（课标专用）天津市2020高考数学专题二函数与导数2.3一导数与函数的单调性、极值、最值课件.pptx

2 3导数在函数中的应用 一导数与函数的单调性 极值 最值 3 突破点一 突破点二 突破点三 利用导数讨论函数的单调性 例1 1 已知函数f x ax 其中a 0 且a 1 求函数h x f x xlna的单调区间 2 已知函数f x lnx 其中a 0 e 2 7 若函数f x 在区间 2 内为增函数 求实数a的取值范围 分析推理 1 2 两题都是函数单调性问题 1 题求函数的单调区间 只需求出函数的导函数 然后根据参数对导函数符号的影响进行分类讨论即可 2 题属于已知函数的单调性求函数解析式中的参数取值 首先利用导函数的保号性刻画单调性 即转化为一个含参不等式恒成立 进而分离参数 转化为函数的最值问题求解 4 突破点一 突破点二 突破点三 解 1 由已知 h x ax xlna 有h x ax 1 lna 令h x 0 解得x 0 若0a0 1 即ax 1 0 所以h x ax 1 lna0 函数h x 单调递增 若a 1 则lna 0 当x 0 时 axa0 1 即ax 1 0 所以h x ax 1 lna 0 函数h x 单调递增 综上 函数h x 的单调递增区间为 0 递减区间为 0 5 突破点一 突破点二 突破点三 函数f x 在区间 2 内为增函数 f x 0对任意x 2 恒成立 ax 1 0对任意x 2 恒成立 6 突破点一 突破点二 突破点三 该题中的 1 若p x f x txlna呢 解 p x ax txlna p x axlna tlna ax t lna 当t 0时 则ax t 0 若01 则lna 0 p x 0恒成立 函数p x 单调递增 7 突破点一 突破点二 突破点三 当t 0时 由ax t 0 解得x logat 若00 p x 0恒成立 函数p x 单调递增 若a 1 则lna 0 当x logat 时 ax t0 p x 0恒成立 函数p x 单调递增 综上 当t 0时 若01 则函数p x 在R上单调递增 当t 0时 函数p x 的单调递减区间为 logat 单调递增区间为 logat 8 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法利用导数研究函数的单调性 包括两种类型 1 求可导函数的单调区间 抓住一个核心 导函数的符号 实质就是在函数定义域内解f x 0 f x 0 从而确定函数f x 的单调增 减 区间 含参函数单调性的分析 需要根据参数所在位置以及其取值范围分类讨论导函数符号的变化 2 由函数f x 在区间 a b 内的单调性求参 导函数的保号性 准确转化 即利用函数单调性与导函数符号之间的关系 将已知转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 要注意 是否可以取到 求解含参不等式的恒成立问题 一般可利用分离参数 转化为函数在指定区间上的最值问题解决 9 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固1已知函数f x x2 ax a 1 lnx 其中a 2 1 讨论函数f x 的单调性 解 1 由题意得函数f x 的定义域为 0 令f x 0 得x 1或x a 1 a 2 a 1 1 由f x 0 解得0a 1 由f x 0 解得1 x a 1 函数f x 的单调递增区间为 0 1 a 1 单调递减区间为 1 a 1 10 突破点一 突破点二 突破点三 11 突破点一 突破点二 突破点三 利用导数研究函数的极值和最值 例2 1 已知函数f x 2sinx sin2x 则f x 的最小值是 2 已知函数f x 2 x ax2 ln 1 x 2x 若a 0 证明 当 10时 f x 0 若x 0是f x 的极大值点 求a 分析推理 1 该题中的函数是三角函数形式 因为不能化为一角一函数的形式 所以无法利用三角函数的性质求解最值 可借助导函数研究函数的单调性 进而求得最值 2 该题中的 问 由f 0 0可知 该不等式的证明其实质就是证明函数在两个区间上的单调性 故只需研究导函数的符号变化即可 问首先利用0是函数的极值点 即为导函数的一个零点 列出方程 求出a值 但还需要判断 极大值点 避免增解 12 突破点一 突破点二 突破点三 解析 1 f x 2cosx 2cos2x 2cosx 2 2cos2x 1 2 2cos2x cosx 1 2 2cosx 1 cosx 1 cosx 1 0 13 突破点一 突破点二 突破点三 2 证明 当a 0时 f x 2 x ln 1 x 2x 当 10时 g x 0 故当x 1时 g x g 0 0 且仅当x 0时 g x 0 从而f x 0 且仅当x 0时 f x 0 所以f x 在区间 1 内单调递增 又f 0 0 故当 10时 f x 0 14 突破点一 突破点二 突破点三 解 若a 0 由 知 当x 0时 f x 2 x ln 1 x 2x 0 f 0 这与x 0是f x 的极大值点矛盾 又h 0 f 0 0 故x 0是f x 的极大值点 当且仅当x 0是h x 的极大值点 故x 0不是h x 的极大值点 若6a 1 0 则a2x2 4ax 6a 1 0存在根x1 0 故当x x1 0 15 突破点一 突破点二 突破点三 16 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法1 利用导数研究函数的极值 最值的基本思路 1 求极值 抓住一个关键 函数单调性在极值点两侧的单调性相反 外在表示形式是导函数符号的变化 2 求最值 本质就是指定区间内函数的极值与区间端点值中的最值 2 已知极值求参数要把握两点 一是函数的极值点一定是其导函数的零点 二是导函数的零点不一定是函数的极值点 需要检验导函数符号是否发生变化 17 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固2 2019河北武邑中学二调 已知函数f x lnx ax2 bx 其中a b为常数 且a 0 在x 1处取得极值 1 当a 1时 求f x 的单调区间 2 若f x 在区间 0 e 上的最大值为1 求a的值 解 1 因为f x lnx ax2 bx 18 突破点一 突破点二 突破点三 f x f x 随x的变化情况如下表 19 突破点一 突破点二 突破点三 20 突破点一 突破点二 突破点三 在区间 1 e 内单调递减 所以最大值1可能在x 1处取得 而f 1 ln1 a 2a 1 0 矛盾 21 突破点一 突破点二 突破点三 利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围 例3 已知函数f x ex ax2 1 若a 1 证明 当x 0时 f x 1 2 若f x 在区间 0 内只有一个零点 求a 分析推理 1 问中a 1 故该不等式的证明 实质就是求该函数的最值 2 问中a为参数 需要根据参数取值分类讨论函数在区间 0 内的单调性 进而根据函数极值的取值确定参数a的取值 也可通过分离参数的方法 转化为垂直于y轴的直线与相应函数图象的交点个数问题进行判断 22 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 当a 1时 f x 1等价于 x2 1 e x 1 0 设函数g x x2 1 e x 1 则g x x2 2x 1 e x x 1 2e x 当x 1时 g x 0 h x 没有零点 当a 0时 h x ax x 2 e x 当x 0 2 时 h x 0 h x 在区间 0 2 内单调递减 在区间 2 内单调递增 23 突破点一 突破点二 突破点三 24 突破点一 突破点二 突破点三 解法二 分离参数法 函数f x 的零点 也就是方程ex ax2的解 故当02时 p x 0 函数p x 单调递增 由指数函数y ex与幂函数y x2的增长的快慢可知 当x 0时 p x 当x 时 p x 25 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法零点个数问题 1 抓住关键 极值与0的大小关系 其实就是数形结合思想的应用 可转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点问题 2 解决问题的必备过程 研究函数的单调性 通过研究函数的单调性与极值 画出函数的图象 利用数形结合的思想求解 26 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固3 2019甘肃兰州二诊 已知f x x 1 ex 2ax2 1 当a 时 求f x 的极值 2 若f x 有两个不同的零点 求a的取值范围 令f x 0 得x 0或1 当x0 f x 为增函数 当01时 f x 0 f x 为增函数 27 突破点一 突破点二 突破点三 2 f x x ex 4a 当a 0时 f x x 1 ex 只有一个零点x 1 不满足题意 当a0 当x 0 时 f x 0 f x 为增函数 f x 极小值 f 0 1 而当x 0 时 f 1 2a 0 所以 x0 0 1 使f x0 0 当x 0 时 exx 1 即f x x 1 ex 2ax2 x 1 2ax2 2ax2 x 1 令g x 2ax2 x 1 28 突破点一 突破点二 突破点三 所以函数有2个零点 当a 0时 f x x ex 4a 令f x 0 得x 0或x ln 4a 所以f x 极大值 f 0 1 故函数f x 至多有一个零点 不符合题意 当a 时 ln 4a 0 f x 0 则f x 在区间 内单调递增 f x 至多有一个零点 不合题意 29 突破点一 突破点二 突破点三 当x变化时f x f x 的变化情况如下 因为当a 0时 f ln 4a 0 f 0 1 所以函数f x 至多有一个零点 综上 a的取值范围是 0 30 核心归纳 预测演练 31 核心归纳 预测演练 1 若函数f x lnx ax2 2x存在单调递减区间 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 0 A x 0 ax2 2x 1 0有实数解 当a 0时 显然满足 当a0 1 1 32 核心归纳 预测演练 2 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A 1B 2e 3C 5e 3D 1 A 解析 由题意可得 f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 因为x 2是函数f x 的极值点 所以f 2 0 所以a 1 所以f x x2 x 1 ex 1 所以f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 解得x1 2 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 33 核心归纳 预测演练 所以当x 1时 f x 有极小值 并且极小值为f 1 1 1 1 e1 1 1 故选A 34 核心归纳 预测演练 3 若直线y kx b是曲线y lnx 2的切线 也是曲线y ln x 1 的切线 则b 1 ln2 解析 设曲线y lnx 2上的切点为 x1 y1 曲线y ln x 1 上的切点为 所以b y1 kx1 2 ln2 1 1 ln2 35 核心归纳 预测演练 4 已知a R 函数f x x2 ax ex x R e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求a的取值范围 解 1 当a 2时 f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 36 核心归纳 预测演练 2 因为函数f x 在区间 1 1 内单调递增 所以f x 0对x 1 1 都成立 因为f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex 所以 x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 因为ex 0 所以 x2 a 2 x a 0 37 核心归纳 预测演练 1 求函数f x 的单调区间 2 设g x xlnx x2f x 求g x 在区间 1 e 上的最小值 其中e为自然对数的底数 f x 0 02 故函数f x 的单调递增区间为