际上只需考虑其本地主叫和拨打长途的通话时间t，无须考虑被叫的时间，但要考虑长途通话时间占总时间的比故针对此套餐建立【模型一】。针对上海“全球通68套餐”，该套餐分为月基本费68元、128元和188元三种，其优惠项目仅仅包括本地通话的主/被叫。在该套餐中需要注意的是，优惠的本地分钟数中既包含本地主通话时间叫又包含本地被叫通话时间，而超出范围后的主/被叫优惠程度也不一样。故在分析该套餐适合何种用户时需要分开考虑用户的主叫和被叫时间，或者说考虑主叫通话时间占总通话时间的比重，也即，据此列出【模型二】。1.2 针对北京“畅听99套餐”模型一建立目标函数 s.t.模型一求解对以上建立的模型，可以用Matlab软件编程（程序原文件见f1.m），在同一张图中作出随总通话时间t的变化曲线，如下：图1.2 图1.1 图1.1中为时套餐资费与t的关系曲线，图1.2中为时套餐资费与t的关系曲线。考虑对不同用户使用何种类型分套餐最“省”，就要得出在不同通话时间t的情况下，分别在t的哪些区间为四个值中最小的。接下来先用界限值法求解图中的交点，根据模型一的约束条件可得一系列等式。求交点A = 解得 t = 此时交点A的理论值为A根据假设（3）此处应取整处理，即在A的左侧一点有根据所作图形显然有此时的最小资费为，而在A的右侧一点，应取据所作图形显然有此时的最小资费为，求交点B = 解得 t = 800 此时交点B求交点C = 解得 t = 1500此时交点C说明：可见所求各个交点的横坐标t与并无关系，用户可根据不同的通话总时间来选择适合自己的“畅听99套餐”中不同类型的子套餐。对于不办套餐的用户，即便所有通话全为国内IP长途，即考虑花费最多情况=1，一个月消费为，要使w0wb1 ,则有 解得t = 70故倘若一个顾客月通话时间少于70分钟，那么他不办任何套餐最实惠。模型一结论由于各个子套餐中对于超出套餐部分的国内IP长途通话的优惠程度一样，使得当时无论取何值只要t确定了，那么对应此时刻的消费最低的套餐便也确定了，也即选择何种子套餐仅依赖于总通话时间t，由此得到如下结论：1.3 针对上海“全球通68套餐”模型二建立目标函数 s.t.模型二求解图2.2图2.1对建立的模型二，可以用Matlab软件编程（程序原文件见f2.m），在同一张图中分别作出不同的情况下ws1、ws2、ws3随总通话时间t的变化曲线：图2.4图2.3四幅图中从起始点观察，从下至上依次是ws1、ws2、ws3。取使图2.1中三条线交于一点，取使图2.2中ws1与ws2交于ws2折线的拐点，取使图2.3中ws1与ws3交于ws3折线的拐点，取使图2.4中ws2与ws3交于ws3折线的拐点。由图中可以看出随着的变化，取某一特定套餐最优惠的t的范围也在不断变化。因此，模型二与模型一地不同之处在于，取何种套餐不仅仅依赖于t，还依赖于本地主叫占总通话时间的权重，而且先定出不同的，才能准确定出t的范围。根据初步建立的模型二，先求各个不同的临界的值。求 ws1 = ws2 = ws3 即解得 ，求 ws1 =128，此时 即 解得 ，求 ws1 =188，此时 即 解得 求 ws2 =188，此时 即 解得 再根据不同的来计算当t的值不同时取哪一种套餐为最优惠。1）.当时，选取适当的的值，可作出图2.5， 是ws1、ws2、ws3曲线部分相交处的局部放大图，随着的继续减小，始终只有ws1或者ws3为最小，接下来进行t的具体范围的理论求解。ws1与ws3在折线部分相交时，有解得 图2.52）.当时， 解得 3）.当时，ws1与ws2在折线部分相交，有解得 ws2与ws3在折线部分相交，有解得 4）.当和时， ws1与ws2在平台部分相交，有 解得 ws2与ws3在折线部分相交，引用3）的结果有 5）. 当时， ws1与ws2在平台部分相交，引用4）的结果有 ws2与ws3在平台部分相交，有解得 说明其中，2）与1）主要的区别仅在于当和当时可以选取的套餐的种类不一样，在其他范围上的关系式一样的，而讨论一个时间点处可选的套餐并无多大意义，因此将2）归入1）中。以上考虑的都是办理了“全球通68套餐”的情况，对于未办理任何套餐的顾客，由于办理此套餐和不办理此套餐时对长途电话收费标准一样，因此计算为办理任何套餐时的一个月总资费w0时也不需考虑长途资费，即有，倘若，可以计算得，也即如果客户一个月的总通话时间（包括主叫和被叫）不超过45分钟，那么该客户不办理任何套餐较为实惠。在结论中为叙述简便，将“全球通68套餐”中的月基本费为68元的套餐记为“子套餐68”，将月基本费为128元的套餐记为“子套餐128”， 将月基本费为188元的套餐记为“子套餐188”。模型二结论使用“全球通68套餐”的客户在选择其子套餐时何种套餐不仅仅依赖于t，还依赖于本地主叫占总通话时间的权重，再计入不办理套餐时的资费，可得如下结论：；。其中，各均如模型二求解中得出的值。问题二提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。2.1分析评价一个资费方案的好坏，要看站在什么样的立场。对于消费者来说，一个好的资费方案就是要使其获得最大的实惠（既能多打电话又能少付钱）；对于移动公司来说，好的资费方案并不是单价越高越好而是要在适当定价的情况下吸引更多的客源来获得最大的利润。而作为一个客观的评价，应当要综合考虑这两个方面。首先考虑消费者，消费者的通话消费包括本地主叫、本地被叫、直播长途和IP长途等，长途又分为国内、国际和港澳台，而各种资费各有不同。因此，在考虑消费者获得的优惠时，引入“平均价模型”，即根据附件1中的数据得到各种不同类型的通话经统计平均后所占的比重（如下表1），再计算用户平均每分钟所需支付的资费，最后经比较判断不办理套餐和办理套餐究竟哪个更加实惠。据此分析建立【模型三】。表1再来站在移动公司的立场上，要获得较好的收益，依赖于合适的单价和销售量。本题中涉及的两种套餐都采用了分段计价法，即当购买量超过某一数值后，仅对超过部分实行较低的价格，之前的部分，仍按较高价格收取。而且在营销策略中又实行“打包定价”的方式，在一个套餐中捆绑了多种子套餐，使消费者有了更多的选择余地，增大了消费者购买的可能性。而传统的单一定价模式，完全按消费者的支付意愿设定价格，只能将一部分生产者剩余转化为消费者剩余，相对而言减少了厂商的收益。因此，根据移动现行的这种“套餐”方式，我们引入了“二级价格歧视模型”，也即【模型四】，来评价“套餐”对于移动公司的益处是大是小。2.2 针对客户，“平均价模型”模型三建立假定消费者是理性的，在月总通话量一定的情况下，倘若决定办理套餐，那么他已经根据模型一的结果选择了最适合自己的套餐。并且假设客户使用数据业务（短信、GPRS等）不超标，不打电话到特殊地区，长途也按平均分钟计费。由于漫游在套餐中不优惠，模型中也不予考虑。模型三求解对于北京“畅听99套餐”通话总时间=本地主叫时间(暂不考虑本地被叫)+直播国内通话+直播国际通话+直播港澳台通话+IP国内通话+IP国际通话+IP港澳台通话即 令各子套餐平均每分钟单价 ，不办套餐每分钟单价为，目标函数 约束条件 由表1可知代入和中，得到的关系图，用Matlab作出这些图线如下:图3.1经计算得图中的交点的横坐标为（在不考虑本地被叫的情况下，即122.5分钟的全部主叫时间和各种长途通话时间）。因此，当用户通话时间时，不办理套餐更加实惠，如果再考虑被叫的时间，那么通话总时间就更少于122分钟了。所以说这种“畅听99套餐”对于通话量较大的用户较为实惠，定价稍高，对于大众普通用户（通话量一般）来说，办理套餐并不实惠反而更贵了。对于上海“全球通68套餐”此套餐与“畅听99套餐”不同，主叫资费与被叫资费分段各不相同，因此需要考虑主叫时间占总通话时间的比重，即。其他资费在不办理套餐和办理套餐时均相同，在比较模型中可以不考虑。令各子套餐平均每分钟单价 ，不办套餐每分钟单价为，目标函数约束条件考虑不同的情况，并取特殊值，将称为“本地主叫型”，将称为“本地被叫型” 将称为“主叫被叫型”，并画出这三张图，如下：图 3.3图 3.2图3.2“全球通68”本地主叫型图3.3“全球通68”本地被叫型图3.4“全球通68”主叫被叫型图 3.4经计算得到图中标注的A点都是（45,1.53），也即当用户的一个月总通话量为分钟时，不办理套餐更优惠。而一般的用户每月通话量都基本可以达到45分钟，因此对与大多数用户来说，办理“全球通68套餐”还是比较实惠的。模型三结论通过分析，并根据附录一中实际的数据比例，建立“平均价模型”，较为全面地考虑了各种通话，并通过画图对比评价办理“畅听99套餐”和“全球通68套餐”以及不办理任何套餐的资费情况，我们得到的结论是：“畅听99套餐”仅仅对于月通话量122分钟以上的用户体现出它的优惠之处，而且各子套餐月基本费较高，并不适合大众用户选择，不是一个很好的套餐；“全球通68套餐”对于月通话量45分钟以上的客户都较优惠，而且价格较低，在群众消费能力之内，是一个比较实惠的套餐方案。2.3 针对移动公司，“二级价格歧视模型”模型四建立“畅听99套餐”、“全球通68套餐”本质上是通信公司利用二级价格歧视理论进行差异化定价的产物，公司将产品分成几组，按组制订差别价格，这是一种非线性定价方式。二级价格歧视具有两个最为重要的特征，一是发掘并模型化了消费者的异质性；二是可以同时提高生产者和消费者的福利，实现帕雷托改进。因此，相对于传统的边际成本定价这种线性定价模式而言，非线性定价不论在理论上还是在实践上都是一种极大的创新。 假设消费者都是理性的，为了达到效用的最大化，恰好消费完所定制套餐中包括的全部免费的时间，且不消费超出基本费以外的业务。模型四求解对于北京“畅听99套餐”对于99元，139元，199元，299元各个子套餐，相应的免费时间为280分钟，560分钟，1000分钟以及2000分钟。每分钟话费可近似为0.35元，0.25元，0.2元，0.15元。每分钟通话费与月基本费之间的关系通过Matlab拟合后呈现单调递减的关系。即随着购买量增大，每分钟话费是减少的。 “畅听99套餐”的消费者剩余关系图如下所示：图 4.1图4.1中MC为边际成本曲线，MR为边际收益曲线。在自由竞争市场的情况下，点M是满足MC=MR时给厂商带来收益最大化的点。在此基础上研究厂商的利润。引入“消费者剩余”的概念，消费者剩余是指消费者对一特定商品所愿意支付的最高价格与实际支付价格之差。在“二级价格歧视”模型下指的是P5M，y轴与P曲线所围成的面积，即若采用传统的线性定价模式，不妨取D点对应的单价为标准资费。此时消费者所保留的消费者剩余为若采用“畅听99套餐”的二级价格歧视这种非线性定价模式，此时消费者所保留的消费者剩余为显然 ，这说明二级价格歧视是有效的，“畅听99套餐”相比于现行的资费标准能带给电信厂家更多的消费者剩余，商家可以获得更多的利益。对于上海“全球通68套餐”“全球通68套餐”的消费者剩余关系图与“畅听99套餐”的类似，对于“全球通68套餐”与标准资费相比也能带给移动公司更多的消费者剩余。但是“全球通68”的价格段的划分不如“畅听99”细，所以移动公司的收益不如“畅听99”多。模型四结论对移动公司而言，“畅听99”以及“全球通68”等二级价格歧视模型有利于扩大市场份额，赚取更多的消费者剩余，增加自身收益。对消费者而言，通话时间越长，平均价格就越低。移动公司按照二级价格歧视制订价格以增加企业利润，不但没有损害消费者的利益，反而使部分消费者享受到更加便宜的电信产品价格。因此这两种套餐对厂商和中高端消费者而言是一种双赢的选择。而对于低端消费者，“全球通68套餐”可能是更好的选择。问题三北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。3.1 分析“被叫全免费计划”方案在原先不办理套餐的全球通业务上改变了本地被叫的资费，而只是增加了在网一年的要求，未调高月基本费，相当于将现行的资费标准放低了，不办套餐的用户直接享受到了优惠，这样就提高了用户不得不办理套餐的通话时间的门槛。据此建立【模型五】，计算时间门槛了多少，来评价“被叫全免费计划”给予了用户多大的优惠。3.2 模型五建立假设消费者具有理性，根据自己的实际需求，已经按问题一的结论选择了适合自己的套餐。为了分析在享受“被叫全免计划”方案前后不办理套餐与办理了套餐之间时间门槛提高的程度，其实只要和套餐中月基本费最低的做比较即可。而且由于除本地主/被叫和IP长途之外的其他资费标准一样，这些项目可不列入模型中。与办理“畅听99套餐”比较1）.若只拨打市话假设主叫和被叫时等可能的，即，则被叫不免费且未办套餐 被叫免费且未办理套餐 月基本费99元的子套餐 令，解得 令，解得 由此可见，如果该用户只拨打市话，那么他选择办套餐的时间门槛几乎提高了一倍，也即当主叫时间时客户都可以考虑不要办理套餐，“被叫全免费”足以使用。2）.若只拨打国内IP长途假设拨打IP长途和被叫时等可能的，即，则被叫不免费且未办套餐 被叫免费且未办理套餐 月基本费99元的子套餐 令，解得 令，解得 由算得的可见，即使该用户全部拨打国内IP长途，那么他选择办套餐的时间门槛也提高了许多，也即参与“被叫全免费计划”的客户当主叫时间时客户都可以考虑不要办理套餐。3）.若既打市话又打国内IP长途“被叫不免费且未办套餐”到“需办套餐”的门槛值“被叫免费且未办理套餐”到“需办套餐”的门槛值由于已经有，所以门槛明显而且必然提高。与办理“全球通68套餐”比较假设主叫和被叫时等可能的，即，则被叫不免费且未办套餐 被叫免费且未办理套餐 月基本费68元的子套餐 令，解得 令，解得 显而易见，主叫时间足足提高了一倍。这是在假定主叫和被叫发生概率相等的情况下（即“主叫被叫型”用户）计算得到的。而如果该用户是“本地主叫型”，那么他便体会不到“被叫全免”的好处；如果是“本地被叫型”，那么他将享受通话时间无限制的优惠。3.3 模型五结论显然地，“被叫全免计划”实行后，对于拨打电话少、接听电话多的用户来说，从不办理套餐到办理套餐的门槛提高了，这部分人享受到了更多的优惠，即在不办理套餐的情况下，用户可以拨打（主叫）更多的电话。因而对于低端用户来讲，“被叫全免计划”是个福音，而对于已经办理套餐的用户来讲影响并不大。对于移动公司来说，被叫免费有利于吸引更多的客户选择该公司的业务，增加客户群，提高业务量，从而扩大收益。“畅听99套餐”和“全球通68套餐”的被叫免费是有条件的，即必须选择相应的套餐，应不是正在意义上的单向收费，相比而言，此刻推出的“被叫全免计划”只需保证在网一年，按月缴纳月基本费，就能实现真正意义上的单向收费。这个方案权衡了低端消费和中高端消费，是一个不错的业务方案。问题四如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。4.1分析设计新的资费方案的过程中，需要考虑的主要因素有：（1）、价格因素 无论是对顾客还是对移动公司而言，价格都是最主要的因素。不同层次的用户对价格的关注度有所不同，但他们都希望选取更优惠的方案来降低自己的消费。对移动公司而言，价格是影响公司利润的重要因素。移动公司一方面想通过提高价格以获取更多的利润；另一方面，价格的变更又必须服从约束，否则会遗失大量的用户，得不偿失。（2）、客户的个性化因素 不同的客户有不同的需求。有些客户每月的通话量较少，他们希望移动公司能推出小额套餐来满足他们的需求；有些客户以主叫为主，有些则以被叫为主；有些客户经常出差外地，他们希望能在漫游方面作出适当的优惠。根据不同的客户群制定适合他们的套餐是移动公司拉拢客户，提高业绩的重要举措。（3）、促销因素 对手机套餐进行适当的促销，如办套餐送可乐，送购物券，电影票等等，以及在套餐中附加诸如天气预报等小的业务。可以拉近移动公司和顾客的距离，增加顾客的好感度，提升企业文化。4.2制定“套餐”方案 我们以上海移动公司推出的“全球通68套餐”方案为模板基础，在约束条件（运营商的收入降低不超过10%）内，对该套餐作出适当的改进，以吸引更多的消费者。方案分析 在模型的建立与求解中，我们假定客户拨打和接听电话的概率相同，并且超出包月和不超出包月通话时间的概率也相同。由于拨打长途电话时，IP长途资费相对较低，故假设用户优先拨打IP长途电话。 可以发现，全球通68套餐中只包含月租68元，128元，188元的子套餐，并没有针对高端用户的子套餐，而且优惠项目仅限于本地主叫和本地被叫，忽略了其他的消费项目，无形中减小了客户的选择面。故而我们在套餐中加入月租288元这个子套餐以及国内长途IP资费，具体情况如表2所示：月基本费（元）本地通话分钟（分钟）超出后本地通话资费（元/分钟）国内IP长途资费（元/分钟）主叫通话被叫通话683600.180待定1288000.160待定18812000.130待定2882000表 20.110待定 根据原有的68套餐和假设，各项目的优惠率如下：优惠项目优惠率套餐种类本地主叫未超出本地被叫未超出本地主叫超出本地被叫超出680.05560.05560.5511211880.21670.21670.67512880.28表 30.280.7251改进后的68套餐各项目的优惠率如下：优惠项目优惠率套餐种类本地主叫未超出本地被叫未超出本地主叫超出本地被叫超出国内IP长途68X11X12X13X14X15128X21X22X23X24X25188X31X32X33X34X35288X41表 4X42X43X44X45模型六建立通过以上方案的分析，根据附件1，可知，本地通话时长：长途通话时长4:1，且收费方面，IP长途通话资费=本地主叫资费+IP长途资费。因此各项资费之间的权重之比为未超部分本地主叫资费：未超部分本地被叫资费：超出部分本地主叫资费：超出部分本地被叫资费：IP长途资费= 根据约束条件运营商的收入降低不超过10%，记： ：现行资费标准下移动公司收入：办理套餐后移动公司收入：制定新套餐后移动公司收入：办理套餐后的优惠率：办理新套餐后的优惠率则 新套餐下收益额下降10%即为：则于是约束条件转化为 建立线性规划模型如下：目标函数 s.t. 模型六求解根据所建立的线性规划模型，利用Matlab程序中的linprog（）函数可以求得一组最优解（程序原文件为f5.m），如表5所示：优惠项目优惠率套餐种类本地主叫未超出本地被叫未超出本地主叫超出本地被叫超出国内IP长途680.13330.13330.5510.6671280.27660.27660.610.6671880.29280.29280.67510.6672880.3552表 50.35520.72510.667相应的优惠方案为：月基本费（元）本地通话分钟（分钟）超出后本地通话资费（元/分钟）国内IP长途资费（元/分钟）主叫通话被叫通话683920.1800.11288850.1600.118813290.1300.12882233表 60.1100.1五、 模型的优点与缺点模型的优点：1. 模型一二通过引入参数几乎覆盖了所有的用户类型，相较于只比较一些特殊的用户类型更具有说服意义。2. 模型三通过计算单位价格将问题化繁为简，模型四以经济学作为理论基础，利用已有的二级价格歧视模型来分析问题，结论正确且具有说服力。3. 模型六充分考虑到了套餐的缺点和消费者的需求，使得提出的新套餐不仅符合题目要求，更重要的是它在实际生活中也具有很高的可行性。模型的缺点：1 在引用国内长途，国际长途等资费时为简化模型将原来的以元/6秒改成以元/分钟为单位，造成了一些误差。如果考虑到这些误差将会使结果更精确。2 引入参数虽然使讨论更为全面，但增加了很多计算量。六、 参考文献1赵静等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2003.62蔡琐章等，数学建模原理与方法，北京：海洋出版社，2000.73闻新等，MATLAB科学图形构建基础与应用（6.x），北京：科学出版社，2002.64陈浩铭等，全国大学生数学建模竞赛南京大学获奖论文集2008，江苏：南京大学出版社，2008.125百度百科，消费者剩余，/view/133532.htm?fr=ala0_1，2010. 7 附录1：f1.mfunction w1,w2,w3,w4=f1(n,t) m = length(t);for i= 1:m;if t(i)=280 w1(i) = 99+0.1*n*t(i);else w1(i) = 99+0.1*n*t(i)+0.35*(t(i)-280);endif t(i)=560 w2(i) = 139+0.1*n*t(i);else w2(i) = 139+0.1*n*t(i)+0.25*(t(i)-560);endif t(i)=1000 w3(i) = 199+0.1*n*t(i);else w3(i) = 199+0.1*n*t(i)+0.2*(t(i)-1000);endif t(i)=2000 w4(i) = 299+0.1*n*t(i);else w4(i) = 299+0.1*n*t(i)+0.15*(t(i)-2000);endendhold onplot (t,w1,r)plot (t,w2,g)plot (t,w3,b)plot (t,w4,y)gtext (A)gtext (B)gtext (C)legend(w=99,w=139,w=199,w=299,4)title (畅听99)附录2：f2.mfunction w1,w2,w3=f2(n,t) m = length(t);for i= 1:m;if t(i)=360 w1(i) = 68;else w1(i) = 68+0.18*n*(t(i)-360);endif t(i)=800 w2(i) = 128;else w2(i) = 128+0.16*n*(t(i)-800);endif t(i)=1200 w3(i) = 188;else w3(i) = 188+0.13*n*(t(i)-1200);endendhold onplot (t,w1,r)plot (t,w2,g)plot (t,w3,b)legend(w=68,w=128,w=188,3)title (全球通68)附录3：f3.mfunction w0,w1,w2,w3=f3(n,t) m = length(t);for i= 1:m; w0(i) = 50/t(i)+0.4;if t(i)=360 w1(i) = 68/t(i);else w1(i) = (68+0.18*n*(t(i)-360)/t(i);endif t(i)=800 w2(i) = 128/t(i);else w2(i) = (128+0.16*n*(t(i)-800)/t(i);endif t(i)=1200 w3(i) = 188/t(i);else w3(i) = (188+0.13*n*(t(i)-1200)/t(i);endendhold onplot (t,w0,y)plot (t,w1,r)plot (t,w2,g)plot (t,w3,b)legend(w=0,w=68,w=128,w=188,4)title (全球通68)附录4：f4.mfunction w0,w1,w2,w3,w4=f4(t) m = length(t);for i= 1:m; w0(i) = (50+0.4*t