函数模型及其应用全课时PPT课件.ppt

3 2函数模型及其应用 3 2 1几种不同增长的函数模型 LOGO 1 学习目标 1 利用函数图象及数据表格 比较指数函数 对数函数及幂函数的增长差异 2 结合实例体会直线上升 指数爆炸 对数增长等不同增长的函数模型的意义 3 体会数学在实际问题中的应用价值 2 1859年 当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后 一场可怕的生态灾难爆发了 兔子是出了名的快速繁殖者 在澳大利亚它没有天敌 数量不断翻番 1950年 澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只 这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失 绝望之中 人们从巴西引入了多发黏液瘤病 以对付迅速繁殖的兔子 整个20世纪中期 澳大利亚的灭兔行动从未停止过 指数爆炸 模型 3 例1 假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案呢 投资方案选择原则 1 比较三种方案每天回报量 2 比较三种方案一段时间内的累计回报量 投入资金相同 回报量多者为优 4 分析 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 再通过比较它们的增长情况 为选择投资方案提供依据 解 设第x天所得回报为y元 则方案一 每天回报40元 y 40 x N 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 y 10 x x N 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 y 0 4 2x 1 x N 5 000000 000 0 1010101010 101010 10 0 40 81 63 26 4 12 825 651 2 107374182 4 我们来计算三种方案所得回报的增长情况 6 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长 y x o y 40 y 10 x 7 累计回报表 结论 投资1 6天 应选择方案一 投资7天 应选择方案一或二 投资8 10 应选择方案二 投资11天 含11天 以上 则应选择方案三 8 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随着销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但资金数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求呢 9 10 1 由函数图象可以看出 它在区间 10 1000 上递增 而且当x 1000时 y log71000 1 4 55 5 所以它符合奖金不超过5万元的要求 模型y log7x 1 11 令f x log7x 1 0 25x x 10 1000 利用计算机作出函数f x 的图象 由图象可知它是递减的 因此 f x f 10 0 3167 0 即log7x 1 0 25x 所以 当x 10 1000 12 探究 讨论一下函数 在区间上的增长情况吗 13 1 由表格数据观察三者的增长速度 2 由图象观察三者的增长速度 从图可以看出 虽然它们都是增函数 但是它们的增长速度是不同的 以三个函数为例探究三类函数的增长差异 14 函数y 2x y 2x y x2 y log2x的函数值表 15 函数y 2x y 2x y x2 y log2x的图象 16 综上所述 1 在区间 0 上 y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 2 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会远远大于y xn n 0 的增长速度 3 随着x的增大 y logax a 1 的增长速度越来越慢 会远远小于y xn n 0 的增长速度 总存在一个x0 当x x0时 就有 logax kx xn ax 17 18 2020 2 4 19 课堂小结 几种常见函数的增长情况 没有增长 直线上升 指数爆炸 慢速 增长 解决实际问题的步骤 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 演算 推理 20 3 2函数模型及其应用 3 2 2函数模型的应用实例 21 复习引入 问题 1 我们所学过的函数有哪些 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数共5种函数 2 你能分别说出有关这些函数的解析式 函数图像以及性质吗 3 你能分别说说这些函数在实际生活中的应用吗 22 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间关系如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th的函数解析式 并作出相应图象 从图上很明显看出汽车在每一小时都有固定速度 而进入下一小时后速度则变为另一个固定值 这是很明显的分段函数特征 23 解 1 阴影面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360 表示汽车5小时内行驶的路程为360km 2 据图有 50t 2004 0 t 1 80 t 1 2054 1 t 2 90 t 2 2134 2 t 3 75 t 3 2224 3 t 4 65 t 4 2299 4 t 5 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th的函数解析式 并作出相应图象 24 函数图象如图所示 25 例4人口问题是当今世界普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 可以为有效控制人口增长提供依据 早在1798年 英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型 y y0ert 其中t表示经过的时间 y0表示t 0时的人口数 r表示人口的年平均增长率 下表是1950 1959我国的人口数据资料 1 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 精确到0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 2 如果按表中增长趋势 大约哪一年我国的人口达到13亿 26 根据我国实际情况确定表达式的参数 得到符合我国实际情况的函数表达式 再作图分析增长情况 解 1 设1951 1959年的人口增长率分别为r1 r2 r9由表中数据可得 r1 0 020 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 r8 0 0222 r9 0 0184 故平均增长率 令y0 55196 则我国在1950 1959年期间的人口增长模型为 y 55196e0 0221t t N 27 根据表中的数据作出散点图 并作出函数y 55196e0 0221t t N 的图象 如图 如图可知 所得模型与实际情况基本吻合 2 将y 130000代入y 55196e0 0221t由计数器可得t 38 76 所以 如果按表中增长趋势 大约在1950年后的第39年 我国人口会达到13亿 28 例5某桶装水经营部每天的房租 人员工资等固定成本为200元 每桶水的进价是5元 销售单价与日均销售量的关系如表所示 请根据以上数据作出分析 这个经营部这样定价才能获得更大利润 分析 单价与销售之间的关系题目是通过表格的形式给出的 要求利润必须首先找到单价与销售量的关系 列出函数关系式 再求函数最大值 二次函数 29 例6某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表 1 根据上表提供的数据 能否建立函数模型 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 试写出这个函数模型的解析式 2 若体重超过相同身高男性体重平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 30 解 1 以身高为横坐标 体重为纵坐标 画出散点图 根据点的分布特征 可以考虑以y a bx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高关系的函数模型 不妨取两组数据 70 7 9 160 47 25 代入y a bx 可得a 2 b 1 02 y 2 1 02x 将其他数据代入检验 可以发现 这个函数与已知数据拟合程度较好 说明函数能较好的反映实际问题 例6某地区不同身高的未成年男性